Matematyka.pl

Jak udowodnić ,że jeśli niepusty zbiór \(\displaystyle{ X \subset \RR}\) jest ograniczony z góry,to istnieje kres górny tego zbioru ? Proszę o wskazówki i pomoc.

Polecam poczytać o aksjomacie Dedekinda.

A jak masz zdefiniowany \(\displaystyle{ \RR}\) ?

Możesz indukcyjnie wskazać nierosnący, ograniczony z dołu ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ X}\) o własności: dla każdej liczby \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) istnieją takie \(\displaystyle{ n_0 \in \mathbb{N}, x \in X}\), że \(\displaystyle{ a_{n_0}-x<\varepsilon}\).
Zacząłbym tak: niech \(\displaystyle{ a}\) będzie dowolnym ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ X}\). (Przypuśćmy, że nie jest to kres górny.) Wybierzmy największe \(\displaystyle{ k_1 \in \mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ a-1 \cdot k_1>x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in X}\). Połóźmy \(\displaystyle{ a_1=a-1 \cdot k_1}\). Dalej, jeśli \(\displaystyle{ a_1}\) nie jest kresem, to wybierzmy największe \(\displaystyle{ k_2}\), że \(\displaystyle{ a_1-\frac{1}{2^1}k_2>x}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in X}\)...-- 17 cze 2016, o 12:42 --Przy czym tutaj potrzeba istnienia granicy ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\), więc w zasadzie potrzeba istnienia kresu dolnego zbioru \(\displaystyle{ \{a_n\}}\), więc to chyba bez sensu.

W Fichtenholzu jest dowód istnienia tego kresu górnego (w Rudinie chyba też). Tam \(\displaystyle{ \RR}\) jest zdefiniowane przez przekroje Dedekinda.