Para uporządkowana w sensie Kuratowskiego

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Para uporządkowana w sensie Kuratowskiego

Post autor: Jakub Gurak »

Niech \(\displaystyle{ a,b}\) będą zbiorami. Przez parę uporządkowaną \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) rozumiemy zbiór:

\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} .}\)

Łatwo jest zauważyć, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ a}\), mamy \(\displaystyle{ \left( a,a\right)= \left\{ \left\{ a\right\} \right\}}\), gdyż :

\(\displaystyle{ \left( a,a\right)= \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,a\right\} \right\} = \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a\right\} \right\} = \left\{ \left\{ a\right\} \right\} . }\)

Można łatwo pokazać, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), mamy:

\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} = \left\{ \left\{ c\right\}, \left\{ c,d\right\} \right\} \Longleftrightarrow \left( a=c \wedge b=d \right).}\)


I teraz mam dwa zadania z ważniaka:
Dla każdej pary \(\displaystyle{ x=\left( a,b\right)}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ \bigcap \bigcap x= a}\),
gdzie, dla zbioru \(\displaystyle{ z}\), mamy definicję przecięcia:

\(\displaystyle{ \bigcap z = \left\{ y \in \bigcup z \Bigl| \ \ y \in w, \hbox{ dla każdego zbioru } w \in z \right\} . }\)

W szczególności \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset \subset \bigcup\emptyset= \emptyset}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset= \emptyset.}\)

Łatwo jest zauważyć, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ a}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ a\right\}=a= \bigcup \left\{ a\right\} }\);

ten fakt przyda nam się wielokrotnie.

Mamy też taki fakt, że przekrój większej rodziny zbiorów jest mniejszy ( o ile mniejsza rodzina nie jest pusta ) , tzn. jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są zbiorami, to jeśli \(\displaystyle{ x \neq \emptyset}\) i \(\displaystyle{ y\supset x}\), to \(\displaystyle{ \bigcap y \subset \bigcap x.}\)

Wykażemy teraz, że dla dowolnej pary \(\displaystyle{ x=\left( a,b\right) }\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcap \bigcap x =a}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
I nasze drugie zadanie:
Pokaż, że z każdej pary uporządkowanej \(\displaystyle{ x}\) można otrzymać jej drugą współrzędną posługując się jedynie parą \(\displaystyle{ x}\) mnogościowymi operacjami \(\displaystyle{ \bigcup, \bigcap, \cup , \cap , \setminus , P\left( \right) }\) oraz zbiorem pustym \(\displaystyle{ \emptyset}\).
Podajmy najpierw pewien Lemat:

Lemat: Dla dowolnej pary uporządkowanej \(\displaystyle{ x}\), zbiór \(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P\left( x\right) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) }\), gdzie dla zbioru \(\displaystyle{ y}\), zbiór \(\displaystyle{ P(y)}\) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ y}\), wtedy rozważany zbiór jest pusty, jeśli tylko współrzędne par są różne, a jeśli współrzędne par są równe, to jest to zbiór jednoelementowy złożony z tej współrzędnej pary \(\displaystyle{ x}\).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli \(\displaystyle{ x= \left( a,b\right)}\) , dla pewnych zbiorów \(\displaystyle{ a,b,}\) to rozważmy najpierw przypadek gdy:

\(\displaystyle{ a \neq b}\). Wtedy \(\displaystyle{ x= \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\}}\) i \(\displaystyle{ P(x)= \left\{ \emptyset; \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ; x \right\}}\). Ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest on sam, to \(\displaystyle{ P\left( \emptyset\right)= \left\{ \emptyset\right\},}\) a zatem:

\(\displaystyle{ P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) = \left\{ \ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\}; x \right\}}\) ,

a zatem ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \ \right\} \subset \left( P \left( x\right) \setminus P\left( \emptyset\right) \right),}\) a przecięcie większej rodziny jest mniejsze (o ile mniejsza rodzina nie jest pusta, a u nas oczywiście ta mniejsza rodzina jest niepusta , a zatem ) :

\(\displaystyle{ \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) \subset \bigcap \left\{ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \ \right\} = \left\{ \left\{ a\right\} \right\} \cap \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \stackrel { \left\{ a\right\} \neq \left\{ a,b\right\} }{=} \emptyset}\),

a zatem:

\(\displaystyle{ \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) = \emptyset}\), a zatem:

\(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) = \bigcap \emptyset= \emptyset.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ x= \left( a,a\right) =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} }\), a wtedy \(\displaystyle{ P(x)= \left\{ \emptyset, \left\{ \left\{ a\right\} \right\} \ \right\}}\), a zatem ponieważ \(\displaystyle{ P\left( \emptyset \right) = \left\{ \emptyset\right\}}\) , a zatem \(\displaystyle{ P(x) \setminus P\left( \emptyset\right)= \left\{ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\} \ \right\} }\), a zatem, ponieważ mamy prawo, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ c}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ c\right\}= c}\), a zatem:

\(\displaystyle{ \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) = \left\{ \left\{ a\right\} \right\}}\), i dalej:

\(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P \left( \emptyset\right) \right)= \bigcap \left\{ \ \left\{ a\right\} \ \right\} = \left\{ a\right\}.\square}\) 8-)


Przejdźmy do naszego zadania:

ROZWIĄZANIE:

Rozważmy wzór:

\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) \cup \bigcap \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right)}\),

i sprawdźmy, że on działa.

Rozważmy najpierw przypadek gdy para \(\displaystyle{ x= \left( a,b\right)}\) ma różne współrzędne. Wtedy \(\displaystyle{ a \neq b}\), i wtedy:

\(\displaystyle{ \bigcup x= \bigcup \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} = \left\{ a\right\} \cup \left\{ a,b\right\} = \left\{ a,b\right\}}\) , i

\(\displaystyle{ \bigcap x= \bigcap \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} = \left\{ a\right\} \cap \left\{ a,b\right\} = \left\{ a\right\}}\) ,

a zatem:

\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) = \bigcup \left( \left\{ a,b\right\} \setminus \left\{ a\right\} \right)\stackrel{a \neq b}{=} \bigcup \left\{ b\right\} =b.}\)

Dla par o różnych współrzędnych, na mocy powyższego Lematu, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) \cup \bigcap \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right)= b \cup \bigcap\emptyset= b \cup \emptyset= b}\),

co należało otrzymać.

Dla par o równych elementach pierwsza część wzoru oznacza zbiór pusty, gdyż:

wtedy jeśli \(\displaystyle{ x= \left( a,a\right)}\), to \(\displaystyle{ x=\left\{ \left\{ a\right\} \right\}}\),

a zatem, ponieważ mamy prawo mówiące, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ c}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ c\right\}= c= \bigcap \left\{ c\right\}}\) , więc również :

\(\displaystyle{ \bigcup x= \bigcup \left\{ \ \left\{ a\right\} \ \right\} = \left\{ a\right\} }\), i \(\displaystyle{ \bigcap x= \bigcap \left\{ \ \left\{ a\right\} \ \right\} = \left\{ a\right\} }\), a zatem:

\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right)= \bigcup \left( \left\{ a\right\} \setminus \left\{ a\right\} \right) = \bigcup\emptyset= \emptyset.}\)

Wtedy, na mocy Lematu powyżej otrzymujemy, że:

\(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right) = \left\{ b\right\} }\),

jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest współrzędną pary \(\displaystyle{ x}\).

Wobec czego:

\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) \cup \bigcap \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right)= \emptyset \cup \bigcap \left\{ b\right\} = \bigcap \left\{ b\right\} = b}\),

co należało otrzymać.\(\displaystyle{ \square}\) 8-)

Dodam jeszcze, że przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej oraz pojęcia zbioru, startując od tylko jednego ustalonego elementu, można znaleźć niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), taki, że: \(\displaystyle{ X \times X \subset X.}\)

Więcej na ten temat można przeczytać TUTAJ:


Na koniec dodam jeszcze jeden fakt, który ostatnio udowodniłem:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem (nieskończonym), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) przeliczalną (równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\)) rodzina zbiorów skończonych, rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\). Wykażemy, że suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest zbiorem przeliczalnym.

Podajmy najpierw pewien Lemat:

Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną zbiorów, to \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( \bigcup\mathbb{A}\right).}\)

PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\). Wtedy, z własności sumy: \(\displaystyle{ A \subset \bigcup \mathbb{A}}\), a stąd \(\displaystyle{ A \in P\left( \bigcup\mathbb{A}\right).\square }\)

Przejdźmy do naszego dowodu:

Suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\), jako suma przeliczalnie wielu zbiorów co najwyżej przeliczalnych, jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. A zatem jest zbiorem skończonym lub równolicznym ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\).

Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B} \not\sim \NN}\);
wtedy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest zbiorem skończonym, a zatem również zbiór potęgowy \(\displaystyle{ P\left( \bigcup\mathbb{B}\right)}\) jest zbiorem skończonym, bo jak zbiór skończony ma \(\displaystyle{ n}\)- elementów, to jego zbiór potęgowy ma \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) elementów, a zatem jest to również zbiór skończony. A zatem, u nas również, zbiór \(\displaystyle{ P\left( \bigcup\mathbb{B}\right)}\) jest zbiorem skończonym. Na mocy Lematu powyżej: \(\displaystyle{ \mathbb{B} \subset P\left( \bigcup\mathbb{B}\right)}\) , więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), jako podzbiór zbioru skończonego, jest zbiorem skończonym, ale \(\displaystyle{ \mathbb{B} \sim \NN}\)- sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B} \sim \NN.\square}\) :lol: :P
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Para uporządkowana w sensie Kuratowskiego

Post autor: Jakub Gurak »

Można podać też zagadkę:

Rozważmy zbiór skończony \(\displaystyle{ X:=\left\{ 1,2,\ldots,n\right\}}\).
Czy rodzina wszystkich ciągów skończonych, o elementach skończonego zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem skończonym :?:

A przecież można rozważyć ciągi skończone:

\(\displaystyle{ \left( 1\right); \left( 1,1\right); \left( 1,1,1\right);\ldots }\) :mrgreen:

Zgłębiłem właśnie dowód z ważniaka, przy definicji Kazimierza Kuratowskiego pary uporządkowanej, mówiący, że dla relacji \(\displaystyle{ z \subset X \times Y}\) można rozważać jej lewą dziedziną \(\displaystyle{ z_L}\).

Czyli jeśli \(\displaystyle{ z \subset X \times Y}\) jest relacją, to istnieje zbiór:

\(\displaystyle{ z_L= \left\{ w: \bigvee\limits_{v} \left( w,v\right) \in z \right\}.}\)

Przedstawię teraz dowód tego faktu.

DOWÓD TEGO FAKTU, W AKSJOMATYCZNEJ TEORII MNOGOŚCI:

Zbiór \(\displaystyle{ z_L}\) definiujemy jako:

\(\displaystyle{ z_L= \bigcup \left\{ w \in \bigcup z\Bigl| \ \ \bigvee\limits_{u} w= \left\{ u\right\} \right\}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ w \in \bigcup z}\), to \(\displaystyle{ w \in \left( x,y\right) \in z \subset X \times Y,}\) dla pewnej pary \(\displaystyle{ \left( x,y\right); }\)
i jeśli \(\displaystyle{ w= \left\{ u\right\}}\) , dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ u}\), to:

Jeśli dla pary \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) mamy \(\displaystyle{ x \neq y}\), to ponieważ \(\displaystyle{ \left( x,y\right)= \left\{ \left\{ x\right\}; \left\{ x,y\right\} \right\}}\), więc (ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}}\) ma dokładnie dwa elementy), więc musi być \(\displaystyle{ w= \left\{ x\right\}}\), i my bierzemy elementy takich zbiorów \(\displaystyle{ w}\), skąd otrzymujemy, że parzę \(\displaystyle{ \left( x,y\right)}\) zostanie przypisana jej lewa współrzędna \(\displaystyle{ x}\).

A jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to \(\displaystyle{ \left( x,x\right) = \left\{ \left\{ x\right\} \right\}}\) , wtedy \(\displaystyle{ w= \left\{ x\right\}}\), a my bierzemy elementy takich zbiorów \(\displaystyle{ w}\), czyli również parzę \(\displaystyle{ \left( x,x\right)}\) zostanie przypisana jej lewa współrzędna \(\displaystyle{ x.}\)

Zbiór \(\displaystyle{ \bigcup z}\) istnieje na podstawie aksjomatu sumy zastosowanego do zbioru \(\displaystyle{ z}\); następnie zbiór:

\(\displaystyle{ B:=\left\{ w \in \bigcup z\Bigl| \ \ \bigvee \limits_{u} w= \left\{ u\right\} \right\}}\),

istnieje na mocy aksjomatu wybierania, i dalej zbiór \(\displaystyle{ \bigcup B}\) istnieje na mocy aksjomatu sumy.

I wtedy:

\(\displaystyle{ \bigcup B= \left\{ x: \bigvee\limits_{y} \left( x,y\right) \in z \right\}= z_L. \square}\) :lol:

Jeszcze jedno spostrzeżenie formalne:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) niech będzie rozkładem tego zbioru, jednoelementowym.
Wtedy musi być \(\displaystyle{ \mathcal{R}= \left\{ X\right\}}\) , ten rozkład musi być rozkładem jednoelementowym złożonym z całego zbioru \(\displaystyle{ X}\), gdyż:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Ponieważ rozkład zbioru \(\displaystyle{ X}\), z definicji jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), i jest jednoelementowy, więc: \(\displaystyle{ \mathcal{R}= \left\{ A\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ A \subset X}\). Ale, z własności rozkładu: \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}= X}\); a zatem:

\(\displaystyle{ X=\bigcup\mathcal{R}= \bigcup \left\{ A\right\} =A,}\)

czyli \(\displaystyle{ A= X}\), a zatem: \(\displaystyle{ \mathcal{R}= \left\{ A\right\} = \left\{ X\right\} .\square }\) 8-)
ODPOWIEDZ