Pytanie czym jest, jak w temacie, przeciwobraz zbioru, ale przez dowolną relację. Dzisiaj na ekonomii matematycznej zaskoczyło mnie to pojęcie, pierwsze słyszę. Czyli:
Dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla zbioru \(\displaystyle{ B\subset Y}\), czym jest przeciwobraz \(\displaystyle{ R ^{-1} (B) }\) Czy to jest \(\displaystyle{ \left[ R \cap (X \times B)\right] _L}\), czyli rzut relacji \(\displaystyle{ R \cap (X\times B)}\) na oś \(\displaystyle{ x}\) Dobrze myślę To ciekawe.
Jakieś ogólne własności ma ten przeciwobraz?? Ja zauważam, że dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla \(\displaystyle{ B\subset Y}\): mamy \(\displaystyle{ R^{-1}(B)\subset R_L}\), monotoniczność przeciwobrazu zbiorów względem inkluzji, oraz jeśli \(\displaystyle{ B\supset R_P,}\) to \(\displaystyle{ R^{-1}(B)=R_L}\).
Dowód ostatniej własności:
Ponieważ \(\displaystyle{ B\supset R_P,}\) to \(\displaystyle{ X \times B\supset X \times R_P\supset R_L \times R_P\supset R}\), a zatem \(\displaystyle{ R\subset X \times B}\), więc \(\displaystyle{ R \cap \left( X \times B\right) =R}\), a zatem \(\displaystyle{ R^{-1}(B)=\left[ R \cap \left( X \times B\right) \right]_L=R_L.\square }\)
Podejrzewam, że taki przeciwobraz ma podobne własności jak przeciwobraz zbioru dla funkcji. Dobrze myślę Jakie ma jeszcze własności ?
Jakub Gurak pisze: ↑25 lut 2021, o 22:28
Podejrzewam, że taki przeciwobraz ma podobne własności jak przeciwobraz zbioru dla funkcji. Dobrze myślę
Otóż, nie do końca, dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B\subset Y}\), przeciwobraz przez tą relację przekroju tych dwóch zbiorów może być innym zbiorem niż przekrój przeciwobrazów; uzasadnili to w książce " LOGIKA FORMALNA" Ludwika Borkowskiego, jednakże podając kontrprzykład relacji na zbiorze ludzi. Ja podam, odpowieni do tego kontrprzykładu, podam bardziej matematyczny kontrprzykład:
\(\displaystyle{ A \cap B=\emptyset}\), a zatem \(\displaystyle{ R ^{-1}\left( A \cap B\right)= R ^{-1} \left( \emptyset\right) = \left[ R \cap \left( X \times \emptyset\right) \right] _L= \emptyset_L= \emptyset}\). Tymczasem:
czyli zbiór tych elementów drugiej osi \(\displaystyle{ Y,}\) do których element \(\displaystyle{ x}\) pozostaje w relacji, nazywamy zbiorem następników elementu \(\displaystyle{ x}\) względem relacji \(\displaystyle{ R,}\) i oznaczamy jako \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{R} (x)}\). Jest to przekrój odcinka pionowego w punkcie \(\displaystyle{ x}\) przeciętego z relacją i rzut takiego przecięcia na oś \(\displaystyle{ Y.}\)
Analogicznie, dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla \(\displaystyle{ y\in R_P}\) zbiór:
nazywamy zbiorem poprzedników elementu \(\displaystyle{ y}\) względem relacji \(\displaystyle{ R}\). Jest to odcinek poziomy w punkcie \(\displaystyle{ y}\) przecięty z relacją \(\displaystyle{ R}\) i rzut takiego przecięcia na oś \(\displaystyle{ X}\).
Udowodniłem, w piątkowe popołudnie, że jeśli mamy dowolną relację \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), oraz parę \(\displaystyle{ (a,b)\in R}\) tej relacji (wtedy możemy odzyskać obydwie współrzędne takiej pary), i wtedy przekrój zbioru następników elementu \(\displaystyle{ a}\) względem tej relacji (a właściwie odpowiadającemu mu podzbioru iloczynu kartezjńskiego \(\displaystyle{ X \times Y}\), którym jest odpowiadający mu odcinek pionowy w punkcie \(\displaystyle{ a}\)) oraz zbioru poprzedników elementu \(\displaystyle{ b}\) (a właściwie chodzi o odcienek poziomy, będący podzbiorem iloczynu kartezjańskiego \(\displaystyle{ X \times Y}\) , odcinek poziomy w punkcie \(\displaystyle{ b}\) ), wtedy przekrój takich zbiorów jest zbiorem jednopunktowym złożonym z pary \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\). Udowodniłem też, że dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla \(\displaystyle{ x\in R_L}\) , wtedy zbiór następników elementu \(\displaystyle{ x}\) względem tej relacji jest równy obrazowi zbioru jednopunktowego \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\). Wykazałem też, że dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla zbioru \(\displaystyle{ B\subset Y,}\) wtedy przeciwobraz tego zbioru przez tą relację jest równy obrazowi tego zbioru, ale przez relację do niej odwrotną; i podobnie dla zbioru \(\displaystyle{ A\subset X}\), wtedy obraz tego zbioru przez relację daną jest równy przeciwobrazowi tego zbioru, ale przez relację do niej odwrotną. Wykazałem też w sobotę, że dla \(\displaystyle{ n=2,3,\ldots}\) i dla \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots, X_n,}\) jeśli mamy relację \(\displaystyle{ n}\) członową między tymi zbiorami, to ta relacja jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego wszystkich dziedzin tej relacji, tzn. iloczynu kartezjańskiego pierwszej dziedziny tej relacji, drugiej dziedziny tej relacji , ..., \(\displaystyle{ n}\)-tej dziedziny tej relacji. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą zbiorami , a \(\displaystyle{ R}\) niech będzie dowolną relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\). Niech \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R}\)( wtedy możemy odzyskać obydwie współrzędne takiej pary), wtedy \(\displaystyle{ a\in R_L}\) i \(\displaystyle{ b\in R_P}\), i wykażemy równość:
Nim udowodnimy ten bardzo ciekawy fakt, przypomnijmy, prosty fakt, że jeśli mamy cztery zbiory \(\displaystyle{ A,B,C,D}\), oraz dwa iloczyny kartezjańskie \(\displaystyle{ A \times B}\) i \(\displaystyle{ C \times D}\), to przekrój takich dwóch iloczynów kartezjańskich jest iloczynem kartezjańskim, i to postaci: przekrój pierwszych składowych iloczynu kartezjańskiego razy przekrój drugich składowych- jest to prosty fakt.
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
Zbiór po lewej stronie równości jest równy( )na mocy powyzej przytoczonego faktu) :
i ponieważ \(\displaystyle{ (a,b)\in R}\) , to \(\displaystyle{ a \in \stackrel{ \leftarrow } {R} (b)}\), oraz \(\displaystyle{ b\in \stackrel{ \rightarrow }{R} (a)}\), bo \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R}\). A zatem to jest równe:
Przypomnijmy: dla relacji \(\displaystyle{ R}\) Z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla zbioru \(\displaystyle{ A\subset X,}\) obraz zbioru \(\displaystyle{ A,}\) oznaczany jako \(\displaystyle{ R(A),}\) jest dany jako:
\(\displaystyle{ R(A)= \left[ R \cap \left( A \times Y\right) \right]_P}\),
czyli, jest to przekrój pionowego pasa \(\displaystyle{ A \times Y}\) z naszą relacją, i rzut takiego przecięcia na óś \(\displaystyle{ Y. }\)
Wykażemy teraz, że dla relacji \(\displaystyle{ R }\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla \(\displaystyle{ x\in R_L}\), mamy równość:
czyli, zbiór nastepników elementu \(\displaystyle{ x,}\) względem tej relacji, jest równy obrazowi zbioru jednopunktowego \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} .}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
Niech \(\displaystyle{ y\in Y.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y\in \stackrel{ \rightarrow }{R} (x)}\), to \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\), wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \left( \left\{ a\right\} \times Y \right) \cap R}\), a zatem \(\displaystyle{ y\in \left[ \left( \left\{ x\right\} \times Y \right) \cap R\right] _P= R \left( \left\{ x\right\} \right)}\) , co dowodzi inkluzji w prawo.
Aby pokazać inkluzję w lewo:
Niech \(\displaystyle{ y\in R\left( \left\{ x\right\} \right)}\) , wtedy \(\displaystyle{ y\in \left[ R \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y\right) \right] _P}\), a więc \(\displaystyle{ \left( x', y\right) \in R \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ x'\in X}\), wtedy \(\displaystyle{ \left( x', y\right)\in R}\) i \(\displaystyle{ x'=x}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ y\in \stackrel{ \rightarrow } {R} (x).}\)
Również, dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla \(\displaystyle{ x\in R _L}\), wtedy: \(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow }{R} (x) = \stackrel { \leftarrow }{R ^{-1} } (x),}\)
czyli zbiór następników elementu \(\displaystyle{ x,}\) względem relacji danej, jest równy zbiorowi poprzedników tego elementu, ale względem relacji do niej odwrotnej.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Niech \(\displaystyle{ y\in Y}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ y\in \stackrel{ \rightarrow }{R} (x) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in R \Leftrightarrow \left( y,x\right) \in R ^{-1} \Leftrightarrow ,}\)
i ponieważ relacja \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest relacją z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\), więc to znaczy to samo, co:
czyli, zbiór poprzedników elementu \(\displaystyle{ x,}\) wzgledem relacji danej, jest równy zbiorowi jego następników, ale względem relacji do niej odwrotnej .
Dowód tego faktu łatwo wynika z faktu udowodnionego powyżej, oraz z prawa relacji (chyba mojego ulubionego ): \(\displaystyle{ \left( R ^{-1}\right) ^{-1}=R.}\)
Wykażemy teraz, że dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla zbioru \(\displaystyle{ B\subset Y}\), mamy:
\(\displaystyle{ R ^{-1} (B)= S\left( B\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ S= R ^{-1},}\)
( proszę teraz, broń Boże nie podstawiać za to \(\displaystyle{ S}\), bo wyjdzie formalna oczywistość),
czyli przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ B,}\) przez relację daną, jest równy obrazowi tego zbioru, ale przez relację do niej odwrotną.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ S(B)= \left[ S \cap \left( B \times X\right) \right] _P= \left[ R ^{-1} \cap \left( B \times X\right) \right]_P\stackrel{\left( X \times B\right) ^{-1} =B \times X }= \left[ R ^{-1} \cap \left( X \times B \right) ^{-1} \right] _P= \left[ R \cap \left( X \times B\right) \right] ^{-1}_P= \left[ R \cap \left( X \times B\right) \right] _L= R ^{-1} (B)= \\ =S(B),}\)
gdzie \(\displaystyle{ S= R ^{-1} . \square}\)
I podobnie, dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla zbioru \(\displaystyle{ A\subset X}\),mamy: \(\displaystyle{ R(A) =S ^{-1} (A)}\), gdzie \(\displaystyle{ S= R ^{-1},}\)
tzn. obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\), przez relację daną, jest równy przeciwobrazowi tego zbioru, ale przez relację do niej odwrotną.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zbiór \(\displaystyle{ S ^{-1}(A)}\) jest równy, na mocy faktu udowodnionego przed chwilą, ten zbiór jest równy:
\(\displaystyle{ =T(A)}\), gdze \(\displaystyle{ T= S ^{-1},}\)
A wtedy:
\(\displaystyle{ T= S ^{-1}= \left( R ^{-1} \right) ^{-1}= R}\).
A zatem ten (poprzedni) zbiór jest równy:
\(\displaystyle{ =R(A)}\),
czyli \(\displaystyle{ S ^{-1} (A)= R(A) }\), gdzie \(\displaystyle{ S=R ^{-1} . \square}\)
Rozwazmy jeszcze, dla \(\displaystyle{ n=2,3,\ldots}\) oraz dla \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots, X_n,}\) rozważmy relację \(\displaystyle{ n}\)-członową \(\displaystyle{ R\subset X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n}\), który to iloczyn kartezjański będziemy dalej zapisywać jako (bo chodzi o zbiór \(\displaystyle{ n}\)-ek, a nie o wielokrotny binarny iloczyn kartezjański ), dalej będziemy go zapisywać jako: \(\displaystyle{ \prod_{j=1}^{n} X_j.}\)
Niech, dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\), niech:
jest to zbiór \(\displaystyle{ i}\)-ych współrzednych układów uporządkowanych tej relacji, będziemy ten zbiór nazywać \(\displaystyle{ i}\)-a dziedziną tej relacji.
Wykazemy, że:
\(\displaystyle{ R\subset \prod_{i=1}^{n} D_i}\),
czyli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego pierwszej dziedziny tej relacji , jej drugiej dziedziny,\(\displaystyle{ \ldots}\), jej \(\displaystyle{ n}\)-ej dziedziny.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2,\ldots, x_n\right) \in R}\). Niech \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots, n}\). Wtedy \(\displaystyle{ x:=x_i \in X_i, }\) i \(\displaystyle{ \left( x_1, x_2,\ldots, x_n\right) \in R}\), skąd, na podstawie definicji \(\displaystyle{ i}\)-ej dziedziny \(\displaystyle{ D_i}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x=x_i \in D_i}\), i otrzymujemy (z dowolności wyboru indeksu \(\displaystyle{ i}\) ) otrzymujemy, że dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\): \(\displaystyle{ x_i \in D_i}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x_1, x_2,\ldots, x_n\right) \in D_1 \times D_2 \times \ldots \times D_n= \prod_{i=1}^{n} D_i }\), i:
Przedwczoraj udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to dla rodziny podzbiorów drugiej osi, wtedy przeciwobraz sumy tej rodziny jest równy sumie przeciwobrazów tych zbiorów.
Wykazałem również, że dla relacji \(\displaystyle{ R}\) między dwoma zbiorami \(\displaystyle{ X}\) a \(\displaystyle{ Y}\), dla zbioru \(\displaystyle{ B \subset R_P,}\) wtedy przeciwobraz dopełnienia tego zbioru, do zbioru \(\displaystyle{ R_P}\), może być innym zbiorem niż dopełnienie przeciwobrazu, do zbioru \(\displaystyle{ R_L.}\) Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Przypomnijmy, dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), dla rodziny podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), wtedy obraz sumy tej rodziny zbiorów jest równy sumie obrazów zbiorów tej rodziny, ten ciekawy fakt udowodniłem ostatnio TUTAJ- i ten fakt przyda się nam.
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y.}\)
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y.}\)
Wykażemy równość:
\(\displaystyle{ R ^{-1} \left( \bigcup\mathbb{B}\right) = \bigcup_{ A \in \mathbb{B}} R ^{-1} \left( A\right), }\)
czyli wykażemy, że przeciwobraz sumy tej rodziny zbiorów jest równy sumie przeciwobrazów zbiorów tej rodziny.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ R ^{-1} \left( \bigcup \mathbb{B}\right) = S\left( \bigcup \mathbb{B}\right)}\), dla \(\displaystyle{ S=R ^{-1}}\), czyli przeciwobraz sumy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\), przez relację \(\displaystyle{ R}\), jest równy obrazowi tej sumy, ale przez relację odwrotną \(\displaystyle{ S= R ^{-1}. }\)
Ponieważ w podanym linku udowodniłem, że dla relacji między dwoma zbiorami obraz sumy rodziny zbiorów jest równy sumie obrazów, a relacja odwrotna to też jest relacja ze zbioru w zbiór, więc ten zbiór jest równy sumie obrazów zbiorów tej rodziny, czyli jest to równe: \(\displaystyle{ = \bigcup_{A \in \mathbb{B}} S\left( A\right).}\)
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ S\left( A\right) = R ^{-1} \left( A\right)}\) , czyli przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez relację \(\displaystyle{ R}\) jest równy obrazowi tego zbioru, ale przez relację odwrotną \(\displaystyle{ S=R ^{-1}}\); i to dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\); a zatem:
\(\displaystyle{ \left\{ S\left( A\right): \ A \in \mathbb{B} \right\} = \left\{ R ^{-1} \left( A\right): \ A \in \mathbb{B} \right\}.}\)
A zatem, ponieważ dla rodziny zbiorów istnieje tylko jedna jej suma, a zatem:
\(\displaystyle{ \bigcup \left\{ S\left( A\right): \ A \in \mathbb{B} \right\} = \bigcup \left\{ R ^{-1} \left( A\right) : \ A \in \mathbb{B}\right\} ,}\)
czyli:
\(\displaystyle{ R ^{-1} \left( \bigcup \mathbb{B}\right) = \bigcup_{ A \in \mathbb{B}} S\left( A\right) = \bigcup_{A \in \mathbb{B}} R ^{-1} \left( A\right).\square}\)
Oto ilustracja tego faktu: \(\displaystyle{ \\ }\)
\(\displaystyle{ \\}\)
Przejdźmy do drugiego z naszych faktów:
Wykażemy, że dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ X}\), dla zbioru \(\displaystyle{ B \subset R_P}\), wtedy przeciwobraz dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ B}\), do zbioru \(\displaystyle{ R_P}\), może być różny od dopełnienia przeciwobrazu zbioru \(\displaystyle{ B}\), gdzie chodzi o dopełnienie przeciwobrazu do zbioru \(\displaystyle{ R_L.}\)
Oto ilustracja tego ciekawego faktu: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\) Wynika stąd, że dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ X}\), dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset R_P}\), wtedy przeciwobraz różnicy \(\displaystyle{ A \setminus B}\) może być różny od różnicy przeciwobrazów, tzn. może być:
\(\displaystyle{ R ^{-1} \left( A \setminus B\right) \neq R ^{-1} \left( A\right) \setminus R ^{-1} \left( B\right) .}\)
Wystarczy wziąć ten sam kontrprzykład co powyżej, oraz \(\displaystyle{ A=R_P}\) i \(\displaystyle{ B= \left[ 0,1\right]}\) ,
i łatwo to wynika z faktu, że przeciwobraz dopełnienia może być różny od dopełnienia przeciwobrazu (gdyż dopełnienie zbioru możemy zapisać za pomocą różnicy), łatwo możemy ten fakt udowodnić.
Dodano po 7 miesiącach 20 godzinach 42 minutach 38 sekundach:
Przedwczoraj łatwo udowodniłem sobie na dobranoc, że jeśli mamy relację \(\displaystyle{ R}\) miedzy dwoma zbiorami, oraz
mamy punkt na drugiej osi (a dokładniej to: mamy punkt z prawej dziedziny tej relacji), to zbiór poprzedników tego elementu względem tej relacji jest równy przeciwobrazowi przez tą relację zbioru jednopunktowego złożonego z tego elementu.
Tzn.:
Jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), oraz \(\displaystyle{ b \in R_P}\), to:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \leftarrow }{R} \left( b\right)= R ^{-1} \left\{ b\right\}.}\)
Gdyż, ponieważ dla relacji między dwoma zbiorami, dla punktu na drugiej osi, wtedy zbiór poprzedników tego elementu jest równy zbiorowi jego następników, ale przez relację do niego odwrotną; i ponieważ dla relacji między dwoma zbiorami, dla elementu na pierwszej osi, zbiór jego następników przez tą relację jest równy obrazowi przez tą relację zbioru jednopunktowego złożonego z tego elementu (w powyższych postach można znaleźć dowód tego faktu, jak i można poczytać o tych zbiorach następników elementu, zbiorach poprzedników elementu, itd. ), więc:
gdzie \(\displaystyle{ S=R ^{-1}}\), a więc to jest równe, na mocy powyższego ostatnio podanego faktu, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ =S\left( \left\{ b\right\} \right)= T ^{-1} \left\{ b\right\}=}\)
czyli to jest równe przeciwobrazowi tego zbioru jednopunktowego \(\displaystyle{ \left\{ b \right\}}\) przez relację odwrotną \(\displaystyle{ T=S ^{-1}}\);
ale wtedy:
\(\displaystyle{ T= S^{-1}= \left( R ^{-1} \right) ^{-1}=R}\),
a więc to jest równe przeciwobrazowi :
\(\displaystyle{ = R ^{-1} \left\{ b\right\}.\square }\)
Dodam jeszcze jeden prosty fakt:
Analogicznie do zadania z naiwnej teorii mnogości na ważniaku, gdzie jest \(\displaystyle{ n}\) punktów w przestrzeni trójwymiarowej, niech \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\), i analogicznie, rozważmy \(\displaystyle{ n}\) punktów na płaszczyźnie; formalnie: niech \(\displaystyle{ R}\) będzie niepustą, skończoną relacją w zbiorze liczb rzeczywistych (wtedy relacja \(\displaystyle{ R}\) będzie zbiorem wszystkich takich punktów). Wtedy rzuty tej relacji na lewą i na prawą oś, tzn. zbiory \(\displaystyle{ R_L}\) i \(\displaystyle{ R_P}\) są zbiorami skończonymi. Wykażemy, że:
przy czym równość mocy, zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ R}\) jest zbiorem punktów na odcinku poziomym lub zbiorem punktów na odcinku pionowym.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ mamy prawo relacji:
\(\displaystyle{ R \subset R_L \times R_P,}\)
i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ R_L}\) i \(\displaystyle{ R_P}\) są zbiorami skończonymi, więc:
Podobnie, jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest zbiorem punktów na odcinku pionowym, tzn. gdy jest postaci \(\displaystyle{ R=\left\{ a\right\} \cdot R_P}\), to w podobny sposób otrzymujemy równość mocy zbiorów.
A jeśli dla relacji \(\displaystyle{ R}\), zarówno rzut \(\displaystyle{ R_L}\) jak i rzut \(\displaystyle{ R_P}\) nie są zbiorami jednoelementowymi, ponieważ relacja \(\displaystyle{ R}\) z założenia jest niepusta, to ich rzuty również, a więc obydwa rzuty są co najmniej dwuelementowe.
przy czym równość mocy, zachodzi tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ R}\) jest zbiorem punktów na odcinku poziomym lub zbiorem punktów na odcinku pionowym.
Tu jest pomyłka:
Wystarczy, jako kontrprzykład, rozważyć wierzchołki kwadratu \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right]}\), tzn. rozważmy zbiór czteroelementowy: \(\displaystyle{ R:=\left\{ 0,1\right\} \times \left\{ 0,1\right\} \subset \RR ^{2} .}\)
i relacja \(\displaystyle{ R}\) nie leży na jednym odcinku poziomym, ani nie leży na jednym odcinku pionowym, niestety.
Odpuściłem sobie szczegółowe uzasadnienie tej tezy (ale myślałem, że będę w stanie się wybronić, i chyba zrobiłem przeskok myślowy, i zrobiłem błąd... przepraszam ); i tym samym powyższa ilustracja jest myląca- przepraszam.
Przypomnijmy (Andrzej Grzegorczyk 'Zarys logiki matematycznej', str. 19):
Jeśli mamy podzbiór płaszczyzny \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2}}\), to każdemu punktowi \(\displaystyle{ P \in A}\) możemy przypisać jego rzut \(\displaystyle{ r\left( P\right)}\) na oś \(\displaystyle{ x,}\) i zbiór: \(\displaystyle{ O\left( A\right):= \left\{ r\left( P\right)\Bigl| \ P \in A \right\};}\)
nazywamy rzutem prostopadłym zbioru \(\displaystyle{ A}\) na oś poziomą.
Można łatwo to pojęcie uogólnić na dowolny iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X \times Y}\):
Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A \subset X \times Y}\), to każdemu punktowi \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in A}\) przypisujemy jego pierwszą współrzędną, tzn. definiujemy funkcję \(\displaystyle{ r}\) jako: \(\displaystyle{ r\left( \left( x,y\right) \right)=x}\), a następnie definiujemy zbiór: \(\displaystyle{ O\left( A\right):= \left\{ r\left( P\right)\Bigl| \ P \in A \right\};}\)
nazwiemy go również rzutem prostopadłym relacji \(\displaystyle{ A}\) na oś poziomą.
W ostatnią środę wykazałem, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), oraz jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ B \subset Y}\), taki, że \(\displaystyle{ B\supset R _{P}}\), tzn. mamy zbiór zawierający prawą dziedzinę relacji \(\displaystyle{ R}\), to przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ B}\) przez relację \(\displaystyle{ R}\) jest równy rzucie prostopadłym relacji \(\displaystyle{ R}\) na oś poziomą.
Wprowadziłem tutaj też analogiczne pojęcie rzutu prostopadłego relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y}\) na oś pionową, i udowodniłem, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A \subset X,}\) taki, że \(\displaystyle{ A\supset R _{L},}\) tzn. mamy zbiór zawierający lewą dziedzinę relacji \(\displaystyle{ R,}\) to ten rzut prostopadły relacji \(\displaystyle{ R}\) jest równy obrazowi zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez tą relację. Udowodniłem też, że rzut prostopadły relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y}\) na oś pionową jest równy rzucie prostopadłym relacji \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) na oś poziomą, ale chodzi tu o rzut relacji odwrotnej \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) ; i na odwrót. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\); i niech \(\displaystyle{ B \subset Y}\) będzie dowolnym zbiorem takim, że \(\displaystyle{ B\supset R_P}\). Wykażemy, że: \(\displaystyle{ R ^{-1} \left( B\right)= O\left( R\right)}\); tzn. wykażemy, że przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ B}\) przez relację \(\displaystyle{ R}\) jest równy rzucie prostopadłym tej relacji na oś poziomą.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Jeśli \(\displaystyle{ S \in R ^{-1}\left( B\right) = \left[ R \cap \left( X \times B\right) \right]_L}\), to \(\displaystyle{ \left( S,y\right) \in R \cap \left( X \times B\right)}\), dla pewnego elementu \(\displaystyle{ y \in Y.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \left( S,y\right) \in R}\) oraz \(\displaystyle{ S \in X}\) i \(\displaystyle{ y \in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left( S,y\right) \in R}\), i \(\displaystyle{ r\left( \left( S,y\right) \right)=S}\), to \(\displaystyle{ S \in O\left( R\right).}\)
Jeśli \(\displaystyle{ S \in O\left( R\right)}\), to z definicji tego rzutu prostopadłego \(\displaystyle{ S=r\left( P\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ P \in R}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ R}\) jest relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to \(\displaystyle{ P=\left( x,y\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ y \in Y}\). Wtedy \(\displaystyle{ y \in R _{P} \subset B}\), a zatem \(\displaystyle{ y \in B}\) i \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in X \times B.}\) Mamy \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R \cap \left( X \times B\right),}\) i stąd \(\displaystyle{ x \in \left[ R \cap \left( X \times B\right) \right] _{L}= R ^{-1} \left( B\right)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ S= r\left( P\right)=r\left( \left( x,y\right) \right)=x}\), to również \(\displaystyle{ S=x \in R ^{-1} \left( B\right),}\) i \(\displaystyle{ O\left( R\right)=R ^{-1}\left( B\right).\square}\)
Wprowadzimy teraz pojęcie rzutu prostopadłego relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y}\) na oś pionową, tzn.:
Jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), to:
Wpierw parzę \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R}\) przypiszmy jej drugą współrzędną, tzn. rozważmy funkcję \(\displaystyle{ s}\), daną jako: \(\displaystyle{ s\left( \left( x,y\right) \right)=y}\), i następnie zbiór: \(\displaystyle{ S\left( R\right):= \left\{ s\left( P\right)\Bigl| \ \ P \in R \right\};}\)
nazwiemy rzutem prostopadłym relacji \(\displaystyle{ R}\) na oś pionową.
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), i niech zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) będzie dowolnym podzbiorem \(\displaystyle{ X}\) takim, że \(\displaystyle{ A\supset R _{L}.}\) Wykażemy, że: \(\displaystyle{ R\left( A\right) = S\left( R\right);}\)
tzn. wykażemy, że obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez relację \(\displaystyle{ R}\) jest równy temu rzutowi prostopadłemu relacji \(\displaystyle{ R}\).
Podajmy najpierw pewne dwa Lematy: Lemat 1:Jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to: \(\displaystyle{ S\left( R\right) = O\left( R ^{-1} \right);}\)
tzn. rzut prostopadły relacji \(\displaystyle{ R}\) na oś pionową jest równy rzucie relacji odwrotnej \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) na oś poziomą.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Zauważmy najpierw, że: \(\displaystyle{ S(R) \subset Y}\) i \(\displaystyle{ O\left( R ^{-1} \right) \subset Y.}\)
Niech więc \(\displaystyle{ y \in Y}\).
Wtedy: \(\displaystyle{ y \in S\left( R\right) \Leftrightarrow y=s\left( P\right), \hbox{ dla pewnego punktu }P \in R,}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ P=\left( x,y\right)}\), dla pewnego elementu \(\displaystyle{ x \in X}\), to wtedy: \(\displaystyle{ s\left( \left( x,y\right) \right)=y;}\) wtedy \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R ^{-1}}\) i \(\displaystyle{ r\left( \left( y,x\right) \right)= y,}\) a zatem to jest równoważne z tym, że: \(\displaystyle{ \Leftrightarrow r\left( \left( y,x\right) \right)=y \in O\left( R ^{-1} \right), \hbox{ dla pewnego elementu }x \in X,}\)
czyli to znaczy, że: \(\displaystyle{ \Leftrightarrow y \in O\left( R ^{-1} \right).}\)
A zatem (patrz początkowy komentarz): \(\displaystyle{ S\left( R\right) = O\left( R ^{-1} \right).\square}\)
Podajmy teraz nasz drugi Lemat: Lemat 2:
Jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to: \(\displaystyle{ O\left( R\right) =S\left( R ^{-1} \right);}\)
tzn. rzut prostopadły relacji \(\displaystyle{ R}\) na oś poziomą jest równy rzucie prostopadłym relacji \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) na oś pionową. Oto:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Na mocy powyższego Lematu otrzymujemy (relacja odwrotna to też jest relacja między dwoma zbiorami, u nas mianowicie jest to relacja między zbiorem \(\displaystyle{ Y}\) a \(\displaystyle{ X}\)), więc otrzymujemy: \(\displaystyle{ S\left( R ^{-1} \right)= O\left( \left( R ^{-1}\right) ^{-1} \right) = O\left( R\right).\square}\)
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU(zachowując wprowadzone oznaczenia):
Relacja \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest relacją z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\), i ponieważ \(\displaystyle{ \left( R^{-1} \right) _{P}= R _{L}}\), to \(\displaystyle{ A\supset \left( R ^{-1} \right) _{P}.}\)
A zatem, na mocy naszego pierwszego udowodnionego w tym poście faktu, otrzymujemy: \(\displaystyle{ T ^{-1} \left( A\right)= O\left( T\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ T=R ^{-1};}\)
tzn. przeciwobraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez relację \(\displaystyle{ T=R ^{-1}}\) jest równy rzucie prostopadłym tej relacji na oś poziomą.
Wtedy \(\displaystyle{ R\left( A\right)= T ^{-1} \left( A\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ T=R ^{-1}.}\) Wtedy: \(\displaystyle{ R\left( A\right) = T ^{-1}\left( A\right) = O\left( T\right)= S\left( T ^{-1} \right)=}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ T= R ^{-1}}\), więc \(\displaystyle{ T ^{-1}= \left( R ^{-1} \right) ^{-1}= R}\),
a więc to jest równe \(\displaystyle{ =S\left( R\right).\square}\)
O jej- teraz zauważyłem, że te rzuty prostopadłe relacji \(\displaystyle{ R \subset X \times Y}\) to są to odpowiednio: lewa i prawa dziedzina relacji \(\displaystyle{ R}\), nie pomyślałem tutaj o tym, i tylko fakt z obrazem może być tutaj dla mnie nowym...
Dodam tutaj jeszcze takie ciekawe spostrzeżenie, że robiąc dowód w liczbach naturalnych dodatnich, i nie sprawdzając początkowego założenia o istnieniu liczby o danej własności, można wtedy dojść do wniosku, że \(\displaystyle{ 1}\) jest największą dodatnią liczbą naturalną.
CHYBIONY DOWÓD TEGO FAKTU:
Oznaczmy największą dodatnią liczbą naturalną przez \(\displaystyle{ x}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \ge 1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ x>1}\), to \(\displaystyle{ x ^{2}= x \cdot x>1 \cdot x=x}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x ^{2}=x \cdot x}\), jako iloczyn dwóch liczb naturalnych, jest liczbą naturalna (i to dodatnią), to liczba \(\displaystyle{ x}\) nie może być największą dodatnią liczbą naturalną, więc otrzymujemy tutaj sprzeczność.
Zatem \(\displaystyle{ x\not>1}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) musi być równe \(\displaystyle{ 1.\square}\)
Błąd w tym dowodzie jest łatwy do wskazania- nie ma największej dodatniej liczby naturalnej, bo do każdej można dodać \(\displaystyle{ 1,}\) i otrzymać jeszcze większą...