\(\displaystyle{ A _{\left( 0,0\right) } = \left\{ \left( -x,-y\right)\Bigl| \ \ \left( x,y\right) \in A \right\} \subset \RR ^{2}}\) ,
Jest to zbiór par o przeciwnych współrzędnych do współrzędnych par ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Jest to zbiór powstały poprzez odbicie zbioru względem początku układu. Oto ilustracja takiego zbioru: \(\displaystyle{ \\}\)
Trzy dni temu, wykazałem, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją symetryczną w zbiorze liczb rzeczywistych (wtedy taka relacja jest podzbiorem płaszczyzny), i wtedy jej odbicie \(\displaystyle{ R _{\left( 0,0\right) }}\) jest również relacją symetryczną; i wykazałem podobny fakt dla relacji antysymetrycznych. Wykazałem wczoraj, ze dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^2}\), wtedy odbicie, względem początku układu, przekroju tych dwóch zbiorów, jest równe przekrojowi odbić. Wykazałem również wczoraj, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, jest funkcją słabo rosnącą, to jej odbicie \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest również funkcją słabo rosnącą; i wykazałem podobny fakt dla funkcji słabo malejących. Wykazałem również wczoraj, że jeśli mamy tego samego rodzaju funkcję co powyżej, funkcję różnowartościową, to jej odbicie jest również funkcją różnowartościową. I na koniec wykazałem, że jeśli mamy tego samego rodzaju funkcję silnie rosnącą, to jej odbicie jest również funkcją silnie rosnącą; no i wykazałem podobny fakt dla funkcji silnie malejących. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją w zbiorze liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\), relacją symetryczną (wtedy \(\displaystyle{ R}\) jest podzbiorem płaszczyzny). Wykażemy, że wtedy relacja \(\displaystyle{ R _{\left( 0,0\right) }}\) jest relacją symetryczną.
Nim to udowodnimy, przypomnijmy, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ R}\) jest relacją w zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to następujące warunki są równoważne:
1) relacja \(\displaystyle{ R}\) jest symetryczna;
2) relacja \(\displaystyle{ R}\) jest równa swojej relacji odwrotnej;
3) relacja \(\displaystyle{ R}\) zawiera swoją relację odwrotną;
4) relacja \(\displaystyle{ R}\) zawiera się w swojej relacji odwrotnej.
Są to proste zależności, ale z przyjemnością uzasadnię je jeszcze raz. Oto:
DOWÓD TEGO FAKTU::
DOWÓD TEGO FAKTU:
Aby wykazać, że relacja \(\displaystyle{ R _{\left( 0,0\right) } }\) jest relacją symetryczną, wykażemy, że taka relacja zawiera swoją relację odwrotną.
Niech \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R _{\left( 0,0\right) } ^{-1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R _{\left( 0,0\right) } }\), a zatem z definicji odbić podzbiorów płaszczyzny, otrzymujemy: \(\displaystyle{ \left( x,y\right) = \left( -a,-b\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R.}\) Ponieważ relacja \(\displaystyle{ R}\) jest symetryczna, więc również \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\), a zatem, z definicji odbicia: \(\displaystyle{ \left( -b,-a\right) \in R _{\left( 0,0\right) } }\). Ponieważ \(\displaystyle{ x=-a}\) i \(\displaystyle{ y=-b}\), to \(\displaystyle{ \left( -b,-a \right)= \left( y,x\right) \in R _{\left( 0,0\right) }}\), a zatem \(\displaystyle{ R _{\left( 0,0\right) } ^{-1} \subset R _{\left( 0,0\right) }}\),
czyli relacja \(\displaystyle{ R _{ \left( 0,0 \right) }}\) zawiera swoją relację odwrotną, jest więc relacją symetryczną\(\displaystyle{ .\square}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją w zbiorze liczb rzeczywistych, relacją antysymetryczną. Wykażemy, że jej odbicie \(\displaystyle{ R _{ \left( 0,0\right) }}\) jest również relacją antysymetryczną.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Rozważmy niepusty zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A \subset \RR}\), oraz funkcję \(\displaystyle{ f: A \rightarrow \RR}\), funkcję słabo rosnącą. Wtedy \(\displaystyle{ f \subset A \times \RR \subset \RR ^{2}}\). Wykażemy, że odbicie takiego podzbioru płaszczyzny jest funkcją słabo rosnącą, tzn. funkcja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } : -A \rightarrow \RR}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( -A\right) := \left\{ -a\Bigl| \ a \in A\right\},}\) jest funkcją słabo rosnącą.
Wykażemy najpierw pewien Lemat.
Lemat Jeśli \(\displaystyle{ f: \left\{ \right\} \neq A \subset \RR \rightarrow \RR}\), jest funkcją z dowolnego ustalonego niepustego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych i o wartościach w liczbach rzeczywistych, jeśli mamy taką funkcję, to jej odbicie \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ \left( -A\right)}\) w zbiór \(\displaystyle{ \RR.}\)
DOWÓD TEGO LEMATU:
Aby pokazać, że jest to funkcja, to:
Niech \(\displaystyle{ \left( x, y_1\right)}\);\(\displaystyle{ \left( x,y_2\right) \in f _{\left( 0,0\right) }}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ y_1= y_2}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \left( x, y_1\right); \left( x, y_2\right) \in f _{\left( 0,0\right) }}\) , więc: \(\displaystyle{ \left( x, y_1\right) = \left( -x', -y'\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ \left( x', y'\right) \in f;}\) i podobnie \(\displaystyle{ \left( x, y_2\right) = \left( -x'',- y ^{''} \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( x'', y''\right) \in f}\). Wtedy \(\displaystyle{ -x''= x=-x'}\), a zatem \(\displaystyle{ x''= x'= :x_0}\) oznaczmy ten element jako \(\displaystyle{ x_0}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x_0, y'\right) \in f}\) i \(\displaystyle{ \left( x_0, y''\right) \in f}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją, więc \(\displaystyle{ y'= y'',}\) a zatem \(\displaystyle{ y_1= -y'=-y''=y_2}\), czyli \(\displaystyle{ y_1= y_2,}\) i relacja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest funkcją częściową.
Wykażemy teraz, że \(\displaystyle{ \left( f _{\left( 0,0\right) } \right)_L= \left( -A\right) .}\)
Niech \(\displaystyle{ b \in \left( -A\right).}\) Wtedy \(\displaystyle{ b=-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), więc \(\displaystyle{ \left( a, f\left( a\right) \right) \in f}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( -a, - f\left( a\right) \right) \in f _{\left( 0,0\right) }}\), czyli również \(\displaystyle{ \left( b, - f(a)\right) \in f _{\left( 0,0\right) }}\), a zatem \(\displaystyle{ b \in \left( f _{\left( 0,0\right) } \right) _{L}}\) i \(\displaystyle{ \left( f _{\left( 0,0\right) } \right) _{L}= \left( -A\right) }\), a zatem \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }: \left( -A \right) \rightarrow \RR}\) jest funkcją.\(\displaystyle{ \square}\)
I dla takiej funkcji, jeśli \(\displaystyle{ b \in \left( -A\right),}\) wtedy \(\displaystyle{ b=-a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in A}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ f:A \rightarrow \RR}\), to \(\displaystyle{ \left( a, f(a)\right) \in f}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( -a, - f\left( a\right) \right) \in f _{\left( 0,0\right) }}\) , czyli \(\displaystyle{ \left( b, - f\left( a\right) \right) \in f _{\left( 0,0\right) }}\) , a stąd widać chyba, że tą funkcję można określić jednym wzorem:
\(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } \left( x\right) = - f \left( -x\right),}\)
(bo \(\displaystyle{ b=-a}\)).
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Łatwo jest pokazać, że \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } \subset \left( -A\right) \times \RR}\) (bo bezpośrednio to wiemy tylko, że jest to podzbiór płaszczyzny, ale możemy łatwo taką inkluzję udowodnić, w zasadzie to już w Lemacie powyżej- już wtedy powinienem to sprawdzić, zapomniałem o tym powiedzieć, mam nadzieję, że mi wybaczycie to
).Na mocy powyżej podanego Lematu: relacja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ \left( -A\right) }\) w zbiór \(\displaystyle{ \RR.}\)
Aby wykazać, że taka funkcja jest słabo rosnąca, to niech: \(\displaystyle{ x,y \in \left( -A\right)}\) będą takimi elementami, że \(\displaystyle{ x<y.}\) Pokażemy, że: \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } \left( y\right) \ge f _{\left( 0,0\right) } \left( x\right) .}\)
Mamy, zgodnie z przytoczonym wzorem:
\(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } \left( y \right) =-f \left( -y\right).}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x<y}\), to \(\displaystyle{ -x> -y}\), a ponieważ \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } \left( x\right) = -f \left( -x \right)}\) , i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest słabo rosnąca, więc \(\displaystyle{ f\left( -x\right) \ge f\left( -y\right) }\), a zatem:
\(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } \left( y\right) = -f\left( -y\right) \ge -f\left( -x\right) = f _{\left( 0,0\right) } \left( x\right),}\)
czyli \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } \left( y\right) \ge f _{\left( 0,0\right) } \left( x\right) ,}\)
i funkcja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest słabo rosnąca.\(\displaystyle{ \square}\)
Analogicznie możemy udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ f:\left\{ \right\} \neq A \subset \RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją słabo malejącą, to jej odbicie \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }: -A \rightarrow \RR}\) jest również funkcją słabo malejąca.
Udowodniłem to w sposób analogiczny, tym razem nie kombinowałem, w sposób analogiczny jak powyżej, udowodniłem ten fakt .
Przejdźmy dalej;
Rozważmy funkcję f\(\displaystyle{ : \left\{ \right\} \neq A \subset \RR \rightarrow \RR}\), funkcję różnowartościową. Wykażemy, że jej odbicie \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest również funkcją różnowartościową.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Rozważmy funkcje \(\displaystyle{ g: \RR \rightarrow \RR}\), daną jako:
\(\displaystyle{ g \left( x\right) = -x.}\)
Łatwo jest pokazać, że jest to funkcja różnowartościowa.
Rozważmy funkcję:
\(\displaystyle{ h: \left( -A\right) \rightarrow \RR}\), daną jako:
\(\displaystyle{ h(x)= f(-x).}\)
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest funkcją różnowartościową.
Jeśli \(\displaystyle{ h\left( x_1\right)= h\left( x_2\right)}\), wtedy, z definicji tej funkcji \(\displaystyle{ f\left( -x_1\right) = f\left( -x_2\right)}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, więc \(\displaystyle{ -x_1= -x_2}\), czyli \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), i funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest różnowartościowa.
Zauważmy, że funkcja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) } : \left( -A\right) \rightarrow \RR}\) jest złożeniem funkcji \(\displaystyle{ h: \left( -A\right) \rightarrow \RR}\) i funkcji \(\displaystyle{ g: \RR \rightarrow \RR. }\)
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest różnowartościowa, ponieważ funkcja \(\displaystyle{ g}\) jest różnowartościowa, więc również funkcja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\), jako złożenie dwóch funkcji różnowartościowych, jest funkcją różnowartościową.\(\displaystyle{ \square}\)
Dalej:
Rozważmy funkcję: \(\displaystyle{ f: \left\{ \right\} \neq A \subset \RR \rightarrow \RR}\), funkcję silnie rosnącą. Wykażemy, że jej odbicie względem początku układu, czyli funkcja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest również funkcją silnie rosnącą.
Nim to udowodnimy, przypomnijmy, że funkcja \(\displaystyle{ f: \left\{ \right\} \neq A\subset \RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją silnie rosnącą, dokładnie wtedy, gdy jest funkcją słabo rosnącą i jest funkcją różnowartościową- jest to dość prosty fakt.
Podobnie, funkcja \(\displaystyle{ f: \left\{ \right\} \neq A \subset \RR \rightarrow \RR}\) jest funkcją silnie malejącą, dokładnie wtedy, gdy jest funkcją słabo malejącą i jest funkcją różnowartościową- jest to podobnie prosty fakt.
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie rosnąca, to w szczególności jest słabo rosnąca i jest funkcją różnowartościową. Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest słabo rosnąca, to, na mocy dowodów powyżej, funkcja, będąca jej odbiciem, również jest słabo rosnąca, a ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, to ostatnio dowiedziony fakt, daje, że również jej odbicie \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest funkcją różnowartościową. Stosując przytoczony powyżej fakt, otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest silnie rosnąca \(\displaystyle{ \square}\)
I:
Niech \(\displaystyle{ f: \left\{ \right\} \neq A \subset \RR \rightarrow \RR}\), będzie funkcją silnie malejącą. Wykażemy, że jej odbicie \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest funkcją silnie malejącą.
PODOBNY DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest silnie malejąca, to w szczególności jest słabo malejąca i jest funkcją różnowartościową. Stosując udowodnione w tym poście fakty (a właściwie pominąłem ten dowód dla funkcji slabo malejących, jako dowód analogiczny) otrzymujemy, że odbicie \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right)}}\) jest funkcją słabo malejącą i jest funkcją różnowartościową. A zatem, stosując fakt przytoczony przed tym dowodem, otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f _{\left( 0,0\right) }}\) jest silnie malejąca.\(\displaystyle{ \square }\)
Na koniec:
Rozważmy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B \subset \RR^{2}}\). Wykażemy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) _{\left( 0,0\right) }= A _{\left( 0,0\right) } \cap B _{\left( 0,0\right) },}\)
czyli odbicie, względem początku układu, przekroju dwóch zbiorów jest równe przekrojowi odbić.
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f: \RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2 }}\), daną jako:
\(\displaystyle{ f\left( x,y\right) = \left( -x, -y \right) \in \RR^2.}\)
Łatwo jest pokazać, że taka funkcja jest różnowartościowa.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Lemat. Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C\subset \RR ^{2}}\), mamy: \(\displaystyle{ C _{\left( 0,0\right) } = \stackrel{ \rightarrow }{f} (C).}\)
DOWÓD TEGO LEMATU:
Ale jeśli \(\displaystyle{ C \subset \RR^2}\), to:
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} (C) = \left\{ f\left( x,y\right)\Bigl| \ \ \left( x,y\right) \in C \right\} = \left\{ \left( -x,-y\right)\Bigl| \ \ \left( x,y\right) \in C \right\} = C _{\left( 0,0\right) } . \square}\)
Łatwo będzie teraz udowodnić nasz fakt. Oto:
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy na mocy lematu powyżej:
\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) _{\left( 0,0\right) } = \stackrel{ \rightarrow } {f} \left( A \cap B\right)=}\)
i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, więc obraz przekroju dwóch podzbiorów płaszczyzny jest równy przekrojowi obrazów, więc ten zbiór jest równy:
\(\displaystyle{ =\stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) \cap \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( B\right)= A _{\left( 0,0\right) } \cap B _{ \left( 0,0\right) }.\square}\)
I łatwo możemy udowodnić, że dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2} }\), mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) _{\left( 0,0\right) } = A _{\left( \left( 0,0\right) \right) } \cup B _{\left( 0,0\right) } .}\)
Gdyż dla funkcji między dwoma zbiorami, dla dwóch podzbiorów dziedziny funkcji, mamy fakt, mówiący, że obraz sumy tych dwóch podzbiorów jest równy sumie obrazów tych dwóch zbiorów, i stąd łatwo wynika ten fakt \(\displaystyle{ .\square}\)
Dodano po 1 miesiącu 17 dniach 12 godzinach 54 minutach 5 sekundach:
Możemy też łatwo udowodnić, że odbicie różnicy dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2} }\) jest równe różnicy odbić, tzn. mamy równość:
\(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right) _{\left( 0,0\right) }=A _{\left( 0,0\right) } \setminus B _{\left( 0,0\right) }, }\)
gdyż, na mocy powyższego Lematu , mamy:
\(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right) _{\left( 0,0\right) }=\stackrel { \rightarrow }{f} \left( A \setminus B\right) =, }\)
który to zbiór jest równy, gdyż funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, a więc obraz różnicy jest równy różnicy obrazów, czyli ten zbiór jest równy:
\(\displaystyle{ =\stackrel { \rightarrow }{f} \left( A\right) \setminus \stackrel { \rightarrow }{f}\left( B\right)=A _{\left( 0,0\right) } \setminus B _{\left( 0,0\right) }. \square }\)
Wynika stąd więc łatwo, że odbicie dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2} }\) jest równe dopełnieniu odbicia.
Dla dowodu wystarczy zauważyć, że odbiciem całej płaszczyzny jest cała płaszczyzna (łatwo można to uzasadnić, a polega to na tym, że gdy podzielimy płaszczyznę na cztery ćwiartki, to pierwsza ćwiartka przechodzi na trzecią i na odwrót, a druga ćwiartka przechodzi na czwartą i na odwrót), i wystarczy wykorzystać udowodniony powyżej fakt z różnicą.
Również, dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset \RR ^{2}, }\) wtedy odbicie ich różnicy symetrycznej jest równe różnicy symetrycznej odbić, tzn. mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) _{\left( 0,0\right) } =A _{\left( 0,0\right) } \oplus B _{\left( 0,0\right) }, }\)
gdyż:
\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) _{\left( 0,0\right) } = \left( \left( A \setminus B\right) \cup \left( B \setminus A\right) \right) _{\left( 0,0\right) }= }\)
I ponieważ odbicie sumy dwóch zbiorów jest równe sumie odbić, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ =\left( A \setminus B\right) _{\left( 0,0\right) } \cup \left( B \setminus A\right) _{\left( 0,0\right) }= }\)
I ponieważ odbicie różnicy dwóch zbiorów jest równe różnicy odbić, więc ten zbiór jest równy:
\(\displaystyle{ = \left( A _{\left( 0,0\right) } \setminus B _{\left( 0,0\right) } \right) \cup \left( B _{\left( 0,0\right) } \setminus A _{\left( 0,0\right) } \right)= A _{\left( 0,0\right) }\oplus B _{\left( 0,0\right) }.\square }\)
I mamy prawo mówiące, że odbicie odbicia zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2} }\) jest równe temu danemu zbiorowi \(\displaystyle{ A}\), czyli:
\(\displaystyle{ \left( A _{\left( 0,0\right) } \right) _{\left( 0,0\right) } =A, }\)
- jest to prosty fakt.
Na koniec dodam jeden fakt, który ostatnio udowodniłem.
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwie rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {A}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb {B} }\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\).
Jak mamy dwa przekroje uogólnione \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{A}}\) i \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B},}\) i gdy weźmiemy sumę takich przekrojów, to ta suma jest równa przekrojowi wszystkich sum postaci \(\displaystyle{ A \cup B,}\) gdzie zbiory \(\displaystyle{ A}\) pochodzą z pierwszej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {A} }\), a zbiory \(\displaystyle{ B}\) pochodzą z drugiej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {B}; }\) tzn. mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( \bigcap \mathbb {A} \right) \cup \left( \bigcap\mathbb {B}\right)= \bigcap_{A \in \mathbb {A},B \in \mathbb {B}}\left( A \cup B\right). }\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ \bigcap_{A \in \mathbb {A}, B \in \mathbb {B}} \left( A \cup B\right)= \bigcap_{A \in \mathbb {A}} \bigcap_{B \in \mathbb {B}} \left( A \cup B\right) = \bigcap_{A \in \mathbb {A}} \left( A \cup \bigcap_{B \in \mathbb {B}}B\right) = \bigcap_{A \in \mathbb{A}}\left( A \cup \bigcap \mathbb {B}\right)= \bigcap_{A \in \mathbb {A}} \left( \bigcap\mathbb {B} \cup A\right) = }\)
gdzie zauważamy, że zbiór \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb {B}}\) jest jednym ustalonym zbiorem, (tzn. nie zależy on od zmiennej \(\displaystyle{ A}\)), a zatem jest to ròwne:
\(\displaystyle{ = \left( \bigcap\mathbb {B} \right) \cup \left( \bigcap_{A \in \mathbb {A}} A\right)=\left( \bigcap\mathbb {B}\right) \cup \left( \bigcap \mathbb{A}\right)=\left( \bigcap\mathbb {A} \right) \cup \left( \bigcap\mathbb {B} \right). \square }\)