Matematyka.pl

Potrzebuje pomocy z zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie niepustym podzbiorem \(\displaystyle{ \RR}\) ograniczonym z góry i z dołu. Udowodnić:
\(\displaystyle{ \cup _{a \in A}a \in \RR }\)
Nie wiem jak się za to zabrać. Jak to w ogóle można rozpisać?

Zapis

Domcia47 pisze: ↑13 sty 2023, o 13:52 \(\displaystyle{ \cup _{a \in A}a \in \RR }\)

nie ma sensu, trudno zatem powiedzieć, na czym polega zadanie.

JK

Poprawiony zapis: \(\displaystyle{ \bigcup_{a \in A}^{}a \in \RR }\),
użyłam złego znaku sumy, przepraszam.

Dalej nie ma sensu

Domcia47 pisze: ↑16 sty 2023, o 11:22Poprawiony zapis: \(\displaystyle{ \bigcup_{a \in A}^{}a \in R }\),
użyłam złego znaku sumy, przepraszam.

Dokładnie, to dalej nie ma sensu. Sumować (w ten sposób) możesz zbiory, a skoro

Domcia47 pisze: ↑13 sty 2023, o 13:52 \(\displaystyle{ A}\) będzie niepustym podzbiorem \(\displaystyle{ \RR}\)

to elementami tego zbioru są liczby rzeczywiste (a nie zbiory).

Czy masz jakieś źródło z tym zadaniem, które możesz pokazać?

JK

Widzę, że zapomniałam jeszcze dopisać "Liczby rzeczywiste należy traktować jako odcinki początkowe zbioru liczb wymiernych." Czy to coś zmienia?

Jest to zbiór zadań przygotowany przez naszego wykładowcę i to już całe polecenie.

Domcia47 pisze: ↑16 sty 2023, o 12:28 Widzę, że zapomniałam jeszcze dopisać "Liczby rzeczywiste należy traktować jako odcinki początkowe zbioru liczb wymiernych." Czy to coś zmienia?

Zasadniczo zmienia, choć problem polega na tym, że nie jestem pewien, co ta uwaga ma oznaczać. Podejrzewam, że liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ a}\) mam utożsamiać ze zbiorem \(\displaystyle{ (-\infty,a)\cap\QQ.}\)

Badasz zatem sumę \(\displaystyle{ \bigcup_{a\in A}(-\infty,a)\cap\QQ.}\) Mamy

\(\displaystyle{ \bigcup_{a\in A}(-\infty,a)\cap\QQ=\left( \bigcup_{a\in A}(-\infty,a)\right) \cap\QQ= \left( -\infty,\sup A\right)\cap\QQ .}\)

Tę ostatnią równość trzeba uzasadnić.

JK

Sądzę, że jednak chodzi o coś innego. Zadanie pochodzi zapewne z podręcznika lub wykładu, gdzie konstruuje się liczby rzeczywiste jako odcinki początkowe zbioru liczb wymiernych, czyli podzbiory \(\displaystyle{ \varnothing \subsetneq X \subsetneq \QQ}\) o własności \(\displaystyle{ (\forall y \in \QQ)(\forall x \in X) \big( y \le x \implies y \in X \big)}\). Należy więc pokazać, że suma dowolnej niepustej, ograniczonej z góry (i z dołu, choć to zbędne założenie) rodziny odcinków początkowych jest odcinkiem początkowym, czyli własność znaną jako aksjomat ciągłości.

To zaś pokazuje się z definicji: niech \(\displaystyle{ A}\) będzie niepustą i ograniczoną z góry rodziną odcinków początkowych \(\displaystyle{ \QQ}\) oraz \(a^* = \bigcup A\). Do sprawdzenia są trzy własności:

(i) \(\displaystyle{ a^* \neq \varnothing}\),

(ii) \(\displaystyle{ a^* \neq \QQ}\),

(iii) \(\displaystyle{ (\forall y \in \QQ)(\forall x \in a^*) \big( y \le x \implies y \in a^* \big)}\).

Dasio11 pisze: ↑16 sty 2023, o 22:23
To zaś pokazuje się z definicji: niech \(\displaystyle{ A}\) będzie niepustą i ograniczoną z góry rodziną odcinków początkowych \(\displaystyle{ \QQ}\) oraz \(a^* = \bigcup A\). Do sprawdzenia są trzy własności:

(i) \(\displaystyle{ a^* \neq \varnothing}\),

(ii) \(\displaystyle{ a^* \neq \QQ}\),

(iii) \(\displaystyle{ (\forall y \in \QQ)(\forall x \in a^*) \big( y \le x \implies y \in a^* \big)}\).

aby pokazać punkt iii) powiedziano mi, że mogę twierdzić, że skoro mam do czynienia z rodziną odcinków początkowych to
\(\displaystyle{ \forall _{y} [(\exists _{x \in a^*} y \le x) \Rightarrow y \in a^*] }\),
ale potrzebuję to uzasadnić, jakieś wskazówki?
Z tego już umiem dojść do punktu iii).

Domcia47 pisze: ↑17 sty 2023, o 22:45\(\displaystyle{ \forall _{y} [(\exists _{x \in a^*} y \le x) \Rightarrow y \in a^*] }\),

To w zasadzie tautologiczne przeformułowanie warunku (iii).

Dowód oczywiście trzeba zacząć od ustalenia \(\displaystyle{ y \in \QQ}\) oraz \(\displaystyle{ x \in a^*}\) spełniających \(\displaystyle{ y \le x}\). Teraz należy skorzystać z definicji \(\displaystyle{ a^*}\) jako sumy zbiorów, a potem z faktu, że te zbiory to odcinki początkowe \(\displaystyle{ \QQ}\).

Dasio11 pisze: ↑17 sty 2023, o 23:02
Dowód oczywiście trzeba zacząć od ustalenia \(\displaystyle{ y \in \QQ}\) oraz \(\displaystyle{ x \in a^*}\) spełniających \(\displaystyle{ y \le x}\). Teraz należy skorzystać z definicji \(\displaystyle{ a^*}\) jako sumy zbiorów, a potem z faktu, że te zbiory to odcinki początkowe \(\displaystyle{ \QQ}\).

Czyli \(\displaystyle{ x \in a^* \Leftrightarrow \exists _{a \in A} x \in A}\), tylko czy teraz z tego bezpośrednio wyniknie, że \(\displaystyle{ y \in A}\)?
Późno już mam nadzieję że się nie pogubiłam w oznaczeniach.

Domcia47 pisze: ↑18 sty 2023, o 00:31Czyli \(\displaystyle{ x \in a^* \Leftrightarrow \exists _{a \in A} x \in A}\),

No nie, \(\displaystyle{ x \in a^* \Leftrightarrow \exists _{a \in A} x \in \red{a}.}\)

Domcia47 pisze: ↑18 sty 2023, o 00:31tylko czy teraz z tego bezpośrednio wyniknie, że \(\displaystyle{ y \in A}\)?
Późno już mam nadzieję że się nie pogubiłam w oznaczeniach.

Pogubiłaś się. Masz pokazać, że \(\displaystyle{ y\in a^*}\).

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑18 sty 2023, o 01:08
Pogubiłaś się. Masz pokazać, że \(\displaystyle{ y\in a^*}\).

Na kartce mam to zadanie na innych oznaczeniach, to dlatego

Czyli ma być weźmy dowolny y wymierny taki, że \(\displaystyle{ y \le x}\),
istnieje indeks taki, że \(\displaystyle{ x \in a }\) no i moim zdaniem, ponieważ to odciniki początkowe to mniejszy od niego \(\displaystyle{ y \in a}\) czyli też \(\displaystyle{ y \in a^*}\),
brakuje mi jednak formalnego zapisu i nie wiem jak się pozbyć tego istnieje i.

Domcia47 pisze: ↑18 sty 2023, o 09:50 Czyli ma być weźmy dowolny y wymierny taki, że \(\displaystyle{ y \le x}\),

Niezupełnie - przecież jeszcze nie masz \(\displaystyle{ x}\)-a.

Domcia47 pisze: ↑18 sty 2023, o 09:50istnieje indeks taki, że \(\displaystyle{ x \in a }\) no i moim zdaniem, ponieważ to odciniki początkowe to mniejszy od niego \(\displaystyle{ y \in a}\) czyli też \(\displaystyle{ y \in a^*}\),
brakuje mi jednak formalnego zapisu i nie wiem jak się pozbyć tego istnieje i.

Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ y\in\QQ}\) i \(\displaystyle{ x\in a^*}\) takie, że \(\displaystyle{ y\le x.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x\in\bigcup A}\), więc istnieje takie \(\displaystyle{ a\in A,}\) że \(\displaystyle{ x\in a.}\) Skoro \(\displaystyle{ a}\) jest odcinkiem początkowym \(\displaystyle{ \QQ}\), to z faktów, że \(\displaystyle{ y\in\QQ}\) i \(\displaystyle{ y\le x}\) wnioskujesz, że \(\displaystyle{ y\in a}\), czyli (bo \(\displaystyle{ a\in A}\)) masz \(\displaystyle{ y\in\bigcup A=a^*,}\) czego należało dowieść.

JK

edit: poprawka w ostatnim wzorze.

Dziękuję bardzo za pomoc,
U mnie jeszcze odcinek początkowy nie może mieć elementu największego, jak to pokazać w tym przypadku?