zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest mocy continuum, czy to oznacza, że \(\displaystyle{ \mathbb{R \times R}}\) tez ma moc continuum ? jesli tak to prosze o jakis dowod =]
bede bardzo bardzo wdzieczna za pomoc, z gory dziekuje =]
moc RxR
-
- Administrator
- Posty: 34541
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
moc RxR
Tak, \(\displaystyle{ \mathbb{R}\times\mathbb{R}}\) też jest mocy continuum. Żaden z dowodów tego faktu nie jest krótki (przynajmniej ja takiego nie znam), dlatego prościej będzie, jak poszukasz go w standardowej literaturze.
JK
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 122
- Rejestracja: 25 lut 2007, o 14:37
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Busko-Zdrój/Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 17 razy
moc RxR
a mnie się wydaje, że najkrótszy i najładniejszy dowód tego to skorzystanie z faktu, że: \(\displaystyle{ |R|=|\lbrace0,1\rbrace^N|=|\lbrace0,1\rbrace^{N\backslash P}|=|\lbrace0,1\rbrace^P|}\).
N - naturalne, P - parzyste:)
następnie wiemy przy założeniach \(\displaystyle{ B \cap C=\emptyset}\) że \(\displaystyle{ A^B \times A^C \sim A^{B \cup C}}\).
edit:
tak się teraz zastanawiam skąd znam ten dowód... a to nasz ulubiony wmsowski pdf: "Wstęp do matematyki" J.Kraszewski...
<zawstydzona> aż mi się głupio teraz zrobiło )
ale pozdrawiam serdecznie:)
N - naturalne, P - parzyste:)
następnie wiemy przy założeniach \(\displaystyle{ B \cap C=\emptyset}\) że \(\displaystyle{ A^B \times A^C \sim A^{B \cup C}}\).
edit:
tak się teraz zastanawiam skąd znam ten dowód... a to nasz ulubiony wmsowski pdf: "Wstęp do matematyki" J.Kraszewski...
<zawstydzona> aż mi się głupio teraz zrobiło )
ale pozdrawiam serdecznie:)
-
- Administrator
- Posty: 34541
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
moc RxR
No tak się składa, że znam ten dowód...
Tylko, że jest on poprzedzony dwoma nie całkiem trywialnymi lematami, które należałoby dołączyć do dowodu, by był on kompletny (+ dowód, że zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) jest mocy continuum). I wtedy przestaje on być na tyle krótki, by chciało mi się go wklepywać...
JK
Tylko, że jest on poprzedzony dwoma nie całkiem trywialnymi lematami, które należałoby dołączyć do dowodu, by był on kompletny (+ dowód, że zbiór \(\displaystyle{ \{0,1\}^{\mathbb{N}}}\) jest mocy continuum). I wtedy przestaje on być na tyle krótki, by chciało mi się go wklepywać...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 25 kwie 2005, o 18:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 7 razy
moc RxR
W "Dowodach z księgi" jest (o ile pamiętam) coś na temat. Jest tam chyba pokazane, że \(\displaystyle{ (0,1)\sim (0,1)\times (0,1)}\) i jest to zrobione przez take "zlepianie" (i "rozrywanie" odpowiednio) elementów. Czyli np. jeśli mamy \(\displaystyle{ 0.123055063302110\ldots\in (0,1)}\) to przypisujemy mu element \(\displaystyle{ (0.12306330\ldots,0.5502110\ldots)\in (0,1)\times(0,1)}\). Patrzymy więc po prostu gdzie leżą zera w rozwinięciu i na podstawie tego przekształcamy jedno na drugie wstawiając fragmenty "na przemian". Nie wiem, czy dokładnie tak to było, ale wygląda przekonująco, choć zapisanie tej bijekcji formalnie może być uciążliwe. No i pozostawałoby do pokazania, że \(\displaystyle{ (0,1)\times(0,1)\sim \mathbb{R}\times\mathbb{R}}\).