Matematyka.pl

Oblicz moce zbiorów, gdy:
a) \(\displaystyle{ X =\left\{A : A \subseteq \mathbb{R} \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ X = \left\{A : A \subseteq \mathbb{Z} \right\}}\)
c) \(\displaystyle{ X = \left\{A : A \subseteq \mathbb{Q} \right\}}\)
W każdym zbiorze A ma element najmniejszy i największy.

Odnośnie podpunktu a) , to:

Dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \left( 0,1\right), }\) rozważ zbiór \(\displaystyle{ A'= A \cup \left\{ 0,1\right\}. }\)

Wtedy \(\displaystyle{ A' \subset \RR,}\) i \(\displaystyle{ 0}\) jest liczbą najmniejszą w zbiorze \(\displaystyle{ A',}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest liczbą największą w \(\displaystyle{ A'.}\) A zatem \(\displaystyle{ A' \in X,}\) i w ten sposób otrzymujemy funkcję:

\(\displaystyle{ \alpha : A \in P\left( \left( 0,1\right) \right)\stackrel{ \alpha }{ \rightarrow } A' \in X. }\)

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest funkcją różnowartościową.

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( A\right)= \alpha \left( B\right), }\) to, z definicji tej funkcji \(\displaystyle{ \alpha }\), oznacza to, że:

\(\displaystyle{ A \cup \left\{ 0,1\right\}= B \cup \left\{ 0,1\right\},}\)

a zatem:

\(\displaystyle{ A\stackrel {0,1\not\in A}{=} \left( A \cup \left\{ 0,1\right\} \right) \setminus \left\{ 0,1\right\} =\left( B \cup \left\{ 0,1\right\} \right) \setminus \left\{ 0,1\right\} \stackrel{0,1\not\in B} {=}B}\),

Albo inaczej (formalniej) możemy uzasadnić ostatnie przejście:

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\), więc:

\(\displaystyle{ \left( A \cup \left\{ 0,1\right\} \right) \setminus \left\{ 0,1\right\} = A; }\)

i w podobny sposób otrzymujemy na zbiorach rozłącznych \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}, }\) otrzymujemy, że:

\(\displaystyle{ \left( B \cup \left\{ 0,1\right\} \right) \setminus \left\{ 0,1\right\}=B.}\)

Czyli: \(\displaystyle{ A=B,}\) i funkcja \(\displaystyle{ \alpha }\) jest różnowartościowa.

A zatem:

\(\displaystyle{ \left| P\left( \left( 0,1\right) \right) \right| \le \left| X\right|, }\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)\sim \RR }\), więc:

\(\displaystyle{ \left| 2 ^{\RR} \right|=\left| P\left( \RR\right) \right| =\left| P\left( \left( 0,1\right) \right) \right| \le \left| X\right| }\),

czyli \(\displaystyle{ \left| X\right| \ge \left| 2 ^{\RR}\right| .}\)

Oczywiście mamy również nierówność mocy zbiorów w drugą stronę, a zatem, na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina:

\(\displaystyle{ \left| X\right|= \left| 2 ^{\RR} \right|. \square}\)


Do b) dam na razie jedynie wskazówkę.

Rodzinę \(\displaystyle{ X}\) podzbiorów zbioru liczb całkowitych, mających elementy najmniejsze i największe, taką rodzinę podzielmy na podrodziny ze względu na pary liczb całkowitych, gdzie pierwszy element pary oznacza element najmniejszy tych zbiorów, a drugi element pary oznacza element największy tych zbiorów. Wtedy, sytuacja nam się zamyka do zbioru skończonego (od jednej liczby całkowitej do drugiej), więc ilość takich zbiorów będzie co najwyżej taka, jaka jest ilość wszystkich podzbiorów tego zbioru, w którym pracujemy . Ale jest to zbiór skończony, więc ilość jego podzbioròw jest skończona. Dla innej pary liczb całkowitych powtarzamy konstrukcję, gdzie pierwszy element pary oznacza element najmniejszy rozważanych zbiorów, a drugi element pary oznacza element największy tych zbiorów. Otrzymujemy, że ta rodzina \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalną sumą (par liczb całkowitych jest przeliczalnie wiele) zbiorów skończonych, jest więc co najwyżej przeliczalna.

Ale ta rodzina jest też co najmniej przeliczalna, wystarczy dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in\NN}\) rozważyć zbiór \(\displaystyle{ A _{n}, }\) dany jako:

\(\displaystyle{ A_n=\left[ -n,n\right] =\left\{ m \in \ZZ: \ -n \le m \le n\right\}, }\)

I otrzymać przeliczalnie wiele zbiorów rodziny \(\displaystyle{ X.}\)

xislay pisze: ↑20 lis 2022, o 16:46 Oblicz moce zbiorów, gdy:
a) \(\displaystyle{ X =\left\{A : A \subseteq \mathbb{R} \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ X = \left\{A : A \subseteq \mathbb{Z} \right\}}\)
c) \(\displaystyle{ X = \left\{A : A \subseteq \mathbb{Q} \right\}}\)
W każdym zbiorze A ma element najmniejszy i największy.

To jest bardzo słaby sposób opisania tych zbiorów.

JK

A po co aż tak strasznie?

Podzbiorów `\RR` jest tyle samo, co podzbiorów odcinka `(-\pi/2,\pi/2)` - to wiemy dzięki funkcji tangens.
Z kolei podzbiorów odcinka `(-\pi/2,\pi/2)` jest z pewnością mniej niż podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych z kresami. A tych z kolei mniej niż wszystkich podzbiorów `\RR` i zamknęło się kółeczko.

c) robi sie tak samo, tylko zamiast tangensa bierze się funkcję \(\displaystyle{ g(x)=\begin{cases} \frac{1}{x+1} & x>0\\0&x=0\\ \frac{1}{x-1} & x<0\end{cases}}\), która przeprowadza wszystkie liczby wymierne różnowartościowo i na wszystkie wymierne z odcinka `(-1,1)`

Tyle, że wynik będzie inny

a4karo pisze: ↑20 lis 2022, o 20:04
Podzbiorów `\RR` jest tyle samo, co podzbiorów odcinka `(-\pi/2,\pi/2)` - to wiemy dzięki funkcji tangens.
Z kolei podzbiorów odcinka `(-\pi/2,\pi/2)` jest z pewnością mniej niż podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych z kresami. A tych z kolei mniej niż wszystkich podzbiorów `\RR` i zamknęło się kółeczko.

Co z tego można wywnioskować? Dopiero zaczynam się uczyć teorii mnogości i jeszcze niezbyt rozumiem co z tego wynika. Dzięki z góry za odpowiedź.

A spróbowałeś napisać jedną równość i trzy nierówności dla mocy zbiorów, o których pisałem?

Próbowałem, lecz nie jestem w stanie sobie wyobrazić czemu to działa

A znasz twierdzenie Cantora-Bernsteina?

JK