Matematyka.pl

Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}, }\) rozważmy zbiór:

\(\displaystyle{ A _{\left( 0,0,0\right) }= \left\{ \left( - x, - y,- z \right)\Bigl| \ \left( x,y,z\right) \in A \right\} \subset \RR ^{3} .}\)

Taki zbiór nazwijmy odbiciem zbioru \(\displaystyle{ A,}\) względem środka układu \(\displaystyle{ \left( 0,0,0\right). }\)

Łatwo jest zauważyć, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}, }\) mamy:

\(\displaystyle{ \left( A _{\left( 0,0,0\right) } \right) _{\left( 0,0,0\right) } =A; }\)

tzn. odbicie odbicia danego zbioru jest równe temu danemu zbiorowi. Udowodniłem wczoraj, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{3}, }\) wtedy odbicie sumy tych dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, oraz odbicie przekroju tych dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić. Udowodniłem również podobne fakty dla różnicy odbić, jak i dla dopełnienia odbicia oraz dla różnicy symetrycznej odbić (ten ostatni fakt udowodniłem na dwa sposoby); jak i udowodniłem, traktując podzbiory przestrzeni trójwymiarowej jako relacje trójczłonowe w zbiorze liczb rzeczywistych, że dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}, }\) pierwsza dziedzina odbicia zbioru \(\displaystyle{ A}\), jest równa odbiciu, względem \(\displaystyle{ 0}\), pierwszej dziedziny zbioru \(\displaystyle{ A}\), odbiciu na prostej, względem \(\displaystyle{ 0}\); no i udowodniłem podobne fakty dla drugiej dziedziny, jak i i dla trzeciej dziedziny, takich relacji trójczłonowych. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Niech \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{3}. }\)
Wykażemy prawo:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) _{\left( 0,0,0\right) }= A _{\left( 0,0,0\right) } \cup B _{\left( 0,0,0\right) };}\)

tzn. wykażemy, że odbicie sumy tych zbiorów \(\displaystyle{ A }\) i \(\displaystyle{ B}\) jest równe sumie odbić.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in \left( A \cup B\right) _{\left( 0,0,0\right) }. }\)
Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)= \left( - x', - y', - z'\right), }\) gdzie \(\displaystyle{ \left( x', y',z' \right) \in A \cup B. }\)

Wtedy \(\displaystyle{ \left( x', y', z'\right) \in A }\) lub \(\displaystyle{ \left( x', y', z'\right) \in B. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ \left( x', y', z'\right) \in A, }\) to \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)= \left( -x', -y', -z'\right) \in A _{\left( 0,0,0\right) }. }\)
Podobnie, jeśli \(\displaystyle{ \left( x', y', z'\right) \in B, }\) to: \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in B _{\left( 0,0,0\right) }. }\)

A zatem (w obydwu przypadkach):
\(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in A _{ \left( 0,0,0\right) } \cup B _{\left( 0,0,0\right) },}\) co dowodzi inkluzji w prawo.

Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in A _{ \left( 0,0,0\right) }, }\) to \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)=\left( -x', -y', -z'\right), }\) gdzie \(\displaystyle{ \left( x', y', z'\right) \in A. }\)
Wtedy tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x', y', z'\right) \in A \cup B, }\) a zatem \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)= \left( -x', -y', -z'\right) \in \left( A \cup B\right) _{\left| 0,0,0\right| }. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in B _{\left( 0,0,0\right) }, }\) to podobnie \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in\left( A \cup B\right) _{\left( 0,0,0\right) }, }\)
co kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\)


Nim przejdziemy dalej, podajemy najpierw pewien Lemat.

Lemat:

Funkcja \(\displaystyle{ f: \RR ^{3} \rightarrow \RR ^{3}, }\) dana jako:

\(\displaystyle{ f\left( x,y,z\right) = \left( -x,- y, - z\right) \in \RR ^{3}, }\)

jest funkcją różnowartościową.

Można to łatwo udowodnić.

Podajmy jeszcze jeden Lemat:

Lemat 2:

Dla tej funkcji, i dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}, }\) mamy:

\(\displaystyle{ A _{\left( 0,0,0\right) }= \stackrel { \rightarrow }{f}\left( A\right). }\)

Dowód tego faktu jest oczywisty.

Zatem łatwym będzie udowodnienie prawa (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{3} }\)), mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) _{\left( 0,0,0\right) }=A _{\left( 0,0,0\right) } \cap B _{\left( 0,0,0\right) }, }\)

tzn. odbicie przekroju tych dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić.

PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, na mocy powyższego Lematu:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) _{\left( 0,0,0\right) }=\stackrel { \rightarrow }{f}\left( A \cap B\right)= }\)

I ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa (a zatem obraz przekroju dwóch podzbiorów dziedziny funkcji jest równy przekrojowI obrazów ), a zatem to jest równe:

\(\displaystyle{ =\stackrel { \rightarrow }{f}\left( A\right) \cap \stackrel { \rightarrow }{f}\left( B\right)= A _{\left( 0,0,0\right) } \cap B _{\left( 0,0,0\right) }.\square }\)

W podobny sposób możemy udowodnić prawo (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{3} }\)), mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right) _{\left( 0,0,0\right) }= A _{\left( 0,0,0\right) } \setminus B _{\left( 0,0,0\right) }, }\)

tzn. odbicie różnicy tych dwóch podzbiorów jest równe różnicy odbić.

Dowód tego faktu jest analogiczny do powyższego.

Mamy też prawo mówiące, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}, }\) mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \left( A'\right) _{\left( 0,0,0\right) }=\left( A _{\left( 0,0,0\right) } \right) ', }\)

tzn. odbicie dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równe dopełnieniu odbicia zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Dla dowodu wystarczy udowodnić, że:

\(\displaystyle{ \RR ^{3} _{\left( 0,0,0\right) }= \RR ^{3}, }\)

tzn. odbiciem całej przestrzeni trójwymiarowej jest ona sama, można to łatwo udowodnić, i łatwo ten nasz fakt wynika z powyższego faktu z różnicą.

Wykażemy jeszcze prawo (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{3} }\)):

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) _{\left( 0,0,0\right) }= A _{ \left( 0,0,0\right) } \oplus B _{\left( 0,0,0\right) }. }\)

Tzn. odbicie różnicy symetrycznej tych dwóch podzbiorów jest równe różnicy symetrycznej odbić.

Można oczywiście udowodnić ten fakt w sposób analogiczny jak udowadnialiśmy fakt z przekrojem oraz tak jak udowadnialiśmy fakt z różnicą (funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, a dla funkcji różnowartościowej, dla dwóch podzbiorów dziedziny funkcji, wtedy obraz różnicy symetrycznej tych dwóch podzbiorów jest równy różnicy symetrycznej obrazów, i stąd łatwo wynika nasz fakt ).

Udowodnimy ten fakt również innym sposobem, na mocy wcześniejszych faktów :

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) _{\left( 0,0,0\right) }= \left[ \left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right) \right] _{\left( 0,0,0\right) } = }\)

I ponieważ odbicie różnicy dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\left[ \left( A \cup B\right) _{\left( 0,0,0\right) } \right] \setminus \left[ \left( A \cap B\right) _{\left( 0,0,0\right) } \right]= }\)

i ponieważ odbicie sumy dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, a odbicie przekroju dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\left[ A _{\left( 0,0,0\right) } \cup B _{ \left( 0,0,0\right)} \right] \setminus \left[ A _{ \left( 0,0,0\right) } \cap B _{\left( 0,0,0\right) } \right] \stackrel {C\oplus D=\left( C \cup D\right) \setminus \left( C \cap D\right) }{=} A _{ \left( 0,0,0\right) }\oplus B _{ \left( 0,0,0\right)}.\square }\)


Wykażemy jeszcze, zgodnie z zapowiedzią, że:

Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}, }\) to traktując go jako relacje trójczłonową w zbiorze liczb rzeczywistych, jak również odbicie \(\displaystyle{ A _{\left( 0,0,0\right) } }\) możemy również w ten sposób potraktować, i wtedy pierwsza dziedzina takiego odbicia, jest odbiciem, względem \(\displaystyle{ 0,}\) na prostej, jest odbiciem pierwszej dziedziny zbioru \(\displaystyle{ A}\), tzn. mamy:

\(\displaystyle{ D _{1} \left( A _{ \left( 0,0,0\right)} \right) = - D _{1} \left( A\right), }\)

gdzie dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ B \subset \RR}\), oznaczamy:

\(\displaystyle{ -B:=\left\{ - b\Bigl| \ b \in B\right\}. }\) Mamy też prawo (dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3} }\) ):

\(\displaystyle{ D _{2}\left( A _{\left( 0,0,0\right) } \right)= - \left[ D _{2}\left( A\right) \right], }\)

tzn. druga dziedzina odbicia zbioru \(\displaystyle{ A}\), jest odbiciem, względem \(\displaystyle{ 0}\), na prostej, jest odbiciem drugiej dziedziny zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Dowód tego faktu jest analogiczny do powyższego.

I mamy prawo (dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3} }\)):

\(\displaystyle{ D _{3} \left( A _{\left( 0,0,0\right) } \right)= - D _{3}\left( A\right). }\)

Tzn. trzecia dziedzina odbicia zbioru \(\displaystyle{ A}\), jest odbiciem, względem \(\displaystyle{ 0}\), na prostej, jest odbiciem trzeciej dziedziny zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Pewnie można to udowodnić analogicznie jak powyżej, ja udowodniłem, to inaczej.

Nim to zrobimy, przypomnijmy, że jak mamy trzy zbiory \(\displaystyle{ X,Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) (w szczególności \(\displaystyle{ X=Y=Z=\RR}\)), i mamy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb {B} }\) relacji trójczłonowych między nimi, to mamy prawo:

\(\displaystyle{ D _{3}\left( \bigcup\mathbb{B}\right) = \bigcup_{R \in \mathbb {B}}D _{3} \left( R\right)}\),

tzn. trzecia dziedzina sumy tej rodziny relacji jest równa sumie trzecich dziedzin relacji tej rodziny.

Podobne fakty zachodzą dla pierwszej i dla drugiej dziedziny relacji.

Zauważmy też, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ X}\), mamy:

\(\displaystyle{ \bigcup_{x \in X} \left\{ x\right\} =X.}\)

W związku z czym możemy podać:


DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ A _{\left( 0,0,0\right) }= \bigcup_{\left( x,y,z\right) \in A _{\left( 0,0,0\right) } } \left\{ \left( x,y,z\right) \right\}. }\)

A zatem:

\(\displaystyle{ D _{3} \left( A _{\left( 0,0,0\right) } \right)= D _{3}\left( \bigcup_{\left( x,y,z\right) \in A _{\left( 0,0,0\right) } } \left\{ \left( x,y,z\right) \right\} \right) = \bigcup_{\left( x,y,z\right) \in A _{\left( 0,0,0\right) } } D _{3} \left\{ \left( x,y,z\right) \right\}= \bigcup_{\left( x,y,z\right) \in A _{\left( 0,0,0\right) } } \left\{ z\right\}= \bigcup_{\left( x,y,z\right) \in A } \left\{ -z\right\} . }\)

Z drugiej strony:

\(\displaystyle{ - D _{3} \left( A\right)= -D _{3} \left( \bigcup_{\left( x,y,z\right) \in A } \left\{ \left( x,y,z\right) \right\} \right) =- \left[ \bigcup_{\left( x,y,z\right) \in A }
D _{3} \left\{ \left( x,y,z\right) \right\} \right] =- \left[ \bigcup_{ \left( x,y,z\right) \in A } \left\{ z\right\} \right]= \left\{ - w\Bigl| \ w \in \bigcup_{ \left( x,y,z\right) \in A } \left\{ z\right\} \right\}= \left\{ -z\Bigl| \ \left( x,y,z\right) \in A \right\}= \\ = \bigcup_{\left( x,yz\right) \in A } \left\{ - z\right\}=D _{3} \left( A _{\left( 0,0,0\right) } \right). \square }\)

Skoro piszemy ciągle \(\displaystyle{ 0}\), to dodajmy jeszcze, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), mamy:

\(\displaystyle{ 0= x \cdot 0+0 \cdot y}\).

W imieniu wszystkich podzbiorów płaszczyzny chciałbym gorąco zaprotestować przeciwko pominięciu ich w tak doniosłej analizie. Jest skrajną niesprawiedliwością, że zanalizowano dogłębnie i szczegółowo obrazy zbiorów w przestrzeni a pominięto zupełnie zbiory płaskie.
Domagam się natychmiastowej publikacji analogicznych wyników, ze szczególnym uwzględnieniem istotnych różnic występujących w obu przypadkach.

Badałem to już w innym wątku: TUTAJ.
I, uprzedzając pytanie, analogiczne rozważania na prostej, były zbadane: Tutaj, w ostatnim poście :.

(Choć wyczuwam ironię, ale badałem już takie rzeczy ).

Na ten temat pisał już JK: rozwiązujesz te same zagadnienia i nie dostrzegasz analogii.
Podejrzewam, że następnym tematem, którym się zajmiesz, będzie badanie odbicia względem przekątnej w `\RR^3`.

Czy zastanowiłeś się, co tak naprawdę jest istotne w Twoich rozważaniach?

Roman Opałka się zastanowił. I tworzył bez końca swój słynny cykl obrazów, na których starannie malował w równych rządkach kolejne liczby naturalne. Oczywiście ktoś mógłby powiedzieć, że taka działalnośc jest bez sensu. I miałby w tym trochę racji, bo namalowanie obrazu z kolejnymi liczbami powiedzmy od 10271 do 10832 rzeczywiście wydaje się bezsensowne. Ale jeśli ktoś się uprze (tak jak Roman Opałka) i namaluje kolejny taki obraz zaczynając od liczby 10833, i kolejny, i kolejny, to w pewnym momencie to chwyci i ludzie to docenią, a twórca (inaczej niż van Gogh) zbierze sowite owoce swojej twórczości. Konceptualizm.

Wierzysz, że i tu może się to ziścić?
Bo jak tak, to otwieram galerie dowodów matematycznych. Ludzie będą się pchali drzwiami i oknami

a4karo pisze: ↑11 kwie 2023, o 15:17 Podejrzewam, że następnym tematem, którym się zajmiesz, będzie badanie odbicia względem przekątnej w `\RR^3`.

Zgadłeś- i tak też zrobiłem (tylko nie prezentowałem wyników tutaj na forum, bo mój komputer był w naprawie, a pisząc z tabletu, to zamęczyłbym się z LaTeX-em ). Ale dzisiaj to nadrobię.

Tzn. dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR^3,}\) rozważałem odbicie \(\displaystyle{ A _{I}}\) zbioru \(\displaystyle{ A,}\) względem przekątnej \(\displaystyle{ I_{\RR} ^{3}}\), danej jako:

\(\displaystyle{ I _{\RR} ^{3} = \left\{ \left( x,x,x \right)\Bigl| \ \ x \in \RR \right\}.}\)

I rozważałem odbicie zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR^3,}\) względem tej przekątnej.

Wykazałem najpierw, że odbicie, względem przekątnej, sumy dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\) jest równe sumie odbić, oraz wykazałem, że odbicie, względem przekątnej, przekroju dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\) jest równe przekrojowi odbić. Uogólniłem te dwa fakty, dowodząc, że dla niepustej rodziny podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR^3}\), wtedy odbicie, względem przekątnej, przekroju tej rodziny jest równe przekrojowi odbić zbiorów tej rodziny; i podobny fakt udowodniłem dla sumy uogólnionej. Udowodniłem też, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\), wtedy odbicie, względem przekątnej, różnicy tych dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić; i, podobnie, odbicie, względem przekątnej, różnicy symetrycznej tych dwóch zbiorów jest równe różnicy symetrycznej odbić (ten ostatni fakt udowodniłem na dwa sposoby).

Udowodniłem też niedawno tzw. 'zasadę indukcji dla zbioru liczb całkowitych', tzn.:

Jeśli mamy podzbiór \(\displaystyle{ A \subset \ZZ}\), taki, że:

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} \ 0 \in A}\), i
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ} \ \hbox {jeśli } n \in A, \hbox{ to } \left( n+1\right) \in A \hbox{ i } \left( n-1\right) \in A,}\)

to \(\displaystyle{ A=\ZZ.}\)

Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Wpierw, dla punktu \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in \RR^3}\) rozważmy punkt \(\displaystyle{ \left( x',y',z'\right)}\), gdzie współrzędne tego punktu są dane jako:

\(\displaystyle{ x'= \frac{2y+2z -x}{3}}\); i
\(\displaystyle{ y'= \frac{2x+2z-y}{3};}\) i
\(\displaystyle{ z'= \frac{2x+2y-z}{3}.}\)

Wtedy punkt \(\displaystyle{ \left( x',y',z' \right)}\) jest odbiciem punktu \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right),}\) względem przekątnej \(\displaystyle{ I_{\RR} ^{3}}\), co można łatwo wyprowadzić, zrobiłem to TUTAJ:


Zauważmy najpierw, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right),}\) oraz dla jego odbicia \(\displaystyle{ \left( x',y',z'\right)}\) , względem przekątnej, mamy: \(\displaystyle{ \left( x'\right) '= x, \left( y'\right)'=y, \left( z'\right) '=z.}\)

(Rozpatrujemy tu takie dwukrotne odbicie, i wtedy odbicie odbicia danego punktu jest tym danym punktem ).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Korzystając z podanych wzorów, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left( x'\right) '= \frac{2y'+ 2z' -x'}{3}= \frac{ \frac{4x+4z-2y}{3} + \frac{ 4x+4y-2z}{3} - \left( \frac{2y+2z-x}{3} \right) }{3} = \frac{ \frac{9x}{3} }{3}=x.}\)

Analogicznie, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \left( y'\right)'=y}\), i
\(\displaystyle{ \left( z'\right)'=z.\square}\)

A zatem, dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}}\), rozważmy zbiór \(\displaystyle{ A _{I}}\), dany jako:

\(\displaystyle{ A_I= \left\{ \left( x',y',z'\right)\Bigl| \ \ \left( x,y,z\right) \in A \right\} \subset \RR^3,}\)

który to zbiór nazwiemy odbiciem zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem przekątnej \(\displaystyle{ I _{\RR} ^{3}}\), danej jako:

\(\displaystyle{ I _{\RR} ^{3}= \left\{ \left( x,x,x\right)\Bigl| \ \ x \in \RR \right\},}\)

i rozważamy odbicie zbioru \(\displaystyle{ A}\), względem takiej przekątnej.

Łatwo jest zauważyć, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{3}}\), mamy:

\(\displaystyle{ \left( A_I\right) _{I}=A}\),

czyli odbicie odbicia danego zbioru jest równe temu danemu zbiorowi. Wykażemy teraz, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{3}}\), mamy:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) _I= A_I \cup B_I,}\)

czyli odbicie sumy tych dwóch podzbiorów jest równe sumie odbić.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in \left( A \cup B\right) _I}\).
Wtedy, z definicji odbicia, otrzymujemy: \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) = \left( x'_0, y'_0,z'_0\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( x_0, y_0, z_0\right) \in A \cup B. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ \left( x_0, y_0, z_0\right) \in A}\), to \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) = \left( x'_0, y'_0,z'_0\right) \in A_I.}\)
W przeciwnym przypadku \(\displaystyle{ \left( x_0, y_0, z_0\right) \in B}\), i w podobny sposób \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in B_I.}\)

A zatem (w obydwu przypadkach): \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in A_I \cup B_I}\), co dowodzi inkluzji w jedną stronę.

Niech teraz \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in A_I.}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right)=\left( x'_0, y'_0, z'_0\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( x_0, y_0, z_0\right) \in A.}\) Wtedy tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x_0, y_0, z_0\right) \in A \cup B}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in \left( A \cup B\right) _I.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in B_I}\), to w podobny sposób \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in \left( A \cup B\right) _I}\), co kończy dowód.\(\displaystyle{ \square}\)

Nim przejdziemy dalej, podajmy pewien Lemat.

Lemat:
Funkcja f: \(\displaystyle{ \RR^3 \rightarrow \RR ^{3}}\), dana jako:

\(\displaystyle{ f\left( x,y,z\right) = \left( x',y', z'\right),}\)

jest różnowartościowa. Zauważmy, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR^3}\), mamy:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) = A_I,}\)

jest to oczywiste.

W takim razie, na mocy powyższego Lematu możemy łatwo wykazać prawo mówiące, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\), mamy:\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) _I= A_I \cap B_I,}\)

czyli odbicie, względem przekątnej, przekroju tych dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić.

PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right)_I= \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A \cap B\right) =}\)

i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ = \stackrel{ \rightarrow }{f} (A) \cap \stackrel{ \rightarrow } {f}(B)= A_I \cap B_I. \square}\)


Wykażemy teraz prawo:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie niepustą rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Wykażemy prawo:

\(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb{B}\right) _I= \bigcap_{A \in \mathbb{B}} A_I,}\)

czyli wykażemy, ze odbicie, względem przekątnej, przekroju tej rodziny zbiorów jest równe przekrojowi odbić zbiorów tej rodziny.

(Dla skończonych rodzin zbiorów równość wynika łatwo przez indukcję z prawa dla ilości zbiorów \(\displaystyle{ n=2}\), łatwo to można udowodnić indukcyjnie (na mocy łączności przekroju dwóch zbiorów)).

Istota rzeczy jest więc dla nieskończonych rodzin zbiorów. Pasuje więc podać jakiś przykład na to: Uf, w trój-wymiarze nie widzę.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb{B}\right) _I= \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( \bigcap \mathbb{B} \right)=}\)

i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, a zatem to jest równe:

\(\displaystyle{ = \bigcap_{A \in \mathbb{B}} \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) .}\)

Jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ A \subset \RR^3}\), a wtedy: \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} (A)= A _{I}}\), a zatem:

\(\displaystyle{ \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f} (A): \ A \in \mathbb{B}\right\} = \left\{ A_I: \ A \in \mathbb{B}\right\}. }\)

I ponieważ dla danej rodziny zbiorów istnieje dokładnie jeden, a więc tylko jeden, jej przekrój mnogościowy, więc:

\(\displaystyle{ \bigcap \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f} (A): \ A \in \mathbb{B}\right\} = \bigcap\left\{ A_I: \ A \in \mathbb{B}\right\}. }\)

A zatem:

\(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb{B}\right) _I= \bigcap_{A \in \mathbb{B}} \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) = \bigcap_{A \in \mathbb{B}} A_I.\square}\)

W podobny sposób możemy udowodnić prawo mówiące, że dla niepustej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR^3}\) mamy prawo:

\(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}\right) _I= \bigcup_{A \in \mathbb{B}} A_I;}\)

tzn. odbicie sumy tej rodziny jest równe sumie odbić zbiorów tej rodziny, w podobny sposób możemy to udowodnić.

Mamy też fakt mówiący, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\), mamy prawo:

\(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right) _I= A_I \setminus B_I,}\)

tzn. odbicie różnicy tych dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić, w podobny sposób, jak dowodziliśmy fakt dla przekroju dwóch zbiorów, w podobny sposób możemy ten fakt udowodnić.

I mamy prawo mówiące, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\), mamy:

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) _{I}= A_I \oplus B_I,}\)

tzn. odbicie różnicy symetrycznej tych dwóch zbiorów jest równe różnicy symetrycznej odbić (funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, a dla funkcji różnowartościowej, dla dwóch podzbiorów dziedziny tej funkcji, wtedy obraz różnicy symetrycznej tych dwóch podzbiorów jest równy różnicy symetrycznej obrazów- jest to prosty fakt, i stąd wynika nasz fakt).

Ten fakt udowodniłem również innym sposobem: Oto:

CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) _I= \left[ \left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right) \right] _I= }\)

i ponieważ odbicie, względem przekątnej, różnicy dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\left( A \cup B\right) _I \setminus \left( A \cap B\right)_I= }\)

i ponieważ odbicie sumy dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, a odbicie przekroju dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ = \left( A_I \cup B_I\right) \setminus \left( A_I \cap B_I\right) \stackrel{C\oplus D= \left( C \cup D\right) \setminus \left( C \cap D\right) } {=} A_I \oplus B_I.\square}\)


Na koniec wykażemy, zgodnie z zapowiedzią, wykażemy tzw. 'zasadę indukcji dla zbioru liczb całkowitych', tzn.:

Rozważmy zbiór liczb całkowitych \(\displaystyle{ \ZZ}\),
oraz rozważmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \subset \ZZ}\), taki, że:

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} \ 0 \in A,}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ} \ \hbox { jeśli } n \in A, \hbox{ to } \left( n+1\right) \in A \hbox{ i } \left( n-1\right) \in A.}\)

Wykażemy, że \(\displaystyle{ A=\ZZ.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Rozważmy dwa zbiory, prawie rozłączne ( te zbiory mogą mieć jako element wspólny tylko \(\displaystyle{ 0}\)):

\(\displaystyle{ A_1= \left\{ n \in A: \ n \ge 0\right\} \subset A \subset \ZZ ,}\) i
\(\displaystyle{ A_2= \left\{ n \in A: \ n \le 0\right\} \subset A \subset \ZZ.}\)

Wtedy suma \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2}\), jako suma dwóch podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ A_1 \cup A_2=A}\) (z definicji tych zbiorów \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\)).

Wtedy \(\displaystyle{ A_1 \subset \ZZ \cap \left( \RR_+ \cup \left\{ 0\right\} \right)= \NN.}\)

Stosujemy do tego zbioru zasadę indukcji dla zbioru liczb naturalnych.

Mamy:

\(\displaystyle{ 0 \in A}\), i \(\displaystyle{ 0 \ge 0}\), a zatem \(\displaystyle{ 0 \in A_1}\), zatem spełniona jest podstawa indukcji.

Krok indukcyjny:

Jeśli \(\displaystyle{ n \in A_1 \subset A}\), to \(\displaystyle{ n \in A}\), wtedy, na mocy naszego założenia o zbiorze \(\displaystyle{ A}\) dostajemy w szczególności, że : \(\displaystyle{ (n+1) \in A}\); a ponieważ \(\displaystyle{ n \in A_1}\), to \(\displaystyle{ n \ge 0}\), a zatem \(\displaystyle{ n+1 \ge 0}\), i \(\displaystyle{ \left( n+1\right) \in A_1}\). Krok indukcyjny został dowiedziony.

Na mocy zasady indukcji dla liczb naturalnych: \(\displaystyle{ A_1=\NN.}\)


Popatrzmy teraz na zbiór \(\displaystyle{ A_2 \subset \ZZ.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n \in A_2}\), to \(\displaystyle{ n \le 0}\), a zatem \(\displaystyle{ A_2 \subset \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\).

Stosujemy do niego zasadę indukcji dla zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem (która jest 'symetryczna' do zasady indukcji dla zbioru liczb naturalnych):

Mamy \(\displaystyle{ 0 \in A}\), i \(\displaystyle{ 0 \le 0}\), a zatem \(\displaystyle{ 0 \in A_2}\), co dowodzi podstawy indukcji.

Krok indukcyjny:
Weźmy \(\displaystyle{ n \in A_2,}\) i pokażmy, że \(\displaystyle{ \left( n-1\right) \in A_2.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ n \in A_2}\), to \(\displaystyle{ n \in A}\) i \(\displaystyle{ n \le 0.}\) Wtedy, na mocy naszego założenia o zbiorze \(\displaystyle{ A}\): \(\displaystyle{ n-1 \in A}\) i \(\displaystyle{ n-1 \le 0}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( n-1\right) \in A_2}\), co dowodzi kroku indukcyjnego.

Na mocy zasady indukcji dla zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem: \(\displaystyle{ A_2=\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}.}\)

A zatem: \(\displaystyle{ A= A_1 \cup A_2= \NN \cup \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right)=\ZZ. \square}\)

Jakub Gurak pisze: ↑20 kwie 2023, o 17:14 Wykazałem najpierw, że odbicie, względem przekątnej, sumy dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\) jest równe sumie odbić, oraz wykazałem, że odbicie, względem przekątnej, przekroju dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\) jest równe przekrojowi odbić. Uogólniłem te dwa fakty, dowodząc, że dla niepustej rodziny podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR^3}\), wtedy odbicie, względem przekątnej, przekroju tej rodziny jest równe przekrojowi odbić zbiorów tej rodziny; i podobny fakt udowodniłem dla sumy uogólnionej. Udowodniłem też, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\), wtedy odbicie, względem przekątnej, różnicy tych dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić; i, podobnie, odbicie, względem przekątnej, różnicy symetrycznej tych dwóch zbiorów jest równe różnicy symetrycznej odbić (ten ostatni fakt udowodniłem na dwa sposoby).

Ale zdajesz sobie sprawę, że wszystko, co napisałeś, zawiera się w jednozdaniowej uwadze: "Odbicie względem prostej jest bijekcją"? I że w związku z tym pisanie tych wszystkich dowodów jest zbędne (podobnie było zresztą z odbiciem względem punktu)?

Matematyk po to raz dowodzi twierdzenie, które mówi o tym, że bijekcja zachowuje wszystkie operacje mnogościowe, żeby nie musieć dowodzić tego samego dla każdej bijekcji z osobna. I dlatego zacytowana uwaga a4karo była nieco ironiczna.

JK