Podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2}}\) płaszczyzny, nazywamy zbiorem symetrycznym względem początku układu, gdy zachodzi implikacja:
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in A \Longrightarrow \left( -x,-y\right) \in A;}\)
czyli podzbiór płaszczyzny jest symetryczny względem początku układu, gdy z każdym swoim punktem zawiera również punkt o przeciwnych współrzędnych.
Można łatwo pokazać, że suma dwóch zbiorów symetrycznych względem początku układu jest również symetryczna względem początku układu, jak również przekrój dwóch zbiorów symetrycznych względem początku układu jest symetryczny względem początku układu. Udowodniłem niedawno, że różnica dwóch zbiorów symetrycznych względem początku układu jest również symetryczna względem początku układu. Wynika stąd łatwo, że dopełnienie (do całej płaszczyzny) zbioru symetrycznego względem początku układu jest również symetryczne, jak i różnica symetryczna dwóch zbiorów symetrycznych względem początku układu jest również symetryczna. Udowodniłem, gdyż podzbiory płaszczyzny to są to dokładnie relacje w zbiorze liczb rzeczywistych, więc jeśli mamy podzbiór płaszczyzny, czyli relacje w zbiorze liczb rzeczywistych, która jest zbiorem symetrycznym względem początku układu, to relacja odwrotna jest również symetryczna (względem początku układu). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2}}\) będą zbiorami symetrycznymi względem początku układu \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\). Wykażemy, że różnica \(\displaystyle{ A \setminus B }\) jest zbiorem symetrycznym względem początku układu.
Niech \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in A \setminus B}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in A, \left( x,y\right)\not \in B}\).
Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem początku układu, więc \(\displaystyle{ \left( -x,-y\right) \in A}\). I mamy \(\displaystyle{ \left( -x,-y\right) \not \in B}\), bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ \left( -x,-y\right) \in B}\), to ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest symetryczny względem początku układu, więc moglibyśmy wnioskować, że: \(\displaystyle{ \left( -\left( -x\right); -\left( -y\right) \in B \right)}\), czyli, że \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in B}\)- sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ \left( -x,-y\right)\not \in B}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( -x,-y\right) \in A \setminus B,}\) i zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem początku układu.\(\displaystyle{ \square}\)
Wynika stąd łatwo, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2}}\) jest symetryczny względem początku układu, to jego dopełnienie \(\displaystyle{ A'= \RR ^{2} \setminus A}\) jest również symetryczne względem początku układu.
Dla dowodu wystarczy zauważyć, że cała płaszczyzna jest symetryczna względem początku układu (o czym można łatwo przekonać się), i wystarczy zastosować powyższy fakt z różnicą.
Wynika stąd również, że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2}}\) symetryczne względem początku układu, to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ A\oplus B}\) jest również symetryczna względem początku układu.
Dla dowodu wystarczy zauważyć, że:
\(\displaystyle{ A\oplus B= \left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right),}\)
i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są symetryczne, więc zarówno suma \(\displaystyle{ A \cup B}\), jak i ich przekrój są również symetryczne, i w efekcie różnica symetryczna \(\displaystyle{ A\oplus B}\), jako różnica dwóch zbiorów symetrycznych względem początku układu, jest również symetryczna względem początku układu.\(\displaystyle{ \square}\)
Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2}}\) jest relacją w zbiorze liczb rzeczywistych, która jest zbiorem symetrycznym względem początku układu, to relacja odwrotna \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) jest również symetryczna.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in A ^{-1}}\). Z definicji relacji odwrotnej oznacza to, że: \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in A}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem początku układu, więc \(\displaystyle{ \left( -y,-x\right) \in A}\), a więc, z definicji relacji odwrotnej otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ \left( -x,-y\right) \in A ^{-1}. \square}\)
