Matematyka.pl

Tak sądzę. Ani nie widzę przeszkód żebyś wskazał luki

Jeśli chodzi o mnie, to nie mam z tym rozumowaniem problemów, ale ponieważ Twój post pojawił się w tym, a nie innym miejscu, to jakoś tak naszła mnie... ogólna refleksja.

JK

Cóż, ja też próbuje pogłębiać

Udowodniłem przedwczoraj, że jeśli mamy zbiór liniowo uporządkowany ciągły z elementem najmniejszym i największym, oraz mamy dwa jego podzbiory, to zbiór prawostronny (zbiór jego wszystkich ograniczeń górnych) do sumy tych dwóch podzbiorów jest sumą zbiorów prawostronnych (oczywiście nie zawsze- mamy przecież inne prawo: zbiór prawostronny do sumy dwóch podzbiorów zbioru liniowo uporządkowanego jest przekrojem zbiorów prawostronnych), lecz dokładnie wtedy, gdy te dwa zbiory mają równe suprema (supremum).
Udowodniłem również analogiczny fakt (w sposób nie analogiczny- w sposób ciekawszy ) dla zbiorów lewostronnych, tzn. udowodniłem, że jeśli mamy zbiór liniowo uporządkowany ciągły z elementem najmniejszym i największym, oraz mamy dwa jego podzbiory, to zbiór lewostronny do sumy tych dwóch podzbiorów jest sumą zbiorów lewostronnych ( oczywiście nie zawsze, ogólne prawo mówi przecież, że zbiór lewostronny do sumy dwóch podzbiorów zbioru liniowo uporządkowanego jest przekrojem zbiorów lewostronnych), lecz dokładnie wtedy, gdy te dwa zbiory mają równe infima.
Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Najpierw, spróbujmy może coś zauważyć w dowolnym zbiorze liniowo uporządkowanym:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym.
Rozważmy dwa zbiory: \(\displaystyle{ A,B \subset X.}\)

Ponieważ mamy prawo:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) _+= A_+ \cap B_+;}\)

tzn. zbiór prawostronny do sumy tych dwóch podzbiorów jest przekrojem zbiorów prawostronnych, więc otrzymujemy równoważności:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)_+= A_+ \cup B_+ \Longleftrightarrow A_+ \cup B_+= A_+ \cap B_+ \Longleftrightarrow A_+= B_+;}\)

gdyż suma dwóch zbiorów jest równa przecięciu tych samych zbiorów, dokładnie wtedy, gdy te dwa zbiory są równe.

A zatem, zbiór prawostronny do sumy dwóch podzbiorów zbioru liniowo uporządkowanego jest sumą zbiorów prawostronnych, dokładnie wtedy, gdy te zbiory mają takie same zbiory prawostronne. W ogólności powiedzieć coś więcej jest mi ciężko, bo w zbiorze liniowo uporządkowanym podzbiór może nie mieć elementu największego, może nawet nie mieć supremum. Jednak, w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym, każde (prawie) podzbiory mają suprema. Wykażemy zatem, że:

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym z elementem najmniejszym \(\displaystyle{ T_-}\) i z elementem największym \(\displaystyle{ T_+}\), oraz mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to mamy równoważność:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) _+= A_+ \cup B_+ \Longleftrightarrow \bigvee A= \bigvee B;}\)

tzn. zbiór prawostronny do sumy tych dwóch podzbiorów jest sumą zbiorów prawostronnych, dokładnie wtedy, gdy te dwa zbiory mają równe supremum.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Wiemy już, że:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)_+= A_+ \cup B_+ \Longleftrightarrow A_+= B_+.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ T_+}\) jest elementem największym, to \(\displaystyle{ T_+}\) jest ograniczeniem górnym zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), bo jak w zbiorze liniowo uporządkowanym jest element największy, to każdy podzbiór jest ograniczony od góry (przez element największy). A więc zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są ograniczone od góry.

Jeśli \(\displaystyle{ A= \left\{ \right\}}\) lub \(\displaystyle{ B= \left\{ \right\}}\), to ponieważ \(\displaystyle{ T_-}\) jest elementem najmniejszym, więc jest to supremum pustego podzbioru, a więc zbiór pusty ma supremum.

Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niepuste, a są ograniczone od góry i zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, więc zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają supremum \(\displaystyle{ \bigvee A}\) i \(\displaystyle{ \bigvee B.}\)

Przejdźmy do dowodu naszej równoważności:

Jeśli \(\displaystyle{ A_+= B_+}\), to:

Zauważmy najpierw, że supremum \(\displaystyle{ \bigvee B}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). A zatem \(\displaystyle{ \bigvee B \in B_+= A_+}\), a zatem, w myśl zasady równości zbiorów: \(\displaystyle{ \bigvee B\in A_+}\), czyli supremum \(\displaystyle{ \bigvee B}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ supremum \(\displaystyle{ \bigvee A}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), więc: \(\displaystyle{ \bigvee A \le \bigvee B}\).

Analogicznie udowadniamy, że \(\displaystyle{ \bigvee B \le \bigvee A.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \le}\) jest liniowym porządkiem, a więc relacją antysymetryczną, więc: \(\displaystyle{ \bigvee A= \bigvee B}\), co dowodzi implikacji w prawo.

Aby pokazać implikację w lewo, tzn. że \(\displaystyle{ A_+= B_+}\),
to pokażmy najpierw, że: \(\displaystyle{ A_+ \subset B_+.}\)

Niech \(\displaystyle{ x \in A_+}\). Wtedy element \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ supremum \(\displaystyle{ \bigvee A}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), więc
\(\displaystyle{ \bigvee B= \bigvee A \le x.}\)

Wykażemy teraz, że element \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B}\).

Niech więc \(\displaystyle{ b \in B}\). Ponieważ supremum \(\displaystyle{ \bigvee B}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ b \le \bigvee B \le x}\), a więc, z przechodniości porządku: \(\displaystyle{ b \le x}\), i element \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B}\);

a stąd \(\displaystyle{ x \in B_+}\), co dowodzi inkluzji: \(\displaystyle{ A_+ \subset B_+}\).

Analogicznie udowadniamy, że: \(\displaystyle{ B_+ \subset A_+}\), co łącznie daje:

\(\displaystyle{ A_+=B_+ \Longleftrightarrow \left( A \cup B\right) _+= A_+ \cup B_+.\square }\)


Wykażemy analogiczny fakt dla zbiorów lewostronnych.

Wpierw zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, i mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to ponieważ :

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)_-= A_- \cap B_-,}\)

zbiór lewostronny do sumy tych dwóch podzbiorów jest przekrojem zbiorów lewostronnych, więc otrzymujemy równoważność:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)_-= A_- \cup B_- \Longleftrightarrow A_- \cup B_-= A_- \cap B_- \Longleftrightarrow A_-= B_-,}\)

a więc zbiór lewostronny do sumy dwóch podzbiorów danego zbioru jest sumą zbiorów lewostronnych, dokładnie wtedy, gdy te dwa podzbiory mają takie same zbiory lewostronne. W zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym z elementem najmniejszym i największym pokażemy nawet jeszcze więcej, tzn.:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, z elementem najmniejszym \(\displaystyle{ T_-}\) i z elementem największym \(\displaystyle{ T_+}\).

Wtedy, jeśli \(\displaystyle{ A \subset X}\), to ponieważ \(\displaystyle{ T_-}\) jest elementem najmniejszym, więc \(\displaystyle{ T_-}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony od dołu; i, jeśli \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}}\) , to ponieważ \(\displaystyle{ A \subset X}\), a zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum \(\displaystyle{ \bigwedge A.}\)

A jeśli \(\displaystyle{ A=\left\{ \right\}}\), to ponieważ \(\displaystyle{ T_+}\) jest elementem największym, to \(\displaystyle{ T_+= \bigwedge \left\{ \right\} }\)- jest to infimum pustego podzbioru. W każdym przypadku zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum.

Rozważmy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\).

Wykażemy równoważność:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) _-= A_- \cup B_- \Longleftrightarrow \bigwedge A= \bigwedge B;}\)

czyli zbiór lewostronny do sumy tych dwóch podzbiorów jest sumą zbiorów lewostronnych, dokładnie wtedy, gdy te dwa zbiory mają równe infimum.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli \(\displaystyle{ \bigwedge A= \bigwedge B}\), to:

ponieważ zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest ciągły, to porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\) również jest ciągły (porządek odwrotny do ciągłego jest ciągły- jest to prosty fakt), a ponieważ w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest element najmniejszy i największy, to w porządku odwrotnym również jest element najmniejszy i największy.

Ponieważ \(\displaystyle{ \bigwedge A=\bigwedge B}\), więc:

\(\displaystyle{ \bigvee \limits_{\left( X, \le ^{-1} \right) } A =\bigvee \limits_{\left( X, \le ^{-1} \right) } B.}\)

A zatem, na mocy równoważności pokazanej powyżej:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) _{+} ^{-1}= A ^{-1} _{+} \cup B _{+} ^{-1},}\)

a to oznacza również, na mocy własności ogólnej, więc: \(\displaystyle{ A ^{-1} _{+}= B _{+} ^{-1}}\), a stąd można pokazać łatwo, na mocy własności porządków odwrotnych dla ograniczeń dolnych i górnych, że:

\(\displaystyle{ A_-= B_- \Leftrightarrow \left( A \cup B\right) _-= A_- \cup B_-}\),

co dowodzi implikacji w lewo.

Aby pokazać implikację w prawo, to:

Jeśli \(\displaystyle{ A_-= B_-}\), to ponieważ porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{} \right)}\) , jako porządek odwrotny do ciągłego jest ciągły, i jest w nim element najmniejszy i największy, więc ponieważ \(\displaystyle{ A_-= B_-}\), względem porządku \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\), więc, z własności ograniczeń dolnych/górnych w porządku odwrotnym, więc możemy łatwo pokazać, że:

\(\displaystyle{ A _{+} ^{-1}= B _{+} ^{-1},}\)

a stąd, na mocy wprowadzonej ogólnej własności:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) ^{-1} _{+} = A _{+} ^{-1} \cup B _{+} ^{-1};}\)

i ponieważ zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest ciągły, i ma element najmniejszy i największy, więc na mocy dowodu powyżej zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają równe suprema, tzn.:

\(\displaystyle{ \bigvee \limits_{\left( X, \le ^{-1} \right) } A =\bigvee \limits_{\left( X, \le ^{-1} \right) } B,}\)

a stąd łatwo wynika, że te zbiory mają równe infima względem porządku danego, tzn.:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\left( X, \le \right) }A= \bigwedge\limits_{\left( X, \le \right) }B.\square }\)


Na koniec dodam jeden prosty fakt:

Niech \(\displaystyle{ n \in \NN_+= \left\{ 1,2,3,\ldots\right\};}\)
i rozważmy funkcję:

\(\displaystyle{ f _{n} :\RR \rightarrow \RR}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f _{n} \left( x\right) = \frac{x}{n}.}\)

Zbadamy, kiedy ta funkcja ma punkty stałe.

Jeśli \(\displaystyle{ x \in \RR}\) jest punktem stałym, to \(\displaystyle{ f\left( x\right) =x}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \frac{x}{n}=x}\), skąd \(\displaystyle{ x=n \cdot x}\), a więc dla \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy punkt stały.

A dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\), otrzymujemy \(\displaystyle{ 1=n}\), i wtedy: \(\displaystyle{ f _{1} \left( x\right) = \frac{x}{1} =x}\),
a więc jest to identyczność \(\displaystyle{ I _{\RR}}\), która w każdym punkcie dziedziny ma punkt stały.

Podsumowując, dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) tylko \(\displaystyle{ 0}\) jest punktem stałym funkcji \(\displaystyle{ f _{n} .\square}\)

Jeszcze jedno zastosowanie \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\), podam zagadkę na czujność:

Czy jeśli zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niepuste, to czy \(\displaystyle{ X \cup Y}\) ma więcej niż jeden element

Wskazówka:

Rozważ:

\(\displaystyle{ X=Y= \left\{ 0\right\}.}\)