Wykazałem wczoraj, że jeśli mamy zbiór, oraz jeśli mamy przeliczalną rodzinę jego rozłącznych podzbiorów liniowo uporządkowanych typu półprostej liczb rzeczywistych niedodatnich, to ich malejąca suma porządkowa jest również typu półprostej liczb niedodatnich. Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.
Przypomnijmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, i jeśli mamy przeliczalną (równoliczną ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN}\)) rodzinę jego podzbiorów \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _n\right) _{n \in \NN}}\) liniowo uporządkowanych, gdzie zawsze \(\displaystyle{ X_n \subset X}\), i gdzie zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne dla \(\displaystyle{ n \neq m}\), to na sumie tych zbiorów \(\displaystyle{ S:= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\) można rozważać malejącą sumę porządkową \(\displaystyle{ \le _{\overleftarrow{S}},}\) określoną w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x \le _{\overleftarrow{S}} y \Longleftrightarrow \left[ x,y \in X_n, \hbox{ dla pewnego } n \in \NN, \hbox{ i } x \le _n y \right] \hbox{ lub } \left[ x \in X_n, y \in X_m, \hbox{ gdzie } n>m \right];}\)
taka relacja jest liniowym porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ S.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze, więc pary \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _n ^{-1} \right)}\), dla każdego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) tworzą zbiory liniowo uporządkowane. Mamy też zawsze \(\displaystyle{ X_n \subset X,}\) i zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) i \(\displaystyle{ X_m}\) są rozłączne, dla \(\displaystyle{ n \neq m}\) (z założenia). W związku z czym, na sumie tych zbiorów \(\displaystyle{ S= \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), suma porządkowa (zwykła, tzn. rosnąca), którą oznaczymy jako: \(\displaystyle{ \le_{S}=\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN} \le_{n}^{-1},}\) jest liniowym porządkiem na tej sumie zbiorów \(\displaystyle{ S}\). Ponieważ porządek odwrotny do liniowego jest liniowy na tym samym zbiorze, więc również para \(\displaystyle{ \left( S, \le _{S} ^{-1} \right)}\) tworzy zbiór liniowo uporządkowany. Pokazujemy, że \(\displaystyle{ \left( \le _{\overleftarrow{S}}\right) =\left( \le _{S} ^{-1} \right)}\), czyli pokazujemy, że te dwa porządki są sobie równe:
DOWÓDU TEGO FAKTU::
Przejdźmy do naszego faktu.
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz rozważmy przeliczalną rodzinę podzbiorów \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _n\right)}\) liniowo uporządkowanych, tzn. zawsze \(\displaystyle{ X_n \subset X}\), i te pary oznaczają zbiory liniowo uporządkowane, na zbiorach rozłącznych. Załóżmy jeszcze, że każdy taki zbiór jest typu półprostej liczb rzeczywistych niedodatnich, tzn.:
\(\displaystyle{ X_n \approx \RR _{-} \cup \left\{ 0\right\}}\), dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\). Wykażemy, że suma tych zbiorów \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} X_n,}\) wraz z malejącą sumą porządkową \(\displaystyle{ \overleftarrow{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN}} \le_n, }\) jest również typu półprostej liczb rzeczywistych niedodatnich.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy najpierw, że przedział otwarto-domknięty \(\displaystyle{ \left(-1,0 \right]}\) jest typu półprostej liczb rzeczywistych niedodatnich. Jako podobieństwo między tymi dwoma zbiorami wystarczy wziąć funkcję: \(\displaystyle{ f: \left(-1,0 \right] \rightarrow \RR_- \cup \left\{ 0\right\}}\); daną jako:
\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{x}{1-x ^{2} }.}\)
O jejku, czego tu nie używam: i mnożenie, i odejmowanie, i dzielenie- z punktu widzenia teorii mnogości jest to bardzo specjalistyczna funkcja; ale skoro podaje się studentom wykresy takich funkcji, to własności tych funkcji zostały chyba dokładnie zbadane ( zresztą- na ważniaku użyli funkcji podanej tym samym wzorem, jako przykład bijekcji z przedziału otwartego \(\displaystyle{ \left( -1,1\right) }\) w zbiór \(\displaystyle{ \RR}\)).
A zatem taka funkcja jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ \left( -1,0\right] \approx \RR _{-} \cup \left\{ 0\right\}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n \in \NN}\), to z założenia \(\displaystyle{ X_n \approx \RR_- \cup \left\{ 0\right\} \approx \left( -1,0\right]}\). Istnieje więc podobieństwo \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \left( -1,0\right]}\), ustalmy je (stosując, być może, aksjomat wyboru, a dokładniej: stosując twierdzenie o funkcji wyboru, aby z niepustego zbioru funkcji podobieństwa pomiędzy tymi dwoma ustalonymi zbiorami wybrać jedną taką funkcję podobieństwa).
Wykażemy, że nasza malejąca suma porządkowa \(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n \in \NN} X_n, \overleftarrow{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN}} \le_n \right)}\) jest podobna do zbioru \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left( -1,0\right]}\) z porządkiem leksykograficznym tych naturalnych liniowych porządków.
W tym celu definiujemy funkcję:
\(\displaystyle{ \alpha : \bigcup_{n \in \NN} X_n \rightarrow \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left( -1,0\right],}\)
w następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{ n \in \NN}X_n}\), to \(\displaystyle{ x \in X_n}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), a ponieważ zbiory \(\displaystyle{ X_n}\) są rozłączne, i są ponumerowane liczbami naturalnymi, więc taki numer jest tylko jeden. Wtedy \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \left( -1,0\right]}\). Ponieważ \(\displaystyle{ n \in \NN}\), to \(\displaystyle{ \left( -n\right) \in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x \in X_n}\), to przypisujemy temu elementowi parę: \(\displaystyle{ \left( -n, f_n\left( x\right) \right) \in \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left( -1,0\right]}\), i w ten sposób otrzymujemy funkcję:
\(\displaystyle{ \alpha : \bigcup_{n \in \NN} X_n \rightarrow \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left( -1,0\right].}\)
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right) = \alpha \left( x_2\right)}\) , to \(\displaystyle{ \left( -n_1, f _{n_1} \left( x_1\right) \right) = \left( -n_2, f _{n_2} \left( x_2\right) \right)}\), skąd \(\displaystyle{ \left( -n_1\right) = \left( -n_2\right)}\), a zatem \(\displaystyle{ n_1= n_2}\), oznaczmy więc tą wartość jako \(\displaystyle{ n}\). Wtedy \(\displaystyle{ f_n\left( x_1\right)= f_n\left( x_2\right)}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f_n}\) jest podobieństwem, więc jest różnowartościowa, a zatem: \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ \left( m,a\right) \in \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \times \left( -1,0\right].}\)
Wtedy \(\displaystyle{ n:=\left( -m\right) \in \NN}\), i \(\displaystyle{ a \in \left( -1,0\right].}\) Wtedy funkcja \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \left( -1,0\right]}\) jest podobieństwem, więc jest funkcją 'na' przedział \(\displaystyle{ \left( -1,0\right]}\), więc istnieje element \(\displaystyle{ x \in X_n}\), taki, że: \(\displaystyle{ f_n\left( x\right)=a}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n \in \NN} X_n}\), i \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) = \left( -n, f_n\left( x\right) \right) = \left( -\left( -m\right),a \right)= \left( m,a\right)}\), a więc para \(\displaystyle{ \left( m,a\right)}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\). Z dowolności wyboru takiej pary, otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją.
Ponieważ jest to funkcja pomiędzy dwoma zbiorami liniowo uporządkowanymi, więc pozostaje pokazać, że jest to funkcja monotoniczna.
W tym celu weźmy dowolne dwa elementy \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in \bigcup _{n} X_n}\), takie, że: \(\displaystyle{ x_1\left( < _{\overleftarrow{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN}} \le_n} \right) x_2. }\)
Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \in X_n, x_2 \in X_m}\), dla pewnych naturalnych numerów \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n=m}\), to \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in X_n}\), a więc z założonej nierówności, oraz z definicji malejącej sumy porządkowej, otrzymujemy: \(\displaystyle{ x_1 \le _n x_2}\), więc ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f_n: X_n \rightarrow \left( -1,0\right]}\) jest podobieństwem, więc z jej monotoniczności otrzymujemy: \(\displaystyle{ f_n\left( x_1\right) \le f_n\left( x_2\right)}\), a zatem, z definicji porządku leksykograficznego otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right) = \left( -n, f_n \left( x_1\right) \right) \le \left( -n, f_n\left( x_2\right) \right) = \alpha \left( x_2\right);}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right) \le \alpha \left( x_2\right)}\), co należało pokazać.
Jeśli \(\displaystyle{ n \neq m}\), to \(\displaystyle{ n<m}\) lub \(\displaystyle{ m<n.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ n>m}\), to \(\displaystyle{ -n <-m}\), a zatem, z definicji porządku leksykograficznego:
\(\displaystyle{ \alpha \left( x_1\right) =\left( -n, f_n\left( x_1\right) \right) < \left( -m, f_m\left( x_2\right) \right) = \alpha \left( x_2\right).}\)
Przypadek \(\displaystyle{ n<m}\) jest niemożliwy, na mocy definicji malejącej sumy porządkowej i na mocy antysymetrii tego liniowego porządku.
A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest monotoniczna, i ta funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobieństwem.
A zatem:
\(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n \in \NN} X_n ,\overleftarrow{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN}} \le_n\right) \approx \left( \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}\right) \times \left( -1,0\right]; \le_{\hbox{LEKS.}}\right)}\).
A zatem (ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \NN\otimes \left[ 0,1\right)}\), z porządkiem leksykograficznym tych naturalnych liniowych porządków jest typu półprostej liczb nieujemnych, co udowodniłem TUTAJ, W PIERWSZYM POŚCIE, POD KONIEC TEGO POSTU: więc :
\(\displaystyle{ \left( \bigcup_{n} X_n,\overleftarrow{\mathop{\oplus}\limits_{n \in \NN}} \le_n\right) \approx \left( \left( \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}\right) \times \left( -1,0\right]; \le _{\hbox{LEKS.}} \right) ^{-1}\right) ^{-1}= \left[ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) ^{-1}\otimes \left( -1,0\right] ^{-1} \right] ^{-1} \approx \\ \approx \left[ \NN\otimes \left[ 0,1\right) \right] ^{-1} \approx \left( \RR_+ \cup \left\{ 0\right\}\right) ^{-1} \approx \RR_- \cup \left\{ 0\right\}.\square}\)
Interesuje mnie jeszcze czy malejąca suma porządkowa przeliczalnie wielu skończonych zbiorów liniowo uporządkowanych czy jest typu zbioru liczb całkowitych ujemnych, będzie można zastanowić się nad tym.
Dodano po 5 miesiącach 3 godzinach 25 minutach 10 sekundach:
W ostatni sobotni wieczór udowodniłem ten fakt.
Udowodniłem też, że jeśli mamy zbiór, oraz jeśli mamy przeliczalną rodzinę jego rozłącznych podzbiorów liniowo uporządkowanych, zbiorów podobnych do zbioru \(\displaystyle{ \left( \NN, \le\right) }\), to na sumie wszystkich takich zbiorów wraz z przeliczalną sumą porządkową (zwykłą, tzn. rosnącą), w takim zbiorze liniowo uporządkowanym: każdy element ma następnik, i jest to zbiór dobrze uporządkowany.
Sprawdziłem też zadanie z ważniaka (ale nie czuje do końca tego dowodu), tzn. rozwiązałem zadanie mówiące, że nie każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do pewnego dobrego porządku określonego na tym samym zbiorze.
Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ \left( C_n, \le _{n} \right) _{n \in \NN} }\) niech będzie przeliczalną rodziną zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ C_n \subset X}\), na zbiorach rozłącznych, tzn. zbiory \(\displaystyle{ C_n}\) i \(\displaystyle{ C_m}\) są rozłączne, dla \(\displaystyle{ n \neq m}\); i gdzie każdy zbiór \(\displaystyle{ C_n}\) jest skończony. Wykażemy, że wtedy malejąca suma porządkowa \(\displaystyle{ \stackrel{ \leftarrow }{\mathop{\oplus}_{n \in \NN} } \le _{n}}\) jest liniowym porządkiem typu zbioru liczb całkowitych ujemnych.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ \left( \stackrel{ \leftarrow }{\mathop{\oplus}_{n \in \NN} } \le _{n}\right) ^{-1} \approx \NN.}\)
W tym celu wykażemy równość liniowych porządków:
\(\displaystyle{ \left( \stackrel{ \leftarrow }{\mathop{\oplus}_{n \in \NN} } \le _{n}\right) ^{-1}=\mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _{n} ^{-1}. }\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ \left( \stackrel{ \leftarrow }{\mathop{\oplus}_{n \in \NN} } \le _{n}\right) ^{-1} =\mathop{\oplus}_{n \in \NN} \le _{n} ^{-1}.}\)
Ponieważ, dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego liniowy porządek \(\displaystyle{ \le _{n} ^{-1}}\) jest określony na skończonym zbiorze \(\displaystyle{ C_n}\), to ich przeliczalna suma porządkowa jest podobna do zbioru liczb naturalnych.
A zatem również:
\(\displaystyle{ \left( \stackrel{ \leftarrow }{\mathop{\oplus}_{n \in \NN} } \le _{n}\right) ^{-1} \approx \NN;}\) a zatem:
\(\displaystyle{ \left( \stackrel{ \leftarrow }{\mathop{\oplus}_{n \in \NN} } \le _{n}\right) \approx \NN ^{-1} \approx \ZZ_-.\square}\)
Przejdźmy do naszego drugiego problemu:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ \left( X_n, \le _{n} \right) _{n \in \NN}}\) niech będzie przeliczalną rodziną rozłącznych zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X_n \subset X}\), podobnych do zbioru \(\displaystyle{ \NN}\). Wykażemy, że wtedy suma \(\displaystyle{ \bigcup_{ n \in \NN} X_n,}\) wraz z sumą porządkowa odpowiednich liniowych porządków na zbiorach \(\displaystyle{ X_n}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, w którym każdy element ma następnik, i jest to zbiór dobrze uporządkowany.
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, mamy: \(\displaystyle{ X_n \approx \NN;}\) a zbiór liczb naturalnych jest zbiorem dobrze uporządkowanym, więc zbiór \(\displaystyle{ X_n}\) również jest dobrze uporządkowany.
A zatem suma takich zbiorów \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} X_n}\) (tak jak suma porządkowa przeliczalnie wielu skończonych liniowych porządków) wraz z taką sumą porządkową jest zbiorem dobrze uporządkowanym, co kończy połowę dowodu tego faktu.
A zatem, z własności zbiorów dobrze uporządkowanych, wynika, że w takim zbiorze każdy element nie będący elementem największym ma następnik. Pozostaje zatem wykazać, że w sumie \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} X_n}\) nie ma elementu największego.
DOWÓD TEGO FAKTU::
I ostatni nasz problem (tj. zadanie z testu z ważniaka):
Wykażemy, że nie każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do dobrego porządku określonego na tym samym zbiorze.
Dla dowodu wystarczy rozważyć zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ \left( \QQ, \le _{\QQ} \right)}\) z naturalnym porządkiem \(\displaystyle{ \le _{\QQ} }\). Przypuśćmy nie wprost, że można go rozszerzyć do pewnego dobrego porządku \(\displaystyle{ \le}\) na \(\displaystyle{ \QQ}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 0 \le _{\QQ} 1}\), i ponieważ \(\displaystyle{ \le}\) rozszerza naturalny porządek \(\displaystyle{ \le _{\QQ}}\), więc \(\displaystyle{ 0<1}\), i podobnie otrzymamy, że \(\displaystyle{ 0< \frac{1}{2}<1,}\) względem jakiegoś dobrego porządku \(\displaystyle{ \le}\) na \(\displaystyle{ \QQ}\).
Wtedy zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \cap \QQ}\) jest gęsty względem \(\displaystyle{ \le _{\QQ},}\) ale ponieważ dobry porządek \(\displaystyle{ \le}\) rozszerza naturalny porządek \(\displaystyle{ \le _{\QQ}}\), więc jest to również zbiór gęsty względem \(\displaystyle{ \le.}\) Ale \(\displaystyle{ \le}\) jest dobrym porządkiem na \(\displaystyle{ \QQ}\), więc zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \cap \QQ,}\) jako podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego, jest dobrze uporządkowany. Jeśli więc \(\displaystyle{ x,y \in \left[ 0,1\right] \cap \QQ,}\) i \(\displaystyle{ x <_{\QQ} y}\), to \(\displaystyle{ x<y}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) nie jest największy względem dobrego porządku na \(\displaystyle{ \QQ}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) ma następnik. Ale zbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \cap \QQ}\) jest również gęsty, więc żaden element nie ma następnika (ani poprzednika)-sprzeczność\(\displaystyle{ .\square}\)
Zauważmy jeszcze, że dla dowolnych dwóch danych niepustych zbiorów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), istnieje funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) lub istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będąca funkcją 'na' zbiór \(\displaystyle{ Y.}\)
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU( przy założeniu aksjomatu wyboru):
Zauważmy, że przy założeniu aksjomatu wyboru zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) można dobrze uporządkować, a dwa zbiory dobrze uporządkowane można porównywać na moc, tzn.: \(\displaystyle{ \left| X\right| \le \left| Y\right|}\) lub \(\displaystyle{ \left| Y\right| \le \left| X\right|.}\) W pierwszym przypadku, z definicji nierówności mocy zbiorów: istnieje funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\), a w przypadku drugim istnieje funkcja różnowartościowa \(\displaystyle{ f:Y \rightarrow X}\). Wtedy \(\displaystyle{ f ^{-1}}\) jest funkcją częściową z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\) będącą funkcją 'na' \(\displaystyle{ Y}\), a więc jakiekolwiek jej przedłużenie \(\displaystyle{ g:X \rightarrow Y}\) (zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest niepusty, więc możemy taką funkcję przedłużyć) jest również funkcją 'na' zbiór \(\displaystyle{ Y.\square}\)
Na koniec zilustruje łączność mnożenia liczb rzeczywistych dodatnich przy pomocy kostki prostopadłościennej.
Rozważmy trzy liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ a, b}\) i \(\displaystyle{ c}\); i rozważmy kostkę prostopadłościenną o wymiarach \(\displaystyle{ a \times b \times c}\). Wtedy objętość takiej kostki wynosi: \(\displaystyle{ \left( a \cdot b\right) \cdot c,}\) i w ten sposób ją liczymy. Teraz obróćmy ścianę kostki o wymiarach \(\displaystyle{ b \times c}\) dnem do podłoża (obracając jednocześnie całą kostkę o \(\displaystyle{ 90 ^{\circ}}\) w kierunku zgodnym z kierunkiem wskazówek zegara). Wtedy objętość takiej kostki oczywiście się nie zmieni, ale jest to kostka o wymiarach \(\displaystyle{ b \times c \times a}\), a zatem jej objętość liczymy jako:
\(\displaystyle{ \left( b \cdot c\right) \cdot a}\), i ponieważ mnożenie jest przemienne, to: \(\displaystyle{ \left( b \cdot c\right) \cdot a= a \cdot \left( b \cdot c\right) = \left( a \cdot b\right) \cdot c.}\)
