Moc zbioru
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 10 razy
Moc zbioru
Niech \(\displaystyle{ f((x, y))=\max \{|x|,|y|\}}\) będzie funkcją o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR^2}\). Na zbiorze \(\displaystyle{ \RR^2}\) określamy relację równoważności \(\displaystyle{ \sim}\) wzorem
\[((a, b) \sim(x, y)) \equiv(f(a, b)=f(x, y)).\]
Niech \(\displaystyle{ I=\mathbb{R}^2 /_\sim}\) będzie zbiorem wszystkich klas abstrakcji relacji \(\displaystyle{ \sim}\).
1. Wyznacz \(\displaystyle{ |I|}\).
2. Podaj przyklad prostego selektora rodziny I.
3. Wyznacz moc zbioru wszystkich selektorów rodziny I
\[((a, b) \sim(x, y)) \equiv(f(a, b)=f(x, y)).\]
Niech \(\displaystyle{ I=\mathbb{R}^2 /_\sim}\) będzie zbiorem wszystkich klas abstrakcji relacji \(\displaystyle{ \sim}\).
1. Wyznacz \(\displaystyle{ |I|}\).
2. Podaj przyklad prostego selektora rodziny I.
3. Wyznacz moc zbioru wszystkich selektorów rodziny I
Ostatnio zmieniony 23 sty 2023, o 23:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
Zacznij od narysowania sobie klas abstrakcji dwóch-trzech losowo wybranych punktów na płaszczyźnie. Powinieneś dużo zobaczyć.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 10 razy
Re: Moc zbioru
Faktycznie, są to kwadraty o środku w punkcie (0,0) więc prostym selektorem będzie ponownie dowolna półprosta o początku w tym punkcie(zrobiłbym rownolegla do osi Oy bądź Ox żeby mieć pewność że przecina każdy kwadrat tylko raz, lecz nie wydaję się to konieczne), jednakże mam problem z opisaniem przestrzeni ilorazowej.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
Zgadza się.
Już ją w zasadzie opisałeś: to zbiór wszystkich tych kwadratów plus singleton punktu \(\displaystyle{ (0,0).}\) Do rozwiązania zadania więcej Ci nie trzeba, bo jak masz policzyć \(\displaystyle{ |I|,}\) to z góry możesz oszacować przez moc ilorazowanej przestrzeni (bo zawsze \(\displaystyle{ \left| X/_\sim\right|\le|X| }\), a z dołu przez moc selektora \(\displaystyle{ S}\) (bo funkcja \(\displaystyle{ f:S\to\RR^2/_\sim, f((a,b))=[(a,b)]_\sim}\) jest injekcją).
A jeśli chodzi o c), to wystarczy skorzystać z definicji selektora żeby zobaczyć, że będzie ich więcej niż "prostych" selektorów (pozostaje to tylko sformalizować - ale tutaj wystarczy wybrać dwa proste selektory, a potem "wyprodukować" dużo innych selektorów w podobny sposób, jak w innym wątku produkowałem dużo ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ \pi}\)), a oszacowanie z góry masz przez \(\displaystyle{ \left| P(\RR)\right| }\).
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 10 razy
Re: Moc zbioru
Niestety nie bardzo potrafię wykonać ten krok nawet patrząc na analogiczny przykład z ciągami zbieżnymi do pi (rozumiem tamten przykład ale zrobienie tego samodzielnie jest chyba niestety poza moje możliwości)Jan Kraszewski pisze: ↑ (pozostaje to tylko sformalizować - ale tutaj wystarczy wybrać dwa proste selektory, a potem "wyprodukować" dużo innych selektorów w podobny sposób, jak w innym wątku produkowałem dużo ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ \pi}\))
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Moc zbioru
A nawet bijekcją? ;>Jan Kraszewski pisze: ↑24 sty 2023, o 10:22(bo funkcja \(\displaystyle{ f:S\to\RR^2/_{\sim}, f((a,b))=[(a,b)]_\sim}\) jest injekcją).
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Moc zbioru
Weż sobie dwie półproste: np `y=0` i `y=x`. Na każdej z nich możesz wybrać selektor.
Ale możesz zrobić tak, że kawałek selektora wybierzesz na jednej półprostej, a kawałek na drugiej. Na ile sposobów możesz to zrobić?
Ale możesz zrobić tak, że kawałek selektora wybierzesz na jednej półprostej, a kawałek na drugiej. Na ile sposobów możesz to zrobić?
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 10 razy
Re: Moc zbioru
\(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\)? Bo mam dwie półproste o mocy continuum i mogę dowolnie wybierać kawalki z tych prostych. Jednak nie wiem jak mógłby wyglądać zapis tak bym został za niego dobrze oceniony na egzaminie.
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Moc zbioru
Na przykład tak:
Dla `A\subset\RR_+` \(\displaystyle{ S_A=\{0,0\} \cup \bigcup_{x\in A} \{(x,0)\}\cup \bigcup_{x\not\in A} \{(x,x)\}}\)
Dla `A\subset\RR_+` \(\displaystyle{ S_A=\{0,0\} \cup \bigcup_{x\in A} \{(x,0)\}\cup \bigcup_{x\not\in A} \{(x,x)\}}\)
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
Raczej \(\displaystyle{ S_A=\{\red{(}0,0\red{)}\} \cup \bigcup_{x\in A} \{(x,0)\}\cup \bigcup_{x\not\in A} \{(x,x)\}}\), czy też nieco prościej
\(\displaystyle{ S_A=\{(0,0)\} \cup \{(x,0):x\in A\}\cup \{(x,x):x\in\RR_+ \setminus A\}.}\)
\(\displaystyle{ S_A=\{(0,0)\} \cup \{(x,0):x\in A\}\cup \{(x,x):x\in\RR_+ \setminus A\}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 21 sty 2023, o 00:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Podziękował: 10 razy
Re: Moc zbioru
Mam problem z interpretacją powyższego zapisu zbioru wszystkich selektorów.
Czy argumentacja do 3 mogłaby wyglądać tak?
3. Selektor \(\displaystyle{ \RR^2/_{\sim}}\) to dowolny zbiór \(\displaystyle{ S\in \RR^2}\) taki, że \(\displaystyle{ (\forall X \in \RR^2/_{\sim})(\left|X \cap S \right| = 1 ).}\) Selektor więc musi mieć punkt wspólny z każdą klasą abstrakcji. Istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) z czego każda z nich jest kwadratem równolicznym z \(\displaystyle{ \RR}\) (plus punkt (0,0)) więc ich moc jest równa \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). W związku z tym istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}}}\) selektorów. \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}}=(2^{\aleph_{0}})^\mathfrak{c}=2^{\mathfrak{c} \cdot \aleph_0}=2^{\mathfrak{c}}}\)
Czy argumentacja do 3 mogłaby wyglądać tak?
3. Selektor \(\displaystyle{ \RR^2/_{\sim}}\) to dowolny zbiór \(\displaystyle{ S\in \RR^2}\) taki, że \(\displaystyle{ (\forall X \in \RR^2/_{\sim})(\left|X \cap S \right| = 1 ).}\) Selektor więc musi mieć punkt wspólny z każdą klasą abstrakcji. Istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) z czego każda z nich jest kwadratem równolicznym z \(\displaystyle{ \RR}\) (plus punkt (0,0)) więc ich moc jest równa \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). W związku z tym istnieje \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}}}\) selektorów. \(\displaystyle{ \mathfrak{c}^{\mathfrak{c}}=(2^{\aleph_{0}})^\mathfrak{c}=2^{\mathfrak{c} \cdot \aleph_0}=2^{\mathfrak{c}}}\)
Ostatnio zmieniony 2 lut 2023, o 22:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
Myśl jest słuszna, ale chętnie zobaczyłbym coś dokładniejszego, bo to jednak tylko opowiadanie, a nie dowód.
JK
PS No i klasy abstrakcji nie są kwadratami, tylko brzegami kwadratów...
edit: No tak, sam zgodziłem się, że to kwadraty, można zatem powyższe uznać za autokorektę
JK
PS No i klasy abstrakcji nie są kwadratami, tylko brzegami kwadratów...
edit: No tak, sam zgodziłem się, że to kwadraty, można zatem powyższe uznać za autokorektę
-
- Użytkownik
- Posty: 22171
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Moc zbioru
Ułatwię (a może wcale nie). Pokaż dwa fakty:
1) funkcja \(\displaystyle{ h(\varphi)=\left(\frac{\cos\varphi}{\max(|\sin\varphi|,|\cos\varphi|)},\frac{\sin\varphi}{\max(|\sin\varphi|,|\cos\varphi|)}\right)}\) jest bijekcją między odcinkiem `[0,2\pi)` i brzegiem kwadratu o przekątnej `(-1,-1)-(1,1)`
2) niech `\Lambda` oznacza zbiór funkcji z `[0,\infty)` w zbiór `[0,2\pi)`, a `S` oznacza zbiór selektorów relacji \(\displaystyle{ \sim}\),
to odwzorowanie
\(\displaystyle{ \Lambda\ni\lambda=\{ xh(\lambda(x)):x\ge 0\}\in S}\)
jest bijekcją między `\Lambda` i `S`
1) funkcja \(\displaystyle{ h(\varphi)=\left(\frac{\cos\varphi}{\max(|\sin\varphi|,|\cos\varphi|)},\frac{\sin\varphi}{\max(|\sin\varphi|,|\cos\varphi|)}\right)}\) jest bijekcją między odcinkiem `[0,2\pi)` i brzegiem kwadratu o przekątnej `(-1,-1)-(1,1)`
2) niech `\Lambda` oznacza zbiór funkcji z `[0,\infty)` w zbiór `[0,2\pi)`, a `S` oznacza zbiór selektorów relacji \(\displaystyle{ \sim}\),
to odwzorowanie
\(\displaystyle{ \Lambda\ni\lambda=\{ xh(\lambda(x)):x\ge 0\}\in S}\)
jest bijekcją między `\Lambda` i `S`
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Moc zbioru
Ale po co od razu bijekcja...
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) będzie zbiorem selektorów. Wtedy wzór
\(\displaystyle{ S_A=\{(0,0)\} \cup \{(x,0):x\in A\}\cup \{(x,x):x\in\RR_+ \setminus A\}.}\)
opisuje tak naprawdę injekcję \(\displaystyle{ \Phi:P(\RR_+)\to\mathcal{S}, \Phi(A)=S_A,}\) która daje Ci oszacowanie z dołu. Oszacowanie z góry jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ \mathcal{S} \subseteq P(\RR)}\) i Cantor-Bernstein.
JK
To nie jest zbiór wszystkich selektorów.
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) będzie zbiorem selektorów. Wtedy wzór
\(\displaystyle{ S_A=\{(0,0)\} \cup \{(x,0):x\in A\}\cup \{(x,x):x\in\RR_+ \setminus A\}.}\)
opisuje tak naprawdę injekcję \(\displaystyle{ \Phi:P(\RR_+)\to\mathcal{S}, \Phi(A)=S_A,}\) która daje Ci oszacowanie z dołu. Oszacowanie z góry jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ \mathcal{S} \subseteq P(\RR)}\) i Cantor-Bernstein.
JK