Matematyka.pl

Cześć, to mój pierwszy post na forum i nie znalazłem nigdzie takiego zadania.

Jaką moc ma zbiór wszystkich okręgów na płaszczyźnie Oxy o wymiernych promieniach?

Po pierwsze, to wydaje mi się, że dane są niepełne - dla wymiernych środków okręgów to jest to proste zadanie, natomiast nie bardzo wiem, jaka byłaby odpowiedź, gdyby środek okrągu miałby być wymierny.

Pozdrawiam.

Wymierny promień, czyli promień o wymiernej długości, tak?

Wskazówka: skorzystaj z twierdzenia Cantora-Berndsteina, które mówi, że jeśli \(\displaystyle{ A, B}\) są zbiorami, oraz \(\displaystyle{ |A| \le |B|}\) i \(\displaystyle{ |B| \le |A|}\), to wtedy \(\displaystyle{ |A| = |B|}\).

Niech \(\displaystyle{ A}\) - zbiór z zadania. Jeśli oznaczymy kulę o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) przez \(\displaystyle{ B(x,r)}\), wówczas

\(\displaystyle{ \{ B(x,1)\colon x\in\RR\}\subseteq A}\), a ponieważ \(\displaystyle{ |\{ B(x,1)\colon x\in\RR\}| = \mathfrak{c}}\), więc \(\displaystyle{ |A| \ge\mathfrak{c}}\).

Czy potrafisz pokazać oszacowanie odwrotne, tzn \(\displaystyle{ |A|\le\mathfrak{c}}\)?

Rozwiązanie alternatywne:

Niech \(\displaystyle{ F\colon \QQ\times\RR\to A}\) będzie dana wzorem \(\displaystyle{ F(q, x) = B(q,x)}\).

Zauważ, że \(\displaystyle{ F}\) jest bijekcją. Ponieważ \(\displaystyle{ |\QQ\times\RR| = \mathfrak{c}}\), więc również \(\displaystyle{ |A| = \mathfrak{c}}\).

Pozdrawiam

jutrvy pisze:Niech \(\displaystyle{ A}\) - zbiór z zadania. Jeśli oznaczymy kulę o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) przez \(\displaystyle{ B(x,r)}\), wówczas

\(\displaystyle{ \{ B(x,1)\colon x\in\RR\}\subseteq A}\),

Coś waść oznaczenia Ci się rozjechały. Według Ciebie \(\displaystyle{ B(1,1)}\) oznacza kulę na płaszczyźnie o środku w \(\displaystyle{ 1}\) (i promieniu \(\displaystyle{ 1}\)) - to raczej niemożliwe, bo środkami kul na płaszczyźnie są pary liczb...

A poza tym zajmujemy się okręgami a nie kulami.

JK

Dziękuję, za odpowiedź. A jak wygląda dowód na, że \(\displaystyle{ |\QQ\times\RR| = \mathfrak{c}}\)?
Jaka funkcja przekształacałaby ten iloczyn kartezjański w zbiór liczb rzeczywsitych?

EDIT

Czy taki dowód

\(\displaystyle{ (1 \times R)\sim(R \times R) \wedge (1 \times R)\sim(Q \times R) \Rightarrow (Q \times R) \sim (R \times R)}\)

jest wystarczający i poprawny? Dziękuję.

mhv pisze:Dziękuję, za odpowiedź.

Tak się składa, że odpowiedź jutrvy jest błędna.

mhv pisze:Czy taki dowód

\(\displaystyle{ (1 \times R)\sim(R \times R) \wedge (1 \times R)\sim(Q \times R) \Rightarrow (Q \times R) \sim (R \times R)}\)

jest wystarczający i poprawny? Dziękuję.

To nie jest dowód, tylko machanie rękami. Skorzystaj z tw. Cantora-Bernsteina.

JK

Jan Kraszewski pisze:

jutrvy pisze:Niech \(\displaystyle{ A}\) - zbiór z zadania. Jeśli oznaczymy kulę o środku w punkcie \(\displaystyle{ x}\) i promieniu \(\displaystyle{ r}\) przez \(\displaystyle{ B(x,r)}\), wówczas

\(\displaystyle{ \{ B(x,1)\colon x\in\RR\}\subseteq A}\),

Coś waść oznaczenia Ci się rozjechały. Według Ciebie \(\displaystyle{ B(1,1)}\) oznacza kulę na płaszczyźnie o środku w \(\displaystyle{ 1}\) (i promieniu \(\displaystyle{ 1}\)) - to raczej niemożliwe, bo środkami kul na płaszczyźnie są pary liczb...

A poza tym zajmujemy się okręgami a nie kulami.

JK

Mutatis mutandis... przepraszam, że się nie sparsowało.