\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} .}\)
Łatwo jest zauważyć, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ a}\), mamy \(\displaystyle{ \left( a,a\right)= \left\{ \left\{ a\right\} \right\}}\), gdyż :
\(\displaystyle{ \left( a,a\right)= \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,a\right\} \right\} = \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a\right\} \right\} = \left\{ \left\{ a\right\} \right\} . }\)
Można łatwo pokazać, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), mamy:
\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} = \left\{ \left\{ c\right\}, \left\{ c,d\right\} \right\} \Longleftrightarrow \left( a=c \wedge b=d \right).}\)
I teraz mam dwa zadania z ważniaka:
gdzie, dla zbioru \(\displaystyle{ z}\), mamy definicję przecięcia:Dla każdej pary \(\displaystyle{ x=\left( a,b\right)}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ \bigcap \bigcap x= a}\),
\(\displaystyle{ \bigcap z = \left\{ y \in \bigcup z \Bigl| \ \ y \in w, \hbox{ dla każdego zbioru } w \in z \right\} . }\)
W szczególności \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset \subset \bigcup\emptyset= \emptyset}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset= \emptyset.}\)
Łatwo jest zauważyć, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ a}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ a\right\}=a= \bigcup \left\{ a\right\} }\);
ten fakt przyda nam się wielokrotnie.
Mamy też taki fakt, że przekrój większej rodziny zbiorów jest mniejszy ( o ile mniejsza rodzina nie jest pusta ) , tzn. jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są zbiorami, to jeśli \(\displaystyle{ x \neq \emptyset}\) i \(\displaystyle{ y\supset x}\), to \(\displaystyle{ \bigcap y \subset \bigcap x.}\)
Wykażemy teraz, że dla dowolnej pary \(\displaystyle{ x=\left( a,b\right) }\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcap \bigcap x =a}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Podajmy najpierw pewien Lemat:Pokaż, że z każdej pary uporządkowanej \(\displaystyle{ x}\) można otrzymać jej drugą współrzędną posługując się jedynie parą \(\displaystyle{ x}\) mnogościowymi operacjami \(\displaystyle{ \bigcup, \bigcap, \cup , \cap , \setminus , P\left( \right) }\) oraz zbiorem pustym \(\displaystyle{ \emptyset}\).
Lemat: Dla dowolnej pary uporządkowanej \(\displaystyle{ x}\), zbiór \(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P\left( x\right) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) }\), gdzie dla zbioru \(\displaystyle{ y}\), zbiór \(\displaystyle{ P(y)}\) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ y}\), wtedy rozważany zbiór jest pusty, jeśli tylko współrzędne par są różne, a jeśli współrzędne par są równe, to jest to zbiór jednoelementowy złożony z tej współrzędnej pary \(\displaystyle{ x}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Jeśli \(\displaystyle{ x= \left( a,b\right)}\) , dla pewnych zbiorów \(\displaystyle{ a,b,}\) to rozważmy najpierw przypadek gdy:
\(\displaystyle{ a \neq b}\). Wtedy \(\displaystyle{ x= \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\}}\) i \(\displaystyle{ P(x)= \left\{ \emptyset; \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ; x \right\}}\). Ponieważ jedynym podzbiorem zbioru pustego jest on sam, to \(\displaystyle{ P\left( \emptyset\right)= \left\{ \emptyset\right\},}\) a zatem:
\(\displaystyle{ P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) = \left\{ \ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\}; x \right\}}\) ,
a zatem ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \ \right\} \subset \left( P \left( x\right) \setminus P\left( \emptyset\right) \right),}\) a przecięcie większej rodziny jest mniejsze (o ile mniejsza rodzina nie jest pusta, a u nas oczywiście ta mniejsza rodzina jest niepusta , a zatem ) :
\(\displaystyle{ \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) \subset \bigcap \left\{ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\}; \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \ \right\} = \left\{ \left\{ a\right\} \right\} \cap \left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \stackrel { \left\{ a\right\} \neq \left\{ a,b\right\} }{=} \emptyset}\),
a zatem:
\(\displaystyle{ \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) = \emptyset}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) = \bigcap \emptyset= \emptyset.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ x= \left( a,a\right) =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} }\), a wtedy \(\displaystyle{ P(x)= \left\{ \emptyset, \left\{ \left\{ a\right\} \right\} \ \right\}}\), a zatem ponieważ \(\displaystyle{ P\left( \emptyset \right) = \left\{ \emptyset\right\}}\) , a zatem \(\displaystyle{ P(x) \setminus P\left( \emptyset\right)= \left\{ \ \left\{ \left\{ a\right\} \right\} \ \right\} }\), a zatem, ponieważ mamy prawo, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ c}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ c\right\}= c}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \bigcap \left( P(x) \setminus P\left( \emptyset\right) \right) = \left\{ \left\{ a\right\} \right\}}\), i dalej:
\(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P \left( \emptyset\right) \right)= \bigcap \left\{ \ \left\{ a\right\} \ \right\} = \left\{ a\right\}.\square}\)
Przejdźmy do naszego zadania:
ROZWIĄZANIE:
Rozważmy wzór:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) \cup \bigcap \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right)}\),
i sprawdźmy, że on działa.
Rozważmy najpierw przypadek gdy para \(\displaystyle{ x= \left( a,b\right)}\) ma różne współrzędne. Wtedy \(\displaystyle{ a \neq b}\), i wtedy:
\(\displaystyle{ \bigcup x= \bigcup \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} = \left\{ a\right\} \cup \left\{ a,b\right\} = \left\{ a,b\right\}}\) , i
\(\displaystyle{ \bigcap x= \bigcap \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} = \left\{ a\right\} \cap \left\{ a,b\right\} = \left\{ a\right\}}\) ,
a zatem:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) = \bigcup \left( \left\{ a,b\right\} \setminus \left\{ a\right\} \right)\stackrel{a \neq b}{=} \bigcup \left\{ b\right\} =b.}\)
Dla par o różnych współrzędnych, na mocy powyższego Lematu, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) \cup \bigcap \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right)= b \cup \bigcap\emptyset= b \cup \emptyset= b}\),
co należało otrzymać.
Dla par o równych elementach pierwsza część wzoru oznacza zbiór pusty, gdyż:
wtedy jeśli \(\displaystyle{ x= \left( a,a\right)}\), to \(\displaystyle{ x=\left\{ \left\{ a\right\} \right\}}\),
a zatem, ponieważ mamy prawo mówiące, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ c}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ c\right\}= c= \bigcap \left\{ c\right\}}\) , więc również :
\(\displaystyle{ \bigcup x= \bigcup \left\{ \ \left\{ a\right\} \ \right\} = \left\{ a\right\} }\), i \(\displaystyle{ \bigcap x= \bigcap \left\{ \ \left\{ a\right\} \ \right\} = \left\{ a\right\} }\), a zatem:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right)= \bigcup \left( \left\{ a\right\} \setminus \left\{ a\right\} \right) = \bigcup\emptyset= \emptyset.}\)
Wtedy, na mocy Lematu powyżej otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right) = \left\{ b\right\} }\),
jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest współrzędną pary \(\displaystyle{ x}\).
Wobec czego:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \bigcup x \setminus \bigcap x \right) \cup \bigcap \bigcap \bigcap \left( P(x) \setminus P(\emptyset)\right)= \emptyset \cup \bigcap \left\{ b\right\} = \bigcap \left\{ b\right\} = b}\),
co należało otrzymać.\(\displaystyle{ \square}\)
Dodam jeszcze, że przy pomocy pojęcia pary uporządkowanej oraz pojęcia zbioru, startując od tylko jednego ustalonego elementu, można znaleźć niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), taki, że: \(\displaystyle{ X \times X \subset X.}\)
Więcej na ten temat można przeczytać TUTAJ:
Na koniec dodam jeszcze jeden fakt, który ostatnio udowodniłem:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem (nieskończonym), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) przeliczalną (równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\)) rodzina zbiorów skończonych, rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\). Wykażemy, że suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest zbiorem przeliczalnym.
Podajmy najpierw pewien Lemat:
Lemat: Jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną zbiorów, to \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( \bigcup\mathbb{A}\right).}\)
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\). Wtedy, z własności sumy: \(\displaystyle{ A \subset \bigcup \mathbb{A}}\), a stąd \(\displaystyle{ A \in P\left( \bigcup\mathbb{A}\right).\square }\)
Przejdźmy do naszego dowodu:
Suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\), jako suma przeliczalnie wielu zbiorów co najwyżej przeliczalnych, jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym. A zatem jest zbiorem skończonym lub równolicznym ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\).
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B} \not\sim \NN}\);
wtedy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest zbiorem skończonym, a zatem również zbiór potęgowy \(\displaystyle{ P\left( \bigcup\mathbb{B}\right)}\) jest zbiorem skończonym, bo jak zbiór skończony ma \(\displaystyle{ n}\)- elementów, to jego zbiór potęgowy ma \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) elementów, a zatem jest to również zbiór skończony. A zatem, u nas również, zbiór \(\displaystyle{ P\left( \bigcup\mathbb{B}\right)}\) jest zbiorem skończonym. Na mocy Lematu powyżej: \(\displaystyle{ \mathbb{B} \subset P\left( \bigcup\mathbb{B}\right)}\) , więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), jako podzbiór zbioru skończonego, jest zbiorem skończonym, ale \(\displaystyle{ \mathbb{B} \sim \NN}\)- sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B} \sim \NN.\square}\)