Matematyka.pl

Podać przykład relacji, która jest symetryczna i przechodnia, ale nie jest zwrotna.

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Weźmy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\} }\) i określmy na nim relację pustą. Nie jest ona zwrotna bo \(\displaystyle{ 1}\) nie jest w relacji z \(\displaystyle{ 1}\). Jest symetryczna, bo jeśli \(\displaystyle{ 1}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ 1}\) (a nie jest) to \(\displaystyle{ 1}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ 1}\) i odwrotnie. Poprzednik implikacji jest zawsze fałszywy, a zatem implikacja jest zawsze prawdziwa czyli jest symetryczna. Jest przechodnia bo jeśli \(\displaystyle{ 1}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ 1}\) to \(\displaystyle{ 1}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ 1}\). Poprzednik implikacji znowu jest zawsze fałszywy, a zatem implikacja jest prawdziwa.

Czy tak jest dobrze? A może jest jakiś fajniejszy przykład takiej relacji?

max123321 pisze: ↑4 sie 2023, o 19:34 Czy tak jest dobrze?

Imho tak.

max123321 pisze: ↑4 sie 2023, o 19:34 A może jest jakiś fajniejszy przykład takiej relacji?

Z każdej relacji równoważności można wyciąć przekątną i będzie to szukana relacja. To znaczy niech \(\displaystyle{ \rho\subset X \times X}\) będzie relacją równoważności; \(\displaystyle{ \rho \setminus \Delta}\) jest symetryczna (co widać nawet wizualnie bo \(\displaystyle{ \rho}\) jest symetryczne i wyciąłeś symetryczny zbiór \(\displaystyle{ \Delta}\)). No i \(\displaystyle{ \rho \setminus \Delta}\) pozostanie zwrotna bo w warunku poprzednik implikacji będzie pradą jedynie gdy będziesz wybierać różne elementy \(\displaystyle{ X}\), a one i tak nie leżą na przekątnej więc zostaną nietknięte. Można na to patrzeć też inaczej; przez pryzmat zasady abstrakcji. Bowiem każda relacja równoważności \(\displaystyle{ \rho}\) na \(\displaystyle{ X}\) zadaje kanoniczny podział (tj.: zbiór ilorazowy \(\displaystyle{ X/_{\rho}}\)) na klasy abstrakcji. I na każdej takie klasie abstrakcji relacja równoważności wygląda tak:


gdzie \(\displaystyle{ x,y,z}\) to dowolne elementy narysowanej tu jednej przykładowej klasy abstrakcji. Wystarczy, że usuniesz wszystkie strzałki prowadzące z \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ x}\) (po wszystkich \(\displaystyle{ x\in X}\)). A dostaniesz szukaną relację.

Janusz Tracz pisze: ↑4 sie 2023, o 21:05 Z każdej relacji równoważności można wyciąć przekątną i będzie to szukana relacja.

Serio? Uważasz, że relacja równoważności bez przekątnej jest przechodnia?!

JK

No cóż... myślałem, że już dzisiaj nie zaskoczę sam siebie tym jak głupi jestem. Ale jednak mi się udało.

Proponuję dodać pewną funkcjonalność forum: 3 miesięczny ban za pisanie kompletnych bzdur. To by trochę chroniło ludzi (w szczególności młodych studentów) który potem to czytają. Skoro za brak LaTex można dostać bana..., co swoją drogą jest mniej destrukcyjne.

Napiszmy zatem dla potomnych, że przykład Janusza Tracza jest błędny, gdyż taka relacja będzie bardzo nieprzechodnia: odwołując się do rysunku, jeśli \(\displaystyle{ xRy}\) i \(\displaystyle{ yRx}\), to przechodniość wymusza \(\displaystyle{ xRx}\) i \(\displaystyle{ yRy.}\)

Lepszym pomysłem jest wzięcie relacji równoważności, wybranie jednej klasy abstrakcji i usunięcie z relacji wszystkich par, w których występują elementy tej wybranej klasy abstrakcji.

JK

max123321 pisze: ↑4 sie 2023, o 19:34 Podać przykład relacji, która jest symetryczna i przechodnia, ale nie jest zwrotna.
A może jest jakiś fajniejszy przykład takiej relacji?

Rozważmy dowolny, co najmniej dwuelementowy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz ustalony element \(\displaystyle{ x \in X}\).
Wtedy relacja:

\(\displaystyle{ R:=I _{X} \setminus \left\{ \left( x,x\right) \right\};}\)

nie jest oczywiście zwrotna, jest symetryczna i jest przechodnia (bo w tej relacji, występują w niej tylko pary, postaci: \(\displaystyle{ \left( y,y\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ y \in X}\), \(\displaystyle{ y \neq x}\), a zatem, gdyby nie była przechodnia, to mielibyśmy \(\displaystyle{ \left( y_1, y_1\right) \in R}\),\(\displaystyle{ \left( y_1, y_1\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ \left( y_1, y_1\right) \not \in R,}\) dla pewnego elementu \(\displaystyle{ y_1 \in X}\), co jest oczywistą sprzecznością).
Wobec czego taka relacja jest przechodnia, jest symetryczna (bo identyczność \(\displaystyle{ I_X}\) jest (formalnie rzecz biorąc, pojęciowo jest to mało ciekawe) jest relacją symetryczną, a więc taka relacja \(\displaystyle{ R}\) tym bardziej będzie symetryczna (dla dowolnej relacji \(\displaystyle{ S \subset X \times X}\), relacja \(\displaystyle{ S \cap I_X}\) jest relacją symetryczną), czyli podzbiór przekątnej \(\displaystyle{ I_X}\) musi być relacją symetryczną ), a więc relacja \(\displaystyle{ R}\) jest relacją symetryczną, i oczywiście nie jest zwrotna, (bo \(\displaystyle{ R\not\supset I_X}\)), i jest to relacja niepusta, bo zbiór \(\displaystyle{ X}\) ma co najmniej dwa elementy, a mamy prostą równoliczność: \(\displaystyle{ I_X\sim X.}\) \(\displaystyle{ \square}\)

Ok, ale jeszcze się upewnię bo się tu trochę zamieszanie zrobiło. Czy ten przykład, który podałem na początku jest poprawny?

max123321 pisze: ↑6 sie 2023, o 15:55Czy ten przykład, który podałem na początku jest poprawny?

Tak (jeśli zadanie dopuszczało relację pustą).

JK