Matematyka.pl

Inaczej mówiąc, czy dla dowolnej liczby kardynalnej \(\displaystyle{ \kappa \ge 2^{\aleph_0}}\) istnieje ciągły porządek liniowy mocy \(\displaystyle{ \kappa}\). I owszem, istnieje, i jest nim \(\displaystyle{ \kappa \times [0, 1)}\) z porządkiem leksykograficznym.

Widzę Dasio11, że hołdujesz zasadzie, że cały dowód ma się zmieścić w jednej linijcę. Ja tak bym nie potrafił...
A na liczbie kardynalnej, czyli to jest chyba pewnego rodzaju liczba porządkowa von Neumanna, jaki jest określony, na tej liczbie kardynalnej, porządek?Może jakiś dobry porządek, inkluzja?? No bo żeby wziąć porządek leksykograficzny na iloczynie kartezjańskim dwóch zbiorów muszę najpierw wiedzieć jakie porządki są na obydwu osiach.

Dasio11, zadziwia mnie Twoja umiejętność natychmiastowego rozwiązywania trudnych, jak dla mnie, problemów matematycznych, a najbardziej, to mnie zadziwia, że rozwiązujesz te problemy w jednej linijcę. Ja takich umiejętności nie posiadam, potrzebuje wszystko sobie rozpisać, tzn. najprostsze rzeczy potrafię zrobić w głowie, ale tylko najprostsze, resztę mam potrzebę dokładnie sobie rozpisać. Nie wiem jak Ty to rozwiązujesz te problemy bez sprawdzania, ja tak nie potrafię. Ale skoro takie trudne problemy rozwiązujesz od ręki i zajmujesz się wymyślaniem nie wiadomo czego, to pewnie wszystko z tych podstaw jest dla Ciebie oczywiste. A, mogę spytać, bo chyba robisz doktorat na UWr, czym się tam zajmujesz Jestem ciekawy.

Ja, jak widać, zajmuje się ogólną teorią mnogości- są to rzeczy pojęciowo proste, ale mogą być trudne w udowodnieniu, i staram się (na tyle na ile potrafię, gdyż nie mam na to systemu formalnego) wszystko uzasadniać, nawet rzeczy intuicyjnie oczywiste, uzasadniać w oparciu o ścisłe twierdzenia i ścisłe definicję, no bo przecieź dowody muszą być ścisłe. Nie wiem jak Ty, ale ja lubię robić to dokładnie. Juź nie mam obsesji, bo kiedyś, to rzeczywiście zaczynałem, prezentując dowody, zaczynałem je rozdrabniać, ale dalej lubię prezentować dość dokładnie dowody, i staram się zadbać o wszystko, co niezbędne. A Ty lubisz przestawiać rozwiązania w jednej linijce...

Innej matematyki, niź podstawy matematyki, raczej nie uznaje, nie lubię- źmudnych wzorów, obliczeń nie lubię, a wymyślnej matematyki też raczej nie lubię- nie jestem człowiekiem pomysłowym. A podstawy kocham, i tu jest róźnorodność wszystkiego.

Ostatnio udowodniłem, przedwczoraj zakończyłem pracę nad dowodami tych faktów,, że jeśli mamy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\), oraz mamy dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) mające suprema równe odpowiednio \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), to suma tych dwóch podzbiorów ma również supremum równe większemu z tych dwóch elementów. Uogólniłem ten fakt, przez indukcję, na skończoną ilość podzbiorów zbioru liniowo uporządkowanego, mających suprema. Udowodniłem analogiczny fakt dla infimum sumy skończenie wielu zbiorów. Udowodniłem też przedwczoraj, że jeżeli mamy \(\displaystyle{ n}\)-podzbiorów (gdzie \(\displaystyle{ n \ge 1}\)) zbioru liniowo uporządkowanego mających odpowiednie elementy największe \(\displaystyle{ a_1, a_2,\ldots, a_n}\), to suma takich podzbiorów ma również element największy, równy największemu z tych \(\displaystyle{ n}\) elementów. Udowodniłem również analogiczny fakt dla elementów najmniejszych. Udowodniłem też przedwczoraj, że jeśli mamy w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ n}\)- podzbiorów ograniczonych z góry, to ich suma jest również ograniczona z góry; i udowodniłem analogiczny fakt dla zbiorów ograniczonych z dołu. Udowodniłem też taki fakt ( przy okazji, gdyż ten fakt przydał mi się), że jeżeli w zbiorze liniowo uporządkowanym mamy dwa podzbiory, i jeśli rozważymy sumę tych dwóch podzbiorów, to zbiór lewostronny do tej sumy jest przekrojem zbiorów lewostronnych; i przedwczoraj, na dobranoc , udowodniłem analogiczny (już do niczego mi nie przydatny fakt, ale dołożyłem do kolekcji taki ciekawy fakt) i udowodniłem taki fakt dla zbiorów prawostronnych. A wczoraj udowodniłem jeszcze, że dowolny zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych można uporządkować gęsto. Przedstawię teraz dowody tych bardzo ciekawych faktów.


Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym.
Rozważmy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) mające supremum, tzn. \(\displaystyle{ \bigvee A= a \in X}\), oraz \(\displaystyle{ \bigvee B= b \in X}\).
Wykażemy, że dla sumy \(\displaystyle{ A \cup B \subset X,}\) mamy: \(\displaystyle{ \bigvee \left( A \cup B\right) = max \left( a,b\right)}\), czyli suma tych dwóch podzbiorów ma supremum równe większemu z tych dwóch elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli \(\displaystyle{ a<b}\), to max \(\displaystyle{ \left( a,b\right) = b}\). Wykażemy, że wtedy \(\displaystyle{ b= \bigvee \left( A \cup B\right).}\)

Wykażemy, że element \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym sumy \(\displaystyle{ A \cup B.}\)

W tym celu weźmy \(\displaystyle{ c \in A \cup B}\).

Jeśli \(\displaystyle{ c \in B}\), to ponieważ element \(\displaystyle{ b= \bigvee B}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc element \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ c \le b.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ c\not \in B}\), to \(\displaystyle{ c \in A}\), ponieważ element \(\displaystyle{ a= \bigvee A}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ c \le a<b}\), a więc \(\displaystyle{ c \le b}\) i element \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym sumy \(\displaystyle{ \left( A \cup B\right).}\)

Niech \(\displaystyle{ c}\) będzie ograniczeniem górnym sumy \(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ b \le c.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ c}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)}\), to łatwo jest pokazać, że tym bardziej \(\displaystyle{ c}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\), i ponieważ \(\displaystyle{ b= \bigvee B}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ b \le c.}\)

A zatem element \(\displaystyle{ b}\) jest najmniejszym ograniczeniem górnym sumy \(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) }\), i \(\displaystyle{ max\left( a,b\right) = b= \bigvee \left( A \cup B\right)}\) - jest to supremum tej sumy.

Jeśli \(\displaystyle{ a \ge b}\), to \(\displaystyle{ max\left( a,b\right) = a}\), i w podobny sposób pokazujemy, że \(\displaystyle{ a= \bigvee \left( A \cup B\right) = max\left( a,b\right).\square}\)


Uogólnijmy na \(\displaystyle{ n}\) zbiorów:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Rozważmy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów: \(\displaystyle{ A_1,A_2\ldots, A_n \subset X}\) mających suprema, tzn. \(\displaystyle{ \bigvee A_1= a _{1} \in X}\), \(\displaystyle{ \bigvee A_2= a_2 \in X}\), \(\displaystyle{ \ldots, \bigvee A_n= a_n \in X.}\) Wykażemy, że suma \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k}\) ma supremum równe \(\displaystyle{ max\left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right)}\) największemu z tych \(\displaystyle{ n}\) -elementów.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Dowód jest indukcyjny:\(\displaystyle{ }\)

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy: \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{1} A_k= A_1}\) i \(\displaystyle{ \bigvee A_1= a_1= max\left( a_1\right) .}\)

Dla \(\displaystyle{ n=2}\), mamy, na mocy powyższego dowodu:

\(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{2} A_k= A _{1} \cup A_2}\), i wtedy \(\displaystyle{ \bigvee \left( A_1 \cup A_2\right)= max \left( a_1, a_2\right).}\)

Krok indukcyjny:

Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\) podzbiorów zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 1 .}\) Rozpoczynamy z dowolnym układem \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\) zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A_n, A_{n+1} \subset X}\) mających suprema, tzn. takich zbiorów, że \(\displaystyle{ \bigvee A_{1}= a_{1}, \bigvee A_2= a_2, \ldots, \bigvee A_n=a_n}\) i \(\displaystyle{ \bigvee A _{n+1}= a _{n+1}.}\) Na mocy założenia indukcyjnego suma \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee \left(
\bigcup_{k=1}^{n} A_k \right) = max \left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right) =:s}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{ n+1} A_{k}= \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right) \cup A_{n+1}}\), i \(\displaystyle{ \bigvee A _{n+1}= a _{n+1}.}\)

A zatem, na mocy powyższego dowodu:

\(\displaystyle{ \bigvee \left( \bigcup_{k=1}^{n+1} A_k \right) = \bigvee \left[ \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k\right) \cup A _{n+1} \right] = max \left( s, a _{n+1} \right)= max \left( max\left( a_1, a_2, \ldots, a_n \right); a _{n+1} \right)= max \left( a_1, a_2, \ldots, a _{n+1} \right),}\)

co dowodzi kroku indukcyjnego.

Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\)


Podajmy symetryczny fakt dla infimum.

Podajmy najpierw kilka Lematów.

Lemat 1:

Rozważmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) , oraz podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\). Wtedy zbiór:

\(\displaystyle{ -A:= \left\{ x \in X: \ \ x \hbox{ jest ograniczeniem dolnym zbioru } A\right\},}\)

taki zbiór lewostronny zbioru \(\displaystyle{ A}\), jest przedziałem początkowym.

Łatwo można to udowodnić.

Kolejny Lemat:

Lemat 2:

Jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) mamy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) mający infimum \(\displaystyle{ \bigwedge A=:a}\), to jest to supremum jego zbioru lewostronnego, tzn.: \(\displaystyle{ a= \bigvee \left( -A\right)}\). Kolejny Lemat:

Lemat 3:

Jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) mamy dwa przedziały początkowe \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) mające suprema, tzn.: \(\displaystyle{ \bigvee A=a}\), oraz \(\displaystyle{ \bigvee B=b}\), to zbiór \(\displaystyle{ \left( A \cap B\right)}\) (przedział początkowy) ma supremum równe \(\displaystyle{ min \left( a,b\right) }\)- równe mniejszemu z tych dwóch elementów. Kolejny Lemat:

Lemat 4:Jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) mamy dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to jeśli rozważymy sumę takich dwóch podzbiorów i zbiór lewostronny do tej sumy, to jest on równy przekrojowi zbiorów lewostronnych, tzn. mamy prawo:

\(\displaystyle{ -\left( A \cup B\right) = \left( -A\right) \cap \left( -B\right)}\).Łatwo stąd można udowodnić przez indukcję prawo dla \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A_n \subset X :}\)

\(\displaystyle{ -\left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n\right)= \left( -A_1\right) \cap \left( -A_2\right) \cap \ldots \cap \left( -A_n\right) ;}\)

łatwo można to indukcyjnie udowodnić.

Jeszcze dwa lematy są nam potrzebne (wiem, że można by ten fakt spróbować udowodnić analogicznie jak dla faktu z supremum, ale ja nie cierpię dowodów analogicznych gdy są dłuższe- niczego one nie uczą, a trzeba się narobić powtarzając dowód- ja wolę rozumować ).

Dla zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) , dla podzbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\) rozważmy zbiór:

\(\displaystyle{ +A:= \left\{ x \in X: \ x \hbox{ jest ograniczeniem górnym zbiuoru A }\right\}.}\)

i nazwijmy go zbiorem prawostronnym zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

Podajmy kolejny Lemat:

Lemat 5. Jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) mamy przedział początkowy \(\displaystyle{ A \subset X}\) mający supremum \(\displaystyle{ \bigvee A=a}\), to jest to infimum jego zbioru prawostronnego, tzn.: \(\displaystyle{ a= \bigwedge \left( +A\right).}\) I ostatni nasz Lemat:

Lemat 6: Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem liniowo uporządkowanym, i mamy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\), to mamy równoważność:

zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum \(\displaystyle{ \bigwedge A=:a \Longleftrightarrow a= \bigwedge \left[ +\left( -A\right) \right] ,}\)

czyli to infimum zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest infimum zbioru \(\displaystyle{ +\left( -A\right)}\), czyli zbioru prawostronnego zbioru lewostronnego zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Oto ilustracja tego faktu:: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\) Podajmy teraz nasz fakt dla infimum:

Rozważmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\), oraz \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ A_1,A_2,\ldots, A_n \subset X}\) mających infima, tzn.: \(\displaystyle{ \bigwedge A_1=a_1 \in X}\), \(\displaystyle{ \bigwedge A_2=a_2 \in X, \ldots, \bigwedge A_n=a_n \in X.}\)

Wtedy suma \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k}\) ma infimum równe \(\displaystyle{ min\left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right).}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Na mocy Lematu 1 zbiory \(\displaystyle{ \left( -A_1\right) , \left( -A_2\right), \ldots, \left( -A_n\right)}\) są przedziałami początkowymi.

Ponieważ:

\(\displaystyle{ a_1= \bigwedge A_1, a_2= \bigwedge A_2, \ldots, a_n= \bigwedge A_n}\),

więc na mocy Lematu 2 dla zbiorów lewostronnych otrzymujemy:

\(\displaystyle{ a_1= \bigvee \left( -A_1\right), a_2= \bigvee \left( -A_2\right), \ldots, a_n= \bigvee \left( -A_n\right)}\).

Na mocy Lematu 3 otrzymujemy \(\displaystyle{ \bigvee \left[ \left( -A_1\right) \cap \left( -A_2\right) \cap \ldots \cap \left( -A_n\right) \right]= min \left( a_1, a_2, \ldots ,a_n\right) }\), a na mocy Lematu 4 jest to supremum zbioru \(\displaystyle{ -\left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n\right)}\).

Czyli \(\displaystyle{ min \left( a_1,a_2, \ldots, a_n\right) = \bigvee -\left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n\right) . }\)

Wtedy zbiór \(\displaystyle{ \left( -A_1\right) \cap \left( -A_2\right) \cap \ldots \cap \left( -A_n\right) }\) jest przedziałem początkowym (czyli chodzi o nasz zbiór którego supremum rozważamy) , a zatem na mocy Lematu 5 \(\displaystyle{ a:= min \left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right)= \bigwedge +\left( -\left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n\right) \right)}\), i na mocy Lematu 6 \(\displaystyle{ a= \bigwedge \left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n\right).\square}\)

Jestem logik.


Przejdźmy do naszego kolejnego problemu:

Rozważmy w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) rozważmy \(\displaystyle{ n}\)- zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2,\ldots, A_n \subset X}\) mających elementy największe odpowiednio równe \(\displaystyle{ a_1, a_2,\ldots, a_n}\). Wykażemy, że suma \(\displaystyle{ A _{1} \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\) ma element największy równy \(\displaystyle{ max\left( a_1, a_2,\ldots, a_n\right). }\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ element największy zbioru jest jego supremum, to mamy \(\displaystyle{ a_1= \bigvee A_1, a_2= \bigvee A_2, \ldots, a_n= \bigvee A_n.}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ max\left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right)=a_i}\), gdzie \(\displaystyle{ i \in \left\{ 1,2,\ldots, n\right\}.}\)

Ponieważ dla elementów największych odpowiednich zbiorów mamy: \(\displaystyle{ a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \ldots, a_n \in A_n}\), więc \(\displaystyle{ a_i \in A_i}\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ a_i \in A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\). Na mocy jednego z faktów udowodnionych powyżej \(\displaystyle{ a_i= max\left( a_1, a_2,\ldots, a_n\right) = \bigvee \left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k\right)}\), a więc w szczególności element \(\displaystyle{ a_i}\) jest ograniczeniem górnym tej sumy \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k}\) i element \(\displaystyle{ a_i}\) jest elementem tej sumy, a zatem jest jej elementem największym, czyli \(\displaystyle{ max\left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right) =a_i= max\left( \bigcup_{k=1}^{n} A_k \right).\square}\)

Wykażemy analogiczny fakt dla elementów najmniejszych.

Rozważmy \(\displaystyle{ n}\) podzbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2,\ldots, A_n \subset X}\) zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), mających elementy najmniejsze równe odpowiednio \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots, a_n}\). Wykażemy, że suma \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k}\) ma element najmniejszy równy \(\displaystyle{ min\left( a_1, a_2, \ldots, a_n\right).}\) Podajmy teraz jeszcze te dwa fakty dla ograniczeń górnych/dolnych, tzn.:

W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) rozważmy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A_n \subset X }\) ograniczonych z góry.

Wykażemy, że suma \(\displaystyle{ A _{1} \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\) jest ograniczona z góry.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_1}\) jest ograniczony z góry, więc istnieje element \(\displaystyle{ x_1 \in X}\), będący ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A_1.}\) Podobnie istnieje ograniczenie górne \(\displaystyle{ x_2 \in X}\) zbioru \(\displaystyle{ A_2}\); \(\displaystyle{ \ldots}\); istnieje ograniczenie górne \(\displaystyle{ x_n \in X}\) zbioru \(\displaystyle{ A_n.}\)

Rozważmy największy z tych elementów, tzn. rozważmy \(\displaystyle{ s= max\left( x_1, x_2, \ldots, x_n\right).}\) Wykażemy, że element
\(\displaystyle{ s}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k.}\)
Niech \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{k=1}^{n} A_k.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x \in A_k}\), gdzie \(\displaystyle{ k \in \left\{ 1,2, \ldots, n\right\}}\). Zauważmy, że element \(\displaystyle{ x_k}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A_k}\), a zatem \(\displaystyle{ x \le x _{k} \le s= max\left( x_1, x_2, \ldots, x_n\right)}\), bo \(\displaystyle{ x_k \in \left\{ 1,2,\ldots, x_n\right\}.}\)
A zatem \(\displaystyle{ s \ge x,}\) i \(\displaystyle{ s}\) jest ograniczeniem górnym sumy \(\displaystyle{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k}\), a więc jest ona ograniczona z góry\(\displaystyle{ .\square }\)

Wykażemy analogiczny fakt dla ograniczeń dolnych, tzn.:

W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) , jak mamy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A_n \subset X}\) ograniczonych z dołu, to suma \(\displaystyle{ A _{1} \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\) jest zbiorem ograniczonym z dołu.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_1}\) jest ograniczony z dołu, więc istnieje ograniczenie dolne \(\displaystyle{ x_1 \in X}\) tego zbioru. Podobnie istnieją ograniczenia dolne \(\displaystyle{ x_2 \in X}\) zbioru \(\displaystyle{ A_2}\);\(\displaystyle{ \ldots}\); istnieje \(\displaystyle{ x_n \in X}\)- ograniczenie dolne zbioru \(\displaystyle{ A_n.}\)

Rozważmy porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany.

Wtedy \(\displaystyle{ x_1}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A_1}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\), i podobnie \(\displaystyle{ x_2}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A_2}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\); \(\displaystyle{ \ldots}\); \(\displaystyle{ x_n}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A_n}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\).

A zatem zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2, \ldots, A_n}\) są ograniczone z góry, względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}.}\) Na mocy dowodu powyżej suma \(\displaystyle{ \left( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n\right)}\) jest ograniczona z góry, względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\); istnieje więc element \(\displaystyle{ x \in X}\) będący ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\), względem \(\displaystyle{ \le ^{-1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym tej sumy, względem \(\displaystyle{ \le}\), a więc suma \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n}\) jest ograniczona z dołu\(\displaystyle{ .\square}\)

Na koniec wykażemy prawo, mówiące, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A, B \subset X }\) mamy prawo:

\(\displaystyle{ +\left( A \cup B\right) = \left( +A\right) \cap \left( +B\right).}\)

Czyli jeśli rozważymy sumę tych dwóch podzbiorów, i zbiór prawostronny do tej sumy, to jest on równy przekrojowi zbiorów prawostronnych.

Oto ilustracja tego faktu:
\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Przypomnijmy, w jednym Lemacie powyżej udowodniliśmy analogiczne prawo dla zbiorów lewostronnych- ono nam się przyda.

Łatwo jest pokazać prawo mówiące, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C \subset X}\), mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \left( +C\right) _{\left( X, \le \right) } = \left( -C\right) _{\left( X, \le ^{-1} \right) }}\),

tzn. zbiór prawostronny zbioru \(\displaystyle{ C}\), względem porządku danego, jest równy jego zbiorowi lewostronnemu, względem porządku odwrotnego.

I mamy symetryczne prawo:

\(\displaystyle{ \left( -C\right) _{\left( X, \le \right) } = \left( +C\right) _{\left( X, \le ^{-1}\right) }.}\)

tzn. zbiór lewo stronny zbioru \(\displaystyle{ C}\), względem porządku danego , jest równy jego zbiorowi prawostronnemu ,względem porządku odwrotnego.

Wynika to z poprzedniego faktu, oraz z prawa porządków \(\displaystyle{ \left( \le ^{-1} \right) ^{-1}= \left( \le \right)}\), gdyż:

Rozważmy porządek odwrotny \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany, i spróbujmy do niego zastosować poprzednie prawo:

Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \left( \le ^{-1} \right) ^{-1}= \le \right)}\), więc stosując poprzednie prawo do zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) , otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left( -C\right) _{\left( X, \le \right) } = -C _{\left( X, \le =\left( \le ^{-1} \right) ^{-1} \right) } = \left( +C\right) _{\left( X, \le ^{-1} \right) } .\square }\)

Wykażemy teraz łatwo prawo, mówiące, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\), dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) mamy prawo:

\(\displaystyle{ +\left( A \cup B\right)= \left( +A\right) \cap \left( +B\right).}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, na mocy przytoczonych faktów:

\(\displaystyle{ \left( +A\right) _{ \le } \cap \left( +B\right) _{ \le } = \left( -A\right) _{ \le ^{-1} } \cap \left( -B\right) _{ \le ^{-1} } = -\left( A \cup B\right) _{ \le ^{-1} } = + \left( A \cup B\right) _{\left( X, \le \right) } .\square}\)


Na koniec wykażemy, że każdy zbiór przeliczalny, tzn. równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN,}\) można uporządkować gęsto.

Nim to zrobimy, przypomnijmy, że jeżeli mamy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right),}\) oraz mamy zbiór równoliczny z nim \(\displaystyle{ Y\sim X}\) (wtedy istnieje bijekcja z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\)), i wtedy dla każdej ustalonej bijekcji \(\displaystyle{ f:Y \rightarrow X }\), relacja \(\displaystyle{ \le _{Y}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ Y,}\) dana jako:

\(\displaystyle{ y_1 \le _{Y} y_2 \Longleftrightarrow f\left( y_1\right) \le _X f\left( y_2\right)}\),

jest relacją porządku liniowego na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\), można to łatwo udowodnić.

Przejdźmy do naszego faktu:

Wykażemy, że dowolny zbiór przeliczalny można uporządkować w sposób gęsty.

DOWÓD TEGO FAKTU:\(\displaystyle{ }\)

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem przeliczalnym.

Wtedy \(\displaystyle{ X\sim \NN\sim \QQ}\), a więc \(\displaystyle{ X\sim \QQ}\).
Istnieje więc bijekcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \QQ}\), gdzie zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ \left( \QQ, \le\right) }\) jest liniowo uporządkowany przez naturalny porządek na nim.

Możemy zatem do zbioru liczb wymiernych \(\displaystyle{ \QQ}\) oraz do zbioru \(\displaystyle{ X}\) oraz do bijekcji \(\displaystyle{ f}\) zastosować powyższy fakt, i otrzymać, że relacja \(\displaystyle{ \le _X}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), dana jako:

\(\displaystyle{ x_1 \le _X x_2 \Longleftrightarrow f\left( x_1\right) \le f\left( x_2\right) }\),

jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ X.}\)

Wtedy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le _X\right) }\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ (\QQ, \le)}\).

Ponieważ zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ \QQ}\) z naturalnym porządkiem jest uporządkowany w sposób gęsty, więc również zbiór \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X}\right) }\), jako zbiór do niego podobny, jest uporządkowany gęsto. \(\displaystyle{ \square}\)


Na sam koniec dodam jeszcze takie spostrzeżenie, że przekrój dwóch bijekcji nie musi być bijekcją, tzn. jeśli mamy cztery zbiory \(\displaystyle{ X_1, X_2, Y_1}\) i \(\displaystyle{ Y_2}\), a po to bierzemy cztery zbiory aby mieć dwie funkcję \(\displaystyle{ f_1:X_1 \rightarrow Y_1}\) i \(\displaystyle{ f_2:X_2 \rightarrow Y_2}\), to przekrój tych dwóch funkcji jest funkcją z przekroju dziedziin tych funkcji w przekrój przeciwdziedzin, jeśli tylko funkcje te pokrywają się w przekroju dziedzin tych funkcji, wtedy przekrój tych dwóch funkcji jest funkcją z przekroju dziedzin tych funkcji w przekrój przeciwdziedzin (przy takim jednym warunku zachodzi nawet o wiele więcej, np. suma tych dwóch funkcji jest funkcją ), i chyba również na odwrót- jest to również warunek konieczny aby ten przekrój był funkcją na przekroju dziedzin.
Ale jeśli mamy takie dwie funkcje, które w przekroju dziedzin się pokrywają, i są one dodatkowo bijekcjami, to ich przekrój (jest funkcją z przekroju dziedzin w przekrój przeciwdziedzin ), ale taki przekrój nie musi być bijekcją, gdyż nie musi być funkcją 'na' \(\displaystyle{ Y_1 \cap Y_2}\) - zbiór wartości takiej funkcji może być istotnie mniejszy niż zbiór \(\displaystyle{ Y_1 \cap Y_2}\), oto ilustracja takiego faktu. \(\displaystyle{ \\}\)

Jakub Gurak pisze: ↑8 sty 2023, o 18:39Przedstawię teraz dowody tych bardzo ciekawych faktów.

Bądź dość trywialnych.

JK

W ostatnią środę wieczorem, po prawie dwóch tygodniach czasu od rozpoczęcia pracy nad tym problemem, ukończyłem go, dowodząc, że zbiór liczb rzeczywistych można uporządkować w sposób ciągły na co najmniej continuum sposobów. To już jest troszkę trudniejsza konstrukcja (pojęciowo). Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.


Podajmy najpierw pewien Lemat.

Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \left( A_n\right) _{n \in \NN}}\) przeliczalną rodziną zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( A_n, \le _n\right)}\) , gdzie zawsze \(\displaystyle{ A_n \subset X}\), i gdzie zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) są rozłączne, to na sumie tych zbiorów: \(\displaystyle{ S= \bigcup_{n \in \NN} A_n}\), relacja \(\displaystyle{ \le _S}\), dana jako:

\(\displaystyle{ x \le_S y \Longleftrightarrow \left( x,y \in A_n, \hbox{ dla pewnego } n \in\NN \hbox{ i } x \le _n y\right) \hbox{ lub } \\ \left( x \in A_n \hbox{ i } y \in A_m \hbox{ dla pewnych liczb naturalnych } n,m \hbox{ takich, że } n<m\right); }\)
(jest to odpowiednik sumy porządkowej dla nieskończenie wielu przeliczalnie wielu zbiorów);

wtedy taka relacja \(\displaystyle{ \le _S}\) jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\). Zanim przejdę do dowodu naszego faktu, wyjaśnię ideę tego rozwiązania, którą będziemy formalizować.

Na początek przedział otwarty \(\displaystyle{ \left( -1,0\right) }\) podzielmy liczbą \(\displaystyle{ x \in \left( -1,0\right)}\) ze środka, która będzie elementem najmniejszym rozważanego porządku, a następnie ustawmy jeden za drugim następujące przedziały domknięto-otwarte:

\(\displaystyle{ \left[ x,0\right); \left[ 0,1\right); \left[ -1, x\right); \left[ 1, 2\right); \left[ -2, -1\right), \ldots }\)

otrzymując zbiór typu półprostej, a więc porządek ciągły na zbiorze \(\displaystyle{ \RR.}\)

Oto ilustracja tego faktu.
\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)Tych porządków ciągłych będzie tutaj tyle, ile jest tych elementów najmniejszych branych z przedziału otwartego \(\displaystyle{ \left( -1, 0\right)}\), a więc co najmniej continuum. Poniżej przedstawiam formalizację tych obserwacji.


DOWÓD TEGO FAKTU:

Na początek ustalmy dowolną liczbę \(\displaystyle{ x \in \left( -1,0\right).}\)

Zdefiniujmy najpierw trzy zbiory: \(\displaystyle{ A_1= \left[ x,0\right), A_2= \left[ 0,1\right)}\) i \(\displaystyle{ A_3= \left[ -1, x\right)}\), a następnie zdefiniujmy dalsze zbiory:

dla liczb parzystych \(\displaystyle{ n=2m}\), gdzie \(\displaystyle{ m \ge 2,}\) zdefiniujmy zbiór \(\displaystyle{ A_n=\left[ m-1,m\right) }\), a dla liczb nieparzystych \(\displaystyle{ n=2m+1,}\) gdzie \(\displaystyle{ m \ge 2}\), zdefiniujmy \(\displaystyle{ A_n= \left[ -m, -m+1\right)}\), i w ten sposób otrzymujemy ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( A _{n+1} \right) _{n \in \NN}}\), gdzie \(\displaystyle{ A _{n+1} \subset \RR}\).

Wtedy pary \(\displaystyle{ \left( A _{n+1}, \le _{n+1}:= \le _{|A _{n+1} } \right)}\) są zbiorami liniowo uporządkowanymi, i łatwo sprawdzić, że zbiory \(\displaystyle{ A_m,A_k}\) są rozłączne dla \(\displaystyle{ m \neq k}\), a zatem ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( A _{n+1} \right) _{n \in \NN}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych. W związku z czym, na mocy naszego Lematu na zbiorze \(\displaystyle{ S= \bigcup_{n \in \NN} A _{n+1}}\) suma porządkowa \(\displaystyle{ \le _S}\) jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S}\). Poniżej, w ukrytej treści uzasadniam, że \(\displaystyle{ S= \RR.}\) Zauważmy dalej, że zbiór \(\displaystyle{ \left[ x,0\right)}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\)- wystarczy rozważyć jako podobieństwo między tymi dwoma zbiorami- wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f_1: \left[ x,0\right) \rightarrow \left[ 0,1\right)}\) daną jako:

\(\displaystyle{ f_1\left( y\right) = y \cdot \left( \frac{1}{-x} \right) +1.}\)

Funkcja ta jest dobrze określona: I łatwo sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest podobieństwem, a zatem \(\displaystyle{ \left[ x,0\right) \approx \left[ 0,1\right). }\)

Mamy oczywiście \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right) \approx \left[ 0,1\right)}\), podobieństwem jest identyczność.

I mamy \(\displaystyle{ \left[ -1, x\right) \approx \left[ 0,1\right)}\)- podobieństwem jest funkcja \(\displaystyle{ f_2: \left[ -1, x\right) \rightarrow \left[ 0,1\right) }\), dana jako:

\(\displaystyle{ f_2\left( y\right) = y\left( \frac{1}{x+1} \right)+ \frac{1}{x+1} .}\)

A zatem \(\displaystyle{ \left[ -1, x\right) \approx \left[ 0,1\right).}\)

Rozważmy dwa zbiory:

\(\displaystyle{ \mathbb{N}_1= \left\{ n \in \NN\Bigl| \ n \ge 4 \hbox{ i } n \hbox{ jest liczbą parzystą}\right\}}\), oraz

\(\displaystyle{ \mathbb{N}_2= \left\{ n \in \NN\Bigl| \ n \ge 4 \hbox{ i } n \hbox{ jest liczbą nieparzystą}\right\}.}\)

I zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ \alpha _1: \mathbb{N}_1 \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \left[ 1, + \infty \right)}\), jako:

\(\displaystyle{ \alpha _1\left( n,y\right) = min \left( A_n\right) +y,}\)

gdzie \(\displaystyle{ min \left( A_n\right)}\) oznacza element najmniejszy zbioru \(\displaystyle{ A_n.}\)

Funkcja \(\displaystyle{ \alpha _1}\) jest, jak łatwo sprawdzić, na mocy definicji zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\), więc łatwo jest sprawdzić, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _1}\) jest dobrze określona.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _1}\) jest bijekcją.

Nim to zrobimy, przypomnijmy, że jeśli mamy liczbę rzeczywistą nieujemną, to można ją przedstawić jednoznacznie w postaci sumy liczby naturalnej i liczby z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\)- jest to prosty fakt.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _1}\) jest różnowartościowa.

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha _1\left( n_1, y_1\right) = \alpha _{1} \left( n_2, y_2\right) \in \left[ 1,+ \infty \right) \subset \RR_+ \cup \left\{ 0\right\},}\)

to, z definicji tej funkcji, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \alpha _1\left( n_1, y_1\right) = min \left( A _{n_1} \right) +y_1 = min \left( A _{n_2} \right) +y_2,}\)

gdzie \(\displaystyle{ min \left( A _{n_1} \right) ; min\left( A _{n_2} \right) \in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ y_1, y_2 \in \left[ 0,1\right).}\)

Czyli liczba nieujemna \(\displaystyle{ \alpha _1\left( n_1, y_1\right)}\) jest przedstawiona na dwa sposoby (niekoniecznie różne) jako suma liczby naturalnej i liczby z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\); ponieważ przytoczony fakt mówi, że takie przedstawienie jest jednoznaczne, więc \(\displaystyle{ y_1= y_2}\) i \(\displaystyle{ M:= min \left( A _{n_1} \right) = min \left( A _{n_2} \right)}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ min \left( A _{n_1} \right) \in A _{n_1}}\) i \(\displaystyle{ min \left( A _{n_2} \right) \in A _{n_2}}\), a ciąg \(\displaystyle{ \left( A _{n+1} \right) _{n \in \NN}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych, a \(\displaystyle{ M \in A _{n_1} \cap A _{n_2},}\) więc z warunku rozłączności otrzymujemy A\(\displaystyle{ _{n_1} = A _{n_2}}\).

I musi być \(\displaystyle{ n_1= n_2}\), bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ n _{1} \neq n_2}\), to zbiory \(\displaystyle{ A _{n_1} }\) i \(\displaystyle{ A _{n_2}}\) byłyby rozłączne i niepuste, a zatem różne- sprzeczność.
A zatem \(\displaystyle{ n_1= n_2 }\) (i mamy \(\displaystyle{ y_1= y_2}\)) a zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha _1 }\) jest różnowartościowa.

Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _1}\) jest funkcją 'na'. A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{N}_1 \times \left[ 0,1\right) \sim \left[ 1, + \infty \right).}\)

Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ \mathbb{N}_2 \times \left[ 0,1\right) \sim \left( - \infty ,-1\right).}\)

W tym celu definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha _{1}}\), tym samym wzorem:

\(\displaystyle{ \alpha _{1} \left( n,y\right) = min \left( A_n\right) +y.}\)

Łatwo jest pokazać, na mocy definicji zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\), więc łatwo jest pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _{1}}\) jest dobrze określona.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _{1}}\) jest bijekcją.

Nim to zrobimy, przypomnijmy, prosty fakt, że jeśli mamy liczbę rzeczywistą ujemną (bądź zero), to można ją jednoznacznie przedstawić w postaci różnicy liczby całkowitej ujemnej (bądź zera) i liczby z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\)- jest to prosty fakt.

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _{1} }\) jest różnowartościowa. Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _1}\) jest funkcją 'na'. A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{N}_2 \times \left[ 0,1\right))\sim \left( - \infty ,-1\right).}\)

Dalej, funkcja \(\displaystyle{ f_1: \left[ x,0\right) \rightarrow \left[ 0,1 \right)}\) jest podobieństwem, a więc w szczególności jest bijekcją, a zatem również funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f_1 ^{-1}: \left[ 0,1 \right) \rightarrow \left[ x,0 \right)}\) jest bijekcją, a zatem funkcja \(\displaystyle{ g_1: \left\{ 0 \right\} \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \left[ x,0\right)}\), dana jako:

\(\displaystyle{ g_1\left( 0,y \right) = f_1 ^{-1} (y)}\),

jest, jak łatwo sprawdzić, jest bijekcją.

Identyczność na zbiorze \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right)}\) jest oczywiście bijekcją, a zatem funkcja \(\displaystyle{ g_0: \left\{ 1\right\} \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \left[ 0,1\right)}\), dana jako:

\(\displaystyle{ g_0\left( 1,y\right) =y,}\)

jest bijekcją.

I funkcja \(\displaystyle{ f_2: \left[ -1, x \right) \rightarrow \left[ 0,1\right)}\) jest bijekcją, więc funkcja odwrotna do niej również jest bijekcją, a zatem funkcja \(\displaystyle{ g_2: \left\{ 2\right\} \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \left[ -1, x\right)}\), dana jako:

\(\displaystyle{ g_2\left( \left( 2,y\right) \right) = f_2 ^{-1} \left( y\right),}\)

jest bijekcją.

Niech:

\(\displaystyle{ M_1= \left\{ n\in\NN: \ n \ge 3 \hbox{ i } n \hbox{ jest liczbą nieparzystą}\right\}.}\)

Wykażemy, że funkcja:

\(\displaystyle{ \alpha' _{1} : M_1 \times \left[ 0,1 \right) \rightarrow \left[ 1, + \infty \right)}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \alpha' _{1} \left( n,y\right) = min \left( A _{n+1} \right) +y, }\)

jest bijekcją. Niech:

\(\displaystyle{ M_2= \left\{ n\in\NN: n \ge 4 \hbox{ i } n \hbox{ jest liczbą parzystą}\right\}.}\)

Łatwo jest zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ h_2: M_2 \rightarrow \mathbb{N}_2}\), dana jako:

\(\displaystyle{ h_2(n)= n+1,}\)

jest bijekcją.

I wiemy już, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha _2: \mathbb{N}_2 \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \left( - \infty , -1\right)}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \alpha _2\left( n,y\right) = min \left( A_n\right) +y, }\)

jest bijekcją.

Więc również funkcja \(\displaystyle{ \alpha'_2: M_2 \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \left( - \infty , -1\right)}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \alpha' _2(n,y)= min \left( A _{n+1} \right) +y, }\)

jest bijekcją, w podobny sposób jak powyżej możemy to udowodnić.

Zdefiniujmy teraz funkcję \(\displaystyle{ \alpha: \NN \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \RR}\) w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \alpha \left( n,y \right)= \begin{cases} f_1 ^{-1} (y), \hbox{ dla } n=0; \\ y, \hbox{ dla } n=1;\\ f_2 ^{-1}, \left( y\right), \hbox{ dla } n=2,\\ min \left( A _{n+1} \right)+y, \hbox{ dla } n \ge 3.\end{cases} }\)

Wtedy taka funkcja , jak łatwo sprawdzić, jest dobrze określona.

Wtedy funkcja \(\displaystyle{ \alpha = g_1 \cup g_0 \cup g_2 \cup \alpha' _{1} \cup \alpha'_2}\) jest sumą pięciu bijekcji określonych na rozłącznych zbiorach \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} \times \left[ 0,1\right), \left\{ 1\right\} \times \left[ 0,1\right), \left\{ 2\right\} \times \left[ 0,1\right), M_1 \times \left[ 0,1\right)}\) i \(\displaystyle{ M_2 \times \left[ 0,1\right)}\) i o wartościach w rozłącznych zbiorach \(\displaystyle{ \left[ x,0\right); \left[ 0,1\right); \left[ -1, x\right); \left[ 1, + \infty \right)}\) i \(\displaystyle{ \left( - \infty , -1\right) }\), zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest bijekcją ze sumy dziedzin tych funkcji w sumę przeciwdziedzin;

czyli jest to bijekcja ze zbioru:

\(\displaystyle{ \left( \left\{ 0\right\} \times \left[ 0,1\right) \right) \cup \left( \left\{ 1\right\} \times \left[ 0,1\right)\right) \cup \left( \left\{ 2\right\} \times \left[ 0,1\right)\right) \cup \left( M_1 \times \left[ 0,1\right)\right) \cup \left( M_2 \times \left[ 0,1\right) \right)= \left( \left\{ 0\right\} \cup \left\{ 1\right\} \cup \left\{ 2\right\} \cup M_1 \cup M_2 \right) \times \left[ 0,1\right)= \NN \times \left[ 0,1\right), }\)

w zbiór:

\(\displaystyle{ \left[ x,0\right) \cup \left[ 0,1\right) \cup \left[ -1,x\right) \cup \left[ 1, + \infty \right) \cup \left( - \infty, -1 \right) =\RR.}\)

Zauważmy, że zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( S= \bigcup_{n \in \NN} A _{n+1} =\RR, \le _S\right) }\) jest, na mocy pierwszego Lematu, jest liniowo uporządkowany, a zbiór \(\displaystyle{ \NN \times \left[ 0,1\right)}\) z porządkiem leksykograficznym \(\displaystyle{ \le _{\NN \otimes \left[ 0,1\right)}}\) naturalnych liniowych porządków, więc jest również liniowo uporządkowany.

Pozostaje pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha: \NN \times \left[ 0,1\right) \rightarrow \RR= \bigcup_{n \in \NN} A _{n+1},}\) pomiędzy tymi dwoma zbiorami liniowo uporządkowanymi, jest monotoniczna.

Podajmy najpierw pewien Lemat:

Lemat 2: Jeśli \(\displaystyle{ n \in \NN}\), a \(\displaystyle{ y \in \left[ 0,1\right)}\), to \(\displaystyle{ \alpha \left( n,y \right) \in A _{n+1}}\). Aby wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna, to niech \(\displaystyle{ \left( n_1, y_1\right); \left( n_2, y_2\right) \in \NN \times \left[ 0,1\right)}\) będą takimi parami, że \(\displaystyle{ \left( n_1, y_1\right) \le _{\NN\otimes \left[ 0,1\right) } \left( n_2, y_2 \right)}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ \alpha \left( n_1, y_1\right) \le _S \alpha \left( n_2, y_2\right) .}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n_1 \neq n_2}\), to \(\displaystyle{ n_1<n_2}\) lub \(\displaystyle{ n_2< n_1.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n_1<n_2}\), to na mocy powyższego Lematu : \(\displaystyle{ f\left( n_1, y_1\right) \in A _{\left( n_1+1\right) }}\), i podobnie \(\displaystyle{ f\left( n_2, y_2\right) \in A _{\left( n_2+1\right) }}\). Wtedy \(\displaystyle{ n_1+1< n_2+1}\), a zatem, z definicji relacji \(\displaystyle{ \le _S }\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ f\left( n_1, y_1\right) \le _S f\left( n_2, y_2\right).}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n_2 <n_1}\), to ponieważ mamy \(\displaystyle{ \left( n_1, y_1\right) \le _{\NN \times \left[ 0,1\right) } \left( n_2, y_2\right) }\), to ten przypadek jest niemożliwy, na mocy definicji porządku leksykograficznego.

Jeśli \(\displaystyle{ n_1= n_2}\), to oznaczmy tą wartość jako \(\displaystyle{ n}\). Wtedy, \(\displaystyle{ y_1 \le y_2}\) (z definicji porządku leksykograficznego).Na mocy naszego Lematu \(\displaystyle{ f\left( n,y_1 \right) \in A _{n+1}}\) i \(\displaystyle{ f\left( n,y_2\right) \in A _{n+1}. }\)

Dalej rozważamy przypadki ze względu na zmienną \(\displaystyle{ n.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n=0}\), to \(\displaystyle{ f\left( n,y_1\right) = f_{1 }^{-1} \left( y_1\right)}\); i podobnie \(\displaystyle{ f\left( n,y_2\right) = f_{1} ^{-1} \left( y_2\right)}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f_1}\) jest podobieństwem, więc funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f_1 ^{-1}}\) jest również podobieństwem, więc ponieważ \(\displaystyle{ y _{1} \le y_2}\), więc z monotoniczności tej funkcji otrzymujemy: \(\displaystyle{ f \left( n,y_1\right) = f_1 ^{-1} \left( y_1\right) \le f_1 ^{-1} (y_2) = f \left( n,y_2\right) ,}\) względem porządku \(\displaystyle{ \le _{\left[ x,0\right) } = \le _{A_1}}\), na pierwszym naszym zbiorze. Ale wtedy \(\displaystyle{ f\left( n,y_1\right) \in A_1}\) i \(\displaystyle{ f\left( n,y_2\right) \in A_1}\), a zatem, zgodnie z definicją sumy porządkowej \(\displaystyle{ \le_S,}\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ f\left( n,y_1\right) \le _S f\left( n_2, y_2\right). }\)

Jeśli \(\displaystyle{ n=1}\), to \(\displaystyle{ f\left( n_1, y_1\right) = y_1 \le f\left( n_2, y_2\right) = y_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ y_1,y_2 \in \left[ 0,1\right)=A_2}\), a zatem również \(\displaystyle{ f\left( n,y_1\right) =y_1 \le _2 y_2}\). A zatem, z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \le _S }\) otrzymujemy: \(\displaystyle{ f\left( n,y_1\right) =y_1 \le _S y_2= f\left( n,y_2\right).}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n=2}\), to ten przypadek jest analogiczny jak przypadek \(\displaystyle{ n=0.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ n \ge 3}\), to \(\displaystyle{ f(n,y)=min \left( A _{n+1} \right) +y_1}\) i \(\displaystyle{ f\left( n,y_2\right)= min \left( A _{n+1} \right) +y_2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ y_1 \le y_2}\), to \(\displaystyle{ f(n,y_1) \le f(n,y_2) }\) (względem jedynie porządku naturalnego ); ale, na mocy naszego Lematu 2: \(\displaystyle{ f\left( n,y_1 \right) \in A _{n+1}}\) i podobnie \(\displaystyle{ f(n,y_2) \in A _{n+1}}\) , a zatem, z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \le_S }\), otrzymujemy: \(\displaystyle{ f\left( n, y_1\right) \le _S f\left( n,y_2 \right).}\)

A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna.

A zatem zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( \NN \times \left[ 0,1\right), \le _{\NN \otimes \left[ 0,1\right) }\right) }\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \left( \RR= \bigcup_{n \in \NN} A _{n+1}, \le _S \right) }\).
Przypomnijmy, że zbiór liczb nieujemnych \(\displaystyle{ \RR_+ \cup \left\{ 0\right\},}\) z naturalnym porządkiem jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left[ 0,1\right)}\), co oznacza, że jak ułożymy na półprostej przedziały domknięto-otwarte (kopie zbioru \(\displaystyle{ \left[0,1\right)}\) ), jeden za drugim, to otrzymamy zbiór typu półprostej), który to ten ciekawy fakt udowodniłem TUTAJ, POD KONIEC.

W związku z czym:

\(\displaystyle{ \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} \approx \NN \times \left[ 0,1\right) \approx \left( \RR= \bigcup_{n \in \NN} A _{n+1}, \le _S \right)}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( \RR, \le _S\right) \approx \left( \RR_+ \cup \left\{ 0\right\}, \le\right) . }\)

Łatwo jest przekonać się, że półprosta \(\displaystyle{ \RR_+ \cup \left\{ 0\right\}}\) jest uporządkowana, przez naturalny porządek, w sposób ciągły, a zatem również zbiór \(\displaystyle{ \left( \RR, \le _S\right), }\) jako zbiór do niej podobny, jest uporządkowany w sposób ciągły.

I teraz dowolnej liczbie \(\displaystyle{ x \in \left( -1,0 \right)}\) przypisujemy ciąg zbiorów \(\displaystyle{ \left( A_x\left( n+1\right) \right) _{n \in \NN}}\), a następnie sumę porządkową \(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n \in \NN} A_x\left( n+1\right)=\RR, \le _{S_x} \right).}\) Zauważmy, że wtedy liczba \(\displaystyle{ x}\) jest elementem najmniejszym w \(\displaystyle{ \left( \RR, \le _{S_x} \right).}\)

A zatem, łatwo jest pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) działająca w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ x \in \left( -1,0 \right) \stackrel{f} { \rightarrow } \le _{S_x} }\),

jest funkcją różnowartościową.

A zatem rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ \left( \le \right) \subset \RR \times \RR\Bigl| \ \le \hbox{ jest porządkiem ciągłym na zbiorze } \RR\right\},}\)

dla niej mamy:

\(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \left( -1,0 \right) \right|= \left| \RR\right| }\), czyli \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \RR\right|}\),

czyli zbiór liczb rzeczywistych można uporządkować w sposób ciągły na co najmniej continuum sposobów.


Na koniec dodam jeden pewien prosty fakt.

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{B} = X}\), to musi być \(\displaystyle{ \mathbb{B} = \left\{ X\right\}}\)- musi być to rodzina jednozbiorowa złożona z całego zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Zauważmy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) musi być niepusta, bo, z definicji przekroju mnogościowego: \(\displaystyle{ \bigcap \emptyset \subset \bigcup \emptyset = \emptyset}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset =\emptyset \neq X}\)- sprzeczność z założeniem.

Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B} \neq \left\{ \right\}}\) będzie dowolnym zbiorem tej rodziny. Wtedy, z własności przekroju mnogościowego \(\displaystyle{ X= \bigcap\mathbb{B} \subset A}\). Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}, }\) wobec czego \(\displaystyle{ A \subset X}\) i \(\displaystyle{ A=X}\). Wobec czego każdy zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\) jest równy zbiorowi \(\displaystyle{ X}\), i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta, a stąd łatwo jest pokazać, że musi być \(\displaystyle{ \mathbb{B} =\left\{ X\right\}}\), gdyż (jak już jesteśmy dokładni, to również i to pokaże, choć dla mnie to jest to oczywiste) :

Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{B} \neq \left\{ \right\} }\), a zatem istnieje zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}.}\) Ponieważ każdy zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\) jest równy zbiorowi \(\displaystyle{ X}\), więc również \(\displaystyle{ A= X}\). A zatem \(\displaystyle{ X \in \mathbb{B}}\), i każdy zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\) jest równy zbiorowi \(\displaystyle{ X}\), wobec czego \(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ X \right\}.\square}\)

Jakub Gurak pisze: ↑28 sty 2023, o 21:25zbiór liczb rzeczywistych można uporządkować w sposób ciągły na co najmniej continuum sposobów.

A w rzeczywistości na \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\): grupa wszystkich bijekcji \(\displaystyle{ \RR \to \RR}\) naturalnie działa na zbiorze porządków na \(\displaystyle{ \RR}\), tak że

\(\displaystyle{ g \cdot {\le} = \{ (g(x), g(y)) : (x, y) \in {\le} \}}\).

Zbiór porządków liniowych ciągłych jest niezmienniczy na to działanie. Stabilizator standardowego porządku jest mocy continuum, bo każda bijekcja \(\displaystyle{ \RR}\) zachowująca standardowy porządek jest wyznaczona przez swoje obcięcie do \(\displaystyle{ \QQ}\). A skoro wszystkich bijekcji jest \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\), to takiej mocy jest też orbita porządku standardowego*. Zatem nawet porządków podobnych do standardowego jest \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\).

Oczywiście na \(\displaystyle{ \RR}\) da się też zdefiniować ciągły porządek niepodobny do standardowego, na przykład przenieść przez bijekcję uzupełnienie Dedekinda porządku leksykograficznego na \(\displaystyle{ \omega_1 \times \QQ}\), ale to nie przeszkadza w wyznaczaniu szukanej mocy, bo szacowanie z góry jest trywialne.

* Twierdzenie o orbitach i stabilizatorach

Analogicznie do faktu stosowanego na ważniaku mówiącego, że element najmniejszy zbioru większego, pod względem inkluzji, jest mniejszy ( mniejszy lub równy, nie może być silnie większy); można też łatwo udowodnić, że element największy zbioru większego jest większy; i wczoraj udowodniłem, że infimum zbioru większego jest mniejsze ( mniejsze lub równe).

Niedawno też udowodniłem prawo liczb porządkowych: \(\displaystyle{ a \cdot 1=a}\); co, formalnie, wbrew pozorom, nie jest takie całkiem oczywiste- bo mnożenie liczb porządkowych odwołuje się do iloczynu kartezjańskiego zbiorów, i jest to porządek idący kolejno "po prostych pionowych" tego iloczynu kartezjańskiego, a tu mamy prostą poziomą i mnożenie liczb porządkowych nie jest przemienne ; ale ten 'nieoczywisty' fakt udowodniłem niedawno. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym.
Rozważmy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) mające infimum, tzn. \(\displaystyle{ \bigwedge A=a}\) i \(\displaystyle{ \bigwedge B=b}\), i takie, że \(\displaystyle{ A \subset B}\).
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ b= \bigwedge B \le a= \bigwedge A.}\)

OTO ILUSTRACJA TEGO FAKTU: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ element \(\displaystyle{ b= \bigwedge B}\) jest infimum zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc w szczególności element \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ B}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ A \subset B}\), więc łatwo pokazać, że również element \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A \subset B.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a= \bigwedge A}\) jest największym ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ \bigwedge B=b \le a= \bigwedge A.\square}\)


Przejdźmy do drugiego z naszych faktów:

Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą porządkową. Wykażemy prawo:

\(\displaystyle{ a \cdot 1= a.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym typu \(\displaystyle{ a}\).

Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ X \times \left\{ a\right\}}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ \left( X, \le \right). }\)

W tym celu definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f}\) działającą w następujący sposób:

\(\displaystyle{ x \in X \stackrel{f} { \rightarrow } \left( x,a\right) \in X \times \left\{ a\right\}.}\)

Łatwo jest pokazać, że taka funkcja jest bijekcją.

Pozostaje pokazać, ponieważ te dwa zbiory są liniowo uporządkowane (iloczyn kartezjański dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych jest liniowo uporządkowany przez porządek leksykograficzny), więc pozostaje pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.

W tym celu weźmy dowolne elementy \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in X}\), takie, że \(\displaystyle{ x_1<x_2}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ f\left( x_1\right) < f \left( x_2\right).}\)

Mamy \(\displaystyle{ f\left( x_1\right) = \left( x_1,a\right) }\), i podobnie \(\displaystyle{ f\left( x_2\right) = \left( x_2,a\right) .}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), więc z definicji porządku leksykograficznego:

\(\displaystyle{ f\left( x_1\right) = \left( x_1, a\right) < \left( x_2, a\right) = f(x_2)}\),

a więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna, i jest podobieństwem.

A zatem zbiór dobrze uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest podobny do zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( X \times \left\{ a\right\}, \le _{X\otimes \left\{ a\right\} } \right)}\), i

\(\displaystyle{ a=a \cdot 1}\), dla dowolnej liczby porządkowej \(\displaystyle{ a.\square}\)

Zachwycające... I głębokie.

Mam takie zadanie:

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha }\) (przepraszam za nietypowe oznaczenia, ale nie lubię niektórych dziwnych greckich liter, trochę mnie gryzą co poniektóre) jest typem zbioru liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem), a \(\displaystyle{ \beta }\) jest typem zbioru liczb wymiernych, to jak najprościej uzasadnić : \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \beta \cdot \alpha }\)

Wiemy, że suma porządkowa dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych nie jest operacją przemienną.
Jednak dla dwóch zbiorów skończonych, otrzymamy przemienność sumy porządkowej typòw porządkowych, to znaczy te odpowiednie zbiory będą podobne: Wyczytałem, we " Wstępie do Teorii Mnogości i Topologii" Wacława Sierpińskiego, że można podać przykład dwóch niepustych rozłącznych zbiorów liniowo uporządkowanych, gdzie co najmniej jeden z nich jest nieskończony, dla których zachodzi przemienność sumy porządkowej, tzn. istnieją dwa niezerowe typy liniowych porządków \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) , przy czym co najmniej jeden z nich jest typem zbiorów nieskończonych, takie, że: \(\displaystyle{ \alpha + \beta = \beta + \alpha. }\)

ROZWIĄZANIE:

Jeśli typ porządku odwrotnego do typu \(\displaystyle{ a}\) porządku liniowego na danym zbiorze, jeśli typ porządku odwrotnego oznaczymy przez \(\displaystyle{ a ^{*}, }\) to wystarczy wziąć:

\(\displaystyle{ \alpha =1; \beta =\omega + \omega ^{*}, }\)

I wtedy:

\(\displaystyle{ \alpha + \beta = \beta =\omega + \omega ^{*}= \beta + \alpha.}\)


Na koniec dodam takie niezwykłe prawo trzech dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C:}\)
.
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) = \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right), }\)

a więc w tym wzorze z lewej strony równości wystarczy zamienić znak \(\displaystyle{ \cup }\) na znak \(\displaystyle{ \cap }\), i odwrotnie wystarczy zamienić znak przekroju na znak sumy, aby otrzymać prawą stronę równości, i to jest prawo ogólne- nie do wiary, muszę je dokładnie udowodnić.

Jakub Gurak pisze: ↑2 maja 2023, o 18:03Jeśli \(\displaystyle{ \alpha }\) [...] jest typem zbioru liczb rzeczywistych (z naturalnym porządkiem), a \(\displaystyle{ \beta }\) jest typem zbioru liczb wymiernych, to jak najprościej uzasadnić : \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \beta \cdot \alpha }\) :?:

Rozróżnia je każda z własności

- istnieje przeliczalny podzbiór gęsty;
- istnieje przeliczalny (nieskończony) przedział;
- każdy punkt ma przeliczalne otoczenie;
- istnieje rozkład na przeliczalnie wiele wypukłych podzbiorów będących porządkami ciągłymi;

i zapewne wiele innych.

Jakub Gurak pisze: ↑2 maja 2023, o 18:03 Na koniec dodam takie niezwykłe prawo trzech dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C:}\)
.
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) = \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right), }\)

[...] muszę je dokładnie udowodnić.

Zaraz, krótką chwilę po wysłaniu tego postu, zabrałem się za dowód tego faktu, i go udowodniłem.

Udowodniłem też wczoraj, że jeśli mamy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane typu półprostej liczb nieujemnych, to ich suma porządkowa jest również typu półprostej liczb nieujemnych. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów, a potem spytam jaszcze o coś.


Niech \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C}\) będą zbiorami. Wykażemy prawo:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) = \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right), }\) Oto ilustracja tego faktu: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Przejdźmy do następnego faktu, zgodnie z zapowiedzią.

Rozważmy dwa rozłączne zbiory liniowo uporządkowane \(\displaystyle{ \left( X, \le _{X}\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( Y, \le _{Y}\right) }\) podobne do zbioru liczb nieujemnych \(\displaystyle{ \RR _{+} \cup \left\{ 0\right\}}\).
Wykażemy, że zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ X \cup Y}\) ze sumą porządkową tych dwóch liniowych porządków jest również podobny do zbioru liczb rzeczywistych nieujemnych.

Podajmy najpierw pewien Lemat:

Lemat:Jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest typem porządkowym zbioru liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem, to: \(\displaystyle{ \alpha +1+ \alpha = \alpha.}\)

Jest to dość prosty fakt- polecam tutaj zrobić sobie prosty rysunek.

Łatwo jest też zauważyć, że zbiór liczb rzeczywistych jest podobny do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich z naturalnym porządkiem, jako podobieństwo można wziąć funkcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR _{+}}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f\left( x\right) = 2 ^{x}.}\)

(Z punktu widzenia teorii mnogości jest to bardzo specjalistyczna funkcja).

Widać, że taka funkcja jest podobieństwem, formalnie trzeba byłoby to jeszcze udowodnić.

Przejdźmy do dowodu tego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru liczb rzeczywistych nieujemnych i zbiór \(\displaystyle{ Y}\) też jest podobny do tego zbioru liczb nieujemnych, więc:

\(\displaystyle{ X \cup Y \approx \left( \RR _{+} \cup \left\{ 0\right\} \right)\oplus \left( \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} \right)= \left( \left\{ 0\right\} \oplus \RR_+
\right) \oplus \left( \left\{ 0\right\}\oplus \RR _{+} \right) = \left\{ 0\right\} \oplus \left( \RR_+\oplus \left\{ 0\right\} \oplus \RR _{+} \right) \approx \left\{ 0\right\} \oplus \left( \RR\oplus \left\{ 0\right\} \oplus \RR \right) \approx ,}\)

który to zbiór, na mocy powyższego Lematu, wtedy zbiór w nawiasie oznacza zbiór podobny do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), więc całość oznacza zbiór podobny do zbioru:

\(\displaystyle{ \approx \left\{ 0\right\} \oplus \RR \approx \left\{ 0\right\} \oplus \RR_+= \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} ,}\)

czyi:

\(\displaystyle{ X \cup Y \approx \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} .\square}\)

Oto ilustracja tego faktu: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Można też udowodnić przez prostą indukcję, że jeśli mamy \(\displaystyle{ n}\) zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X_1, X_2, \ldots, X_n \approx \RR_+ \cup \left\{ 0\right\}}\) typu półprostej liczb nieujemnych, to suma \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2 \cup \ldots X_n}\) ze sumą porządkową \(\displaystyle{ X_1\oplus X_2\oplus \ldots \oplus X_n}\) jest typu półprostej liczb nieujemnych- można to udowodnić przez bardzo prostą indukcję.

I jeszcze spytam o coś:

Jak udowodnić, że każdy zbiór liniowo uporządkowany ciągły nieskończony ma moc co najmniej continuum- słyszałem, że jest taki fakt, ale jak go udowodnić

Jakub Gurak pisze: ↑6 maja 2023, o 14:28 Jak udowodnić, że każdy zbiór liniowo uporządkowany ciągły nieskończony ma moc co najmniej continuum

A ja zapytam: czy w takim zbiorze można zawsze znaleźć przeliczalny podzbiór izomorficzny z \(\mathbb{Q}\) z naturalnym porządkiem?

Jakub Gurak pisze: ↑6 maja 2023, o 14:28Jak udowodnić, że każdy zbiór liniowo uporządkowany ciągły nieskończony ma moc co najmniej continuum- słyszałem, że jest taki fakt, ale jak go udowodnić :?:

Zanurzyć w nim najpierw \(\displaystyle{ \QQ}\) (indukcyjnie, korzystając z gęstości), a potem \(\displaystyle{ \RR}\) (z ciągłości).

Jakub Gurak pisze: ↑6 maja 2023, o 14:28

Jakub Gurak pisze: ↑2 maja 2023, o 18:03 Na koniec dodam takie niezwykłe prawo trzech dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C:}\)
.
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) = \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right), }\)

[...] muszę je dokładnie udowodnić.

Zaraz, krótką chwilę po wysłaniu tego postu, zabrałem się za dowód tego faktu, i go udowodniłem.

(...)

Niech \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C}\) będą zbiorami. Wykażemy prawo:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) = \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right), }\)

DOWÓD TEGO FAKTU::    

Mamy, na mocy rozdzielności przekroju względem sumy:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) = \left[ A \cap \left( B \cup C\right) \right] \cup \left( B \cap C\right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ A \subset A \cup B \cup C}\), to:

\(\displaystyle{ A \cap \left( B \cup C\right) \subset \left( A \cup B \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right).}\)

A zatem przekrój tych dwóch zbiorów stojących tutaj po lewej i prawej stronie tej inkluzji jest zbiorem tym po lewej stronie inkluzji, czyli:

\(\displaystyle{ \left[ \left( A \cup B \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) \right] \cap \left[ A \cap \left( B \cup C\right) \right] = A \cap \left( B \cup C\right) .}\)

A zatem podstawiając w naszej rozpisywanej równości, podstawiając za zbiór \(\displaystyle{ A \cap \left( B \cup C\right)}\) podstawiajęc równy jemu zbiór z tej równości, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) = \left[ \left( A \cup B \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) \cap A \cap \left( B \cup C\right) \right] \cup \left( B \cap C\right) = \left[ \left( A \cup B \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) \cap A \right] \cup \left( B \cap C\right) = \left[ \left( \left( A \cup B \cup C\right) \cap A \right) \cap \left( B \cup C\right) \right] \cup \left( B \cap C\right) =\\=\left[ A \cap \left( B \cup C\right) \right] \cup \left( B \cap C\right)= \left[\left( A \cap \left( B \cup C\right)\right) \cup B \right] \cap \left[ \left( A \cap \left( B \cup C\right) \right) \cup C\right]= \left( A \cup B\right) \cap \left[ \left( B \cup C\right) \cup B \right] \cap \left[ \left( A \cup C\right) \cap \left( \left( B \cup C\right) \cup C\right) \right] =\\ = \left( A \cup B\right) \cap \left( B \cup C\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) = \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) = \left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right) .\square}\)

To twierdzenie, podobnie jak większość twierdzeń w matematyce, łatwiej się dowodzi, gdy się rozumie co ono mówi.
Oznaczmy \(\displaystyle{ L=\left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right), \ R= \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) }\)
Element `x` należy do zbioru `R` gdy należy do przekroju pewnych dwóch zbiorów, a to jest równoważne temu, że `x` należy do co najmniej dwóch spośród trzech zbiorów.

Element `x` nie należy do zbioru `L` gdy nie należy do sumy pewnych dwóch elementów, a to jest równoważne temu, że `x` należy do co najwyżej jednego spośród trzech zbiorów.

Ponieważ trzeciej możliwości nie ma, wykazałem równość zbiorów `L=R`.

Takie samo rozumowanie pozwala udowodnić dużo bardziej ogólny fakt: dla danej rodziny zbiorów `A_1,...,A_n` i `0<k<n` zachodzi

a4karo pisze: ↑6 maja 2023, o 22:13Oznaczmy \(\displaystyle{ L=\left( A \cup B\right) \cap \left( A \cup C\right) \cap \left( B \cup C\right), \ R= \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C\right) \cup \left( B \cap C\right) }\)
Element `x` należy do zbioru `R` gdy należy do przekroju pewnych dwóch zbiorów, a to jest równoważne temu, że `x` należy do co najmniej dwóch spośród trzech zbiorów.

Element `x` nie należy do zbioru `L` gdy nie należy do sumy pewnych dwóch elementów, a to jest równoważne temu, że `x` należy do co najwyżej jednego spośród trzech zbiorów.

Ponieważ trzeciej możliwości nie ma, wykazałem równość zbiorów `L=R`.

Hmm... Czy to jest wystarczająco dogłębne

JK