Moc zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
keriver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 10 razy

Moc zbioru

Post autor: keriver »

Niech \(\displaystyle{ f((x, y))=\max \{|x|,|y|\}}\) będzie funkcją o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR^2}\). Na zbiorze \(\displaystyle{ \RR^2}\) określamy relację równoważności \(\displaystyle{ \sim}\) wzorem
\[((a, b) \sim(x, y)) \equiv(f(a, b)=f(x, y)).\]
Niech \(\displaystyle{ I=\mathbb{R}^2 /_\sim}\) będzie zbiorem wszystkich klas abstrakcji relacji \(\displaystyle{ \sim}\).
1. Wyznacz \(\displaystyle{ |I|}\).
2. Podaj przyklad prostego selektora rodziny I.
3. Wyznacz moc zbioru wszystkich selektorów rodziny I
Ostatnio zmieniony 23 sty 2023, o 23:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

Zacznij od narysowania sobie klas abstrakcji dwóch-trzech losowo wybranych punktów na płaszczyźnie. Powinieneś dużo zobaczyć.

JK
keriver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 10 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: keriver »

Faktycznie, są to kwadraty o środku w punkcie (0,0) więc prostym selektorem będzie ponownie dowolna półprosta o początku w tym punkcie(zrobiłbym rownolegla do osi Oy bądź Ox żeby mieć pewność że przecina każdy kwadrat tylko raz, lecz nie wydaję się to konieczne), jednakże mam problem z opisaniem przestrzeni ilorazowej.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

keriver pisze: 24 sty 2023, o 09:58Faktycznie, są to kwadraty o środku w punkcie (0,0) więc prostym selektorem będzie ponownie dowolna półprosta o początku w tym punkcie
Zgadza się.
keriver pisze: 24 sty 2023, o 09:58 jednakże mam problem z opisaniem przestrzeni ilorazowej.
Już ją w zasadzie opisałeś: to zbiór wszystkich tych kwadratów plus singleton punktu \(\displaystyle{ (0,0).}\) Do rozwiązania zadania więcej Ci nie trzeba, bo jak masz policzyć \(\displaystyle{ |I|,}\) to z góry możesz oszacować przez moc ilorazowanej przestrzeni (bo zawsze \(\displaystyle{ \left| X/_\sim\right|\le|X| }\), a z dołu przez moc selektora \(\displaystyle{ S}\) (bo funkcja \(\displaystyle{ f:S\to\RR^2/_\sim, f((a,b))=[(a,b)]_\sim}\) jest injekcją).

A jeśli chodzi o c), to wystarczy skorzystać z definicji selektora żeby zobaczyć, że będzie ich więcej niż "prostych" selektorów (pozostaje to tylko sformalizować - ale tutaj wystarczy wybrać dwa proste selektory, a potem "wyprodukować" dużo innych selektorów w podobny sposób, jak w innym wątku produkowałem dużo ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ \pi}\)), a oszacowanie z góry masz przez \(\displaystyle{ \left| P(\RR)\right| }\).

JK
keriver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 10 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: keriver »

Jan Kraszewski pisze: (pozostaje to tylko sformalizować - ale tutaj wystarczy wybrać dwa proste selektory, a potem "wyprodukować" dużo innych selektorów w podobny sposób, jak w innym wątku produkowałem dużo ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ \pi}\))
Niestety nie bardzo potrafię wykonać ten krok nawet patrząc na analogiczny przykład z ciągami zbieżnymi do pi (rozumiem tamten przykład ale zrobienie tego samodzielnie jest chyba niestety poza moje możliwości)
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: Dasio11 »

Jan Kraszewski pisze: 24 sty 2023, o 10:22(bo funkcja \(\displaystyle{ f:S\to\RR^2/_{\sim}, f((a,b))=[(a,b)]_\sim}\) jest injekcją).
A nawet bijekcją? ;>
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: a4karo »

Weż sobie dwie półproste: np `y=0` i `y=x`. Na każdej z nich możesz wybrać selektor.
Ale możesz zrobić tak, że kawałek selektora wybierzesz na jednej półprostej, a kawałek na drugiej. Na ile sposobów możesz to zrobić?
keriver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 10 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: keriver »

a4karo pisze: 24 sty 2023, o 15:08 Na ile sposobów możesz to zrobić?
\(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\)? Bo mam dwie półproste o mocy continuum i mogę dowolnie wybierać kawalki z tych prostych. Jednak nie wiem jak mógłby wyglądać zapis tak bym został za niego dobrze oceniony na egzaminie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: a4karo »

Na przykład tak:
Dla `A\subset\RR_+` \(\displaystyle{ S_A=\{0,0\} \cup \bigcup_{x\in A} \{(x,0)\}\cup \bigcup_{x\not\in A} \{(x,x)\}}\)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

Raczej \(\displaystyle{ S_A=\{\red{(}0,0\red{)}\} \cup \bigcup_{x\in A} \{(x,0)\}\cup \bigcup_{x\not\in A} \{(x,x)\}}\), czy też nieco prościej

\(\displaystyle{ S_A=\{(0,0)\} \cup \{(x,0):x\in A\}\cup \{(x,x):x\in\RR_+ \setminus A\}.}\)
keriver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19
Podziękował: 10 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: keriver »

Mam problem z interpretacją powyższego zapisu zbioru wszystkich selektorów.
Czy argumentacja do 3 mogłaby wyglądać tak?
3. Selektor \(\displaystyle{ \RR^2/_{\sim}}\) to dowolny zbiór \(\displaystyle{ S\in \RR^2}\) taki, że \(\displaystyle{ (\forall X \in \RR^2/_{\sim})(\left|X \cap S \right| = 1 ).}\) Selektor więc musi mieć punkt wspólny z każdą klasą abstrakcji. Istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) z czego każda z nich jest kwadratem równolicznym z \(\displaystyle{ \RR}\) (plus punkt (0,0)) więc ich moc jest równa \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). W związku z tym istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}}}\) selektorów. \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}}=(2^{\aleph_{0}})^\mathfrak{c}=2^{\mathfrak{c} \cdot \aleph_0}=2^{\mathfrak{c}}}\)
Ostatnio zmieniony 2 lut 2023, o 22:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: a4karo »

Dla mnie argumentacja ok, choć Jakub G by pewnie nie uznał tego rozwiązania :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

Myśl jest słuszna, ale chętnie zobaczyłbym coś dokładniejszego, bo to jednak tylko opowiadanie, a nie dowód.

JK

PS No i klasy abstrakcji nie są kwadratami, tylko brzegami kwadratów...

edit: No tak, sam zgodziłem się, że to kwadraty, można zatem powyższe uznać za autokorektę :)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: a4karo »

Ułatwię (a może wcale nie). Pokaż dwa fakty:

1) funkcja \(\displaystyle{ h(\varphi)=\left(\frac{\cos\varphi}{\max(|\sin\varphi|,|\cos\varphi|)},\frac{\sin\varphi}{\max(|\sin\varphi|,|\cos\varphi|)}\right)}\) jest bijekcją między odcinkiem `[0,2\pi)` i brzegiem kwadratu o przekątnej `(-1,-1)-(1,1)`
2) niech `\Lambda` oznacza zbiór funkcji z `[0,\infty)` w zbiór `[0,2\pi)`, a `S` oznacza zbiór selektorów relacji \(\displaystyle{ \sim}\),
to odwzorowanie
\(\displaystyle{ \Lambda\ni\lambda=\{ xh(\lambda(x)):x\ge 0\}\in S}\)
jest bijekcją między `\Lambda` i `S`
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Moc zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

Ale po co od razu bijekcja...
keriver pisze: 2 lut 2023, o 19:06 Mam problem z interpretacją powyższego zapisu zbioru wszystkich selektorów.
To nie jest zbiór wszystkich selektorów.

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) będzie zbiorem selektorów. Wtedy wzór

\(\displaystyle{ S_A=\{(0,0)\} \cup \{(x,0):x\in A\}\cup \{(x,x):x\in\RR_+ \setminus A\}.}\)

opisuje tak naprawdę injekcję \(\displaystyle{ \Phi:P(\RR_+)\to\mathcal{S}, \Phi(A)=S_A,}\) która daje Ci oszacowanie z dołu. Oszacowanie z góry jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ \mathcal{S} \subseteq P(\RR)}\) i Cantor-Bernstein.

JK
ODPOWIEDZ