Matematyka.pl

Mam problem z pewnym zadaniem
Niech \(\displaystyle{ f: \NN \rightarrow P(\NN)}\) będzie dowolną funkcją. Wskaż zbiór \(\displaystyle{ S \in P(\NN)}\) dla którego zachodzi \(\displaystyle{ f^{-1}(S)=\emptyset}\)
Wiemy że \(\displaystyle{ |N|<P(N)}\) więc będą takie elementy(na przykład X) w \(\displaystyle{ P(\NN)}\) dla których nie będzie istniał argument k taki że \(\displaystyle{ f(k)=X}\). Czy w związku z tym wystarczy napisać że \(\displaystyle{ S=P(\NN) \setminus f(\NN)}\) ?

Nie, bo \(\displaystyle{ P(\mathbb{N}) \setminus f(\mathbb{N})}\) nie jest elementem \(\displaystyle{ P(\mathbb{N})}\). W zadaniu chodzi raczej o wskazanie elementu \(\displaystyle{ S \in P(\mathbb{N}) \setminus f(\mathbb{N})}\). Żeby go znaleźć, najprościej popatrzeć do dowodu twierdzenia Cantora (\(\displaystyle{ |\mathbb{N}| < |P(\mathbb{N})|}\)), bo clou tego twierdzenia to właśnie konstrukcja takiego zbioru.

Twierdzenie Cantora mówi że każdy zbiór ma moc mniejszą niż rodzina jego wszystkich podzbiorów, w naszym przypadku to \(\displaystyle{ \NN<P(\NN)}\)
Ale nie mam pojęcia jak to może nam pomóc w wskazaniu "konkretne elementu" z \(\displaystyle{ S}\) nic nie wiemy o tej funkcji \(\displaystyle{ f}\)

Poszukałem nieco w internecie, i w dowodzie rozważa się taki zbiór \(\displaystyle{ B=\left\{ x \in A: x \notin f(x) \right\} }\) przy \(\displaystyle{ f:A \rightarrow P(A)}\) czy w takim razie odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ S=\left\{ x \in \NN: x \notin f(x) \right\} }\)

Tak, o ten zbiór chodzi.

A przy okazji: nie \(\displaystyle{ \mathbb{N} < P(\mathbb{N})}\), lecz \(\displaystyle{ |\mathbb{N}| < |P(\mathbb{N})|}\).

Swoją drogą to smutne, że takich zbiorów jest mnóstwo, a stale mielimy ten jeden przypadek.