Moc zbiorów
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 23 lis 2023, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: kozia wulka
- Podziękował: 18 razy
Moc zbiorów
Obliczyć moce zbiorów:
(a) \(\displaystyle{ X = \{A : A \subseteq \RR\text{ i }A\text{ ma element najmniejszy i największy}\}}\);
(b) \(\displaystyle{ Y = \{A : A \subseteq \ZZ\text{ i }A\text{ ma element najmniejszy i największy}\}}\);
(c) \(\displaystyle{ Z = \{A : A \subseteq \QQ\text{ i }A\text{ ma element najmniejszy i największy}\}}\).
(a) \(\displaystyle{ X = \{A : A \subseteq \RR\text{ i }A\text{ ma element najmniejszy i największy}\}}\);
(b) \(\displaystyle{ Y = \{A : A \subseteq \ZZ\text{ i }A\text{ ma element najmniejszy i największy}\}}\);
(c) \(\displaystyle{ Z = \{A : A \subseteq \QQ\text{ i }A\text{ ma element najmniejszy i największy}\}}\).
Ostatnio zmieniony 23 lis 2023, o 22:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Moc zbiorów
Hint do \(\displaystyle{ (a)}\).
\(\displaystyle{
\left\{ -2\right\} \cup \left( \text{ cokolwiek } \cap (-1,1)\right) \cup \left\{ 2\right\} \subseteq X \subseteq \mathcal{P}(\RR).
}\)
\left\{ -2\right\} \cup \left( \text{ cokolwiek } \cap (-1,1)\right) \cup \left\{ 2\right\} \subseteq X \subseteq \mathcal{P}(\RR).
}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 23 lis 2023, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: kozia wulka
- Podziękował: 18 razy
Re: Moc zbiorów
Cokolwiek w sensie że dowolny zbiór z przedziału \(\displaystyle{ -2, 2}\), żeby zostały zachowane największy i najmniejszy element, czy ogólnie? Chociaż chyba nie robi to różnicy, bo nawet jeśli dowolny zbiór z przedziału \(\displaystyle{ (-2, 2)}\) to i tak \(\displaystyle{ P(-2, 2)}\) ma moc \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\), ponieważ \(\displaystyle{ (-2, 2)}\) ma moc \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Zatem moc a) \(\displaystyle{ = 2^\mathfrak{c}.}\) Dobrze myślę?
Natomiast do b) i c) czy chodzi po prostu o zbiory potęgowe \(\displaystyle{ \ZZ}\) i \(\displaystyle{ \QQ}\)? W takim razie w obu \(\displaystyle{ 2^\NN}\) czyli \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)?
Dodano po 1 minucie 2 sekundach:
Chociaż w c) musiałyby to być zbiory domknięte. Czy można do tego zastosować taki sam sposób, jak do a)?
Natomiast do b) i c) czy chodzi po prostu o zbiory potęgowe \(\displaystyle{ \ZZ}\) i \(\displaystyle{ \QQ}\)? W takim razie w obu \(\displaystyle{ 2^\NN}\) czyli \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)?
Dodano po 1 minucie 2 sekundach:
Chociaż w c) musiałyby to być zbiory domknięte. Czy można do tego zastosować taki sam sposób, jak do a)?
Ostatnio zmieniony 23 lis 2023, o 22:32 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Użytkownik
- Posty: 1419
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 84 razy
Re: Moc zbiorów
Odnośnie podpunktu b), to zauważ, że takie podzbiory zbioru liczb całkowitych są to ograniczone zbiory, a więc zbiory skończone.
Pozostaje Ci zatem zbadać ile zbiór liczb całkowitych może mieć skończonych podzbiorów.
A takich podzbiorów jest co najwyżej tyle, ile jest ciągòw skończonych o elementach całkowitych, czyli przeliczalnie wiele. Wobec czego takich podzbiorów nie może być więcej niż przeliczalnie wiele. Z drugiej zaś strony, dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) możesz rozważyć zbiòr \(\displaystyle{ A _{n}= \left[ -n, n\right] \cap \ZZ}\) mający element najmniejszy (\(\displaystyle{ -n}\)) i mający element największy (\(\displaystyle{ n}\)), a zatem \(\displaystyle{ A _{n} \in Y, }\) otrzymując przeliczalnie wiele takich zbiorów.\(\displaystyle{ \square}\)
Pozostaje Ci zatem zbadać ile zbiór liczb całkowitych może mieć skończonych podzbiorów.
A takich podzbiorów jest co najwyżej tyle, ile jest ciągòw skończonych o elementach całkowitych, czyli przeliczalnie wiele. Wobec czego takich podzbiorów nie może być więcej niż przeliczalnie wiele. Z drugiej zaś strony, dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) możesz rozważyć zbiòr \(\displaystyle{ A _{n}= \left[ -n, n\right] \cap \ZZ}\) mający element najmniejszy (\(\displaystyle{ -n}\)) i mający element największy (\(\displaystyle{ n}\)), a zatem \(\displaystyle{ A _{n} \in Y, }\) otrzymując przeliczalnie wiele takich zbiorów.\(\displaystyle{ \square}\)
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5216 razy
Re: Moc zbiorów
Na tym forum obowiązuje używanie \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-a do zapisywania wyrażeń matematycznych: latex.htm.
Jak weźmiesz dowolny podzbiór przedziału \(\displaystyle{ (-2,2)}\), to on nie musi mieć elementu największego i najmniejszego. No i gdzieś tam jeszcze pałęta się tw. Cantora -Bernsteina.
JK
Moc się zgadza, ale uzasadnienie nie. Przeczytaj uważnie, co napisał Janusz Tracz (choć on też napisał to z błędem formalnym, mimo dobrych intencji...).Awdsfsaf6 pisze: ↑23 lis 2023, o 22:23 Cokolwiek w sensie że dowolny zbiór z przedziału \(\displaystyle{ -2, 2}\), żeby zostały zachowane największy i najmniejszy element, czy ogólnie? Chociaż chyba nie robi to różnicy, bo nawet jeśli dowolny zbiór z przedziału \(\displaystyle{ (-2, 2)}\) to i tak \(\displaystyle{ P(-2, 2)}\) ma moc \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\), ponieważ \(\displaystyle{ (-2, 2)}\) ma moc \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Zatem moc a) \(\displaystyle{ = 2^\mathfrak{c}.}\) Dobrze myślę?
Jak weźmiesz dowolny podzbiór przedziału \(\displaystyle{ (-2,2)}\), to on nie musi mieć elementu największego i najmniejszego. No i gdzieś tam jeszcze pałęta się tw. Cantora -Bernsteina.
To są tylko ograniczenia górne możliwej mocy zbioru, a to zdecydowanie za mało.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 23 lis 2023, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: kozia wulka
- Podziękował: 18 razy
Re: Moc zbiorów
Może trochę głupie pytanie, ale nie bardzo rozumiem dlaczego nie wszystkie podzbiory zbioru potęgowego liczb całkowitych są skończoneJakub Gurak pisze: ↑23 lis 2023, o 22:32 Odnośnie podpunktu b), to zauważ, że takie podzbiory zbioru liczb całkowitych są to ograniczone zbiory, a więc zbiory skończone.
Pozostaje Ci zatem zbadać ile zbiór liczb całkowitych może mieć skończonych podzbiorów.
A takich podzbiorów jest co najwyżej tyle, ile jest ciągòw skończonych o elementach całkowitych, czyli przeliczalnie wiele. Wobec czego takich podzbiorów nie może być więcej niż przeliczalnie wiele. Z drugiej zaś strony, dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) możesz rozważyć zbiòr \(\displaystyle{ A _{n}= \left[ -n, n\right] \cap \ZZ}\) mający element najmniejszy (\(\displaystyle{ -n}\)) i mający element największy (\(\displaystyle{ n}\)), a zatem \(\displaystyle{ A _{n} \in Y, }\) otrzymując przeliczalnie wiele takich zbiorów.\(\displaystyle{ \square}\)
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 23 lis 2023, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: kozia wulka
- Podziękował: 18 razy
Re: Moc zbiorów
Chodziło mi o to, żeby dobrać dowolny podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \left(-2, 2\right)}\) do \(\displaystyle{ \left\{-2\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{2\right\}}\), żeby \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\) były wtedy elementami najmniejszym i największym. Przepraszam, że nie używałem lateksa szefie, ale jestem świeży.Jan Kraszewski pisze: ↑23 lis 2023, o 22:39 Na tym forum obowiązuje używanie \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-a do zapisywania wyrażeń matematycznych: latex.htm.
Moc się zgadza, ale uzasadnienie nie. Przeczytaj uważnie, co napisał Janusz Tracz (choć on też napisał to z błędem formalnym, mimo dobrych intencji...).Awdsfsaf6 pisze: ↑23 lis 2023, o 22:23 Cokolwiek w sensie że dowolny zbiór z przedziału \(\displaystyle{ -2, 2}\), żeby zostały zachowane największy i najmniejszy element, czy ogólnie? Chociaż chyba nie robi to różnicy, bo nawet jeśli dowolny zbiór z przedziału \(\displaystyle{ (-2, 2)}\) to i tak \(\displaystyle{ P(-2, 2)}\) ma moc \(\displaystyle{ 2^\mathfrak{c}}\), ponieważ \(\displaystyle{ (-2, 2)}\) ma moc \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Zatem moc a) \(\displaystyle{ = 2^\mathfrak{c}.}\) Dobrze myślę?
Jak weźmiesz dowolny podzbiór przedziału \(\displaystyle{ (-2,2)}\), to on nie musi mieć elementu największego i najmniejszego. No i gdzieś tam jeszcze pałęta się tw. Cantora -Bernsteina.
To są tylko ograniczenia górne możliwej mocy zbioru, a to zdecydowanie za mało.
JK
Ostatnio zmieniony 23 lis 2023, o 22:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Brak tagów.
Powód: Brak tagów.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4090
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Moc zbiorów
Btw w \(\displaystyle{ (c)}\) działa podobny argument co w \(\displaystyle{ (a)}\). W sumie identyczny.
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5216 razy
Re: Moc zbiorów
Nie jest nawet jasne, czy pytasz naprawdę o to, o co pytasz... Zbiór potęgowy zbioru liczb całkowitych ma mnóstwo podzbiorów, mogą one być skończone, przeliczalne bądź nieprzeliczalne (sam zbiór potęgowy jest swoim własnym podzbiorem mocy continuum), ale Twoje pytanie zapewne dotyczy czego innego - może elementów zbioru potęgowego zbioru liczb całkowitych, czyli podzbiorów zbioru liczb całkowitych? No ale te też mogą być nieskończone, np. cały zbiór liczb całkowitych, zbiór liczb naturalnych itp. Ale to też nie ma związku z zadaniem...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 23 lis 2023, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: kozia wulka
- Podziękował: 18 razy
Re: Moc zbiorów
Czy wtedy uzasadnienie ma sens?Awdsfsaf6 pisze: ↑23 lis 2023, o 22:43Chodziło mi o to, żeby dobrać dowolny podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \left(-2, 2\right)}\) do \(\displaystyle{ \left\{-2\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{2\right\}}\), żeby \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\) były wtedy elementami najmniejszym i największym. Przepraszam, że nie używałem lateksa szefie, ale jestem świeży.
Ostatnio zmieniony 23 lis 2023, o 22:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie cytuj całego posta, który jest tuż wyżej.
Powód: Nie cytuj całego posta, który jest tuż wyżej.
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5216 razy
Re: Moc zbiorów
Awdsfsaf6 pisze: ↑23 lis 2023, o 22:43 Chodziło mi o to, żeby dobrać dowolny podzbiór zbioru \(\displaystyle{ \left(-2, 2\right)}\) do \(\displaystyle{ \left\{-2\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{2\right\}}\), żeby \(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\) były wtedy elementami najmniejszym i największym.
Też można, ale trzeba to poprawnie zapisać i uzasadnić (np. rozumiem, o co Ci chodzi powyżej, ale wygląda to średnio...). Dla mnie sposób Janusza jest ciut wygodniejszy.
I nie cytuj całych postów, tylko odpowiednie fragmenty.
To nie jest "lateks", tylko "latech". Zalinkowałem Ci instrukcję, to się ucz. Zacznij od używania tagów
[latex][/latex]
, bo bez tego to nie działa.JK
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 23 lis 2023, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 69
- Lokalizacja: kozia wulka
- Podziękował: 18 razy
Re: Moc zbiorów
Właśnie wydaje mi się, że robię to sposobem Pana Janusza, albo przynajmniej się na nim wzoruję.Jan Kraszewski pisze: ↑23 lis 2023, o 22:52
Też można, ale trzeba to poprawnie zapisać i uzasadnić (np. rozumiem, o co Ci chodzi powyżej, ale wygląda to średnio...). Dla mnie sposób Janusza jest ciut wygodniejszy.
Tak jest szefi
-
- Administrator
- Posty: 34393
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5216 razy
Re: Moc zbiorów
Niewykluczone, ale pomysł to jedno, a formalizacja - drugie. Jak chcesz udowodnić, że \(\displaystyle{ |X|=2^\mathfrak{c}}\), to musisz przedstawić odpowiednie oszacowania i skorzystać z tw. Cantora-Bernsteina. Oszacowanie z góry jest proste, a z dołu powinno być porządnie opisane i uzasadnione.
JK