Udało się, przynajmniej częściowo, rozwiązać pewne ciekawe zadanie. Oto jego treść:
Na ile sposobów można ułożyć proste na płaszczyźnie, tak aby one wszystkie razem przechodziły już przez wszystkie punkty kratowe płaszczyzny, i tak aby dwie różne proste nie przecinały się w punkcie kratowym (mogą się przecinać na płaszczyźnie poza punktem kratowym)?? Ściślej rzecz biorąc:
Rozważmy kratownicę \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ.}\) Rozważmy rodzinę wszystkich prostych na płaszczyźnie, tzn. niech:
\(\displaystyle{ \mathbb {S}=\left\{ l \subset \RR^{2}: \ \ l \hbox { jest prostą w } \RR ^{2} \right\} }\),
tzn. chodzi o wykresy wszystkich funkcji liniowych oraz proste pionowe postaci \(\displaystyle{ l:x=a,}\) gdzie \(\displaystyle{ a \in\RR.}\)
Niech \(\displaystyle{ \mathbb {A}}\) będzie rodziną wszystkich przekrojów takich prostych z naszą kratownicą, tzn. niech:
\(\displaystyle{ \mathbb {A}=\left\{ l \cap\left( \ZZ \times \ZZ\right): \ l \in \mathbb {S}\right\}. }\)
Niech \(\displaystyle{ \mathbb {B}}\) będzie rodziną wszystkich rozkładów naszej kratownicy na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {A},}\) tzn. niech:
I pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {B}.}\)
Wykażemy, że ta moc jest co najmniej przeliczalna.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) definiujemy rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{n}}\) w następujący sposób:
Wpierw, dla dowolnej ustalonej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m\in \ZZ}\) definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f ^{n} _{m}:\RR \rightarrow \RR}\), jako:
\(\displaystyle{ f ^{n} _{m} \left( x\right)= n \cdot x+m.}\)
Zauważmy, że jest to funkcja liniowa.
I definiujemy rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n}\), jako:
Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n}\) jest rozkładem kratownicy \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy najpierw, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ.}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}_n = \ZZ \times \ZZ.}\)
Niewątpliwie \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}_n \subset \ZZ \times \ZZ}\)- jest to suma podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ.}\)
Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in \ZZ \times \ZZ}\). Wtedy \(\displaystyle{ a,b\in\ZZ}\), i \(\displaystyle{ n\in\ZZ}\). Zdefiniujmy \(\displaystyle{ m:= \left( b-n \cdot a\right) \in \ZZ}\). Wtedy mamy:
\(\displaystyle{ f ^{n} _{m}(a)= n \cdot a+m = n \cdot a+\left( b- n \cdot a\right) = b}\),
a zatem \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in f ^{n} _{m}}\), i \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in f ^{n} _{m} \cap \left( \ZZ \times \ZZ \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in \ZZ}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in \bigcup\mathcal{R}_n}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcup \mathcal{R}_n= \ZZ \times \ZZ.}\)
Musimy teraz wykazać, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych.
W tym celu weźmy dwie różne liczby całkowite \(\displaystyle{ m_1, m_2\in\ZZ}\), i pokażmy najpierw, że funkcje \(\displaystyle{ f ^{n} _{m_1}}\) i \(\displaystyle{ f ^{n} _{m_2}}\) są zbiorami rozłącznymi. Przypuśćmy nie wprost, że tak nie jest. Wtedy istnieje para \(\displaystyle{ \left( a,b \right) \in f ^{n} _{m_1} \cap f ^{n} _{m_2}}\), a wtedy \(\displaystyle{ f ^{n} _{m_1} (a)= b}\) i \(\displaystyle{ f ^{n} _{m_2} (a)= b}\), a zatem \(\displaystyle{ b= na+ m_1= na+m_2}\), i skracjąc składnik \(\displaystyle{ na}\) otrzymamy, że \(\displaystyle{ m_1=m_2}\)- co daje sprzeczność z naszym założeniem.
Wobec czego funkcje \(\displaystyle{ f ^{n} _{m_1}}\) i \(\displaystyle{ f ^{n} _{m_2}}\) są rozłączne, a stąd również zbiory \(\displaystyle{ \left( f ^{n} _{m_1} \right) \cap \left( \ZZ \times \ZZ\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( f ^{n} _{m_2} \right) \cap \left( \ZZ \times \ZZ\right)}\) są rozłączne, i rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych.
Pozostaje wykazać, aby wykazać, że to jest rozkład, więc pozostaje wykazać, że jest to rodzina zbiorów niepustych.
W tym celu niech \(\displaystyle{ m\in\ZZ}\). Rozważmy parę \(\displaystyle{ \left( 0,m\right)}\), mamy wtedy: \(\displaystyle{ f^{n} _{m}\left( 0\right)= n \cdot 0+m=m}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( 0,m\right) \in f ^{n} _{m}}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( 0,m\right) \in f ^{n} _{m} \cap \left( \ZZ \times \ZZ\right)}\), a więc jest to zbiór niepusty, i rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n}\) jest rodziną zbiorów niepustych.
A więc rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\).
I mamy \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n \subset \mathbb{A}}\), a zatem \(\displaystyle{ \mathcal{R}_n\in \mathbb{B}}\), i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) działająca w poniższy sposób:
A zatem \(\displaystyle{ \left( 1,n_1\right) \in f_0 ^{n_1} }\) i \(\displaystyle{ \left( 1,n_2\right) \in f_0 ^{n_2}}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( 1, n _{1} \right)\in f_0 ^{n_1} \cap \left( \ZZ \times\ZZ \right)}\) i podobnie \(\displaystyle{ \left( 1,n_2\right) \in f_0 ^{n_2} \cap \left( \ZZ \times \ZZ\right) =:B_2}\); wtedy ten zbiór \(\displaystyle{ B_2\in \mathcal{R} _{n_2}}\), a \(\displaystyle{ B_2\not\in \mathcal{R} _{n_1}. }\)
Gdyby bowiem \(\displaystyle{ B_2 \in \mathcal{R} _{n_1}}\), to ponieważ \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \in f_0 ^{n_1}}\), bo \(\displaystyle{ f_0 ^{n_1}(0)= n_1 \cdot 0+0=0}\), i podobnie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \in f_0 ^{n_2}}\), więc \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \in f_0 ^{n_1} \cap \left( \ZZ \times \ZZ\right) =:B_1}\) i podobnie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \in f_0 ^{n_2} \cap \left( \ZZ \times \ZZ\right)=B_2}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) \in B_1 \cap B_2}\), a \(\displaystyle{ B_1, B_2\in \mathcal{R} _{n_1}}\), a \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{n_1}}\) jest rozkładem, a więc rodziną zbiorów rozłącznych, a więc z warunku rozłączności dostajemy, że: \(\displaystyle{ B_1=B_2}\).
Mamy \(\displaystyle{ \left( 1, n_1 \right) \in B_1}\), a zatem również \(\displaystyle{ \left( 1, n_1\right) \in B_2= f_0 ^{n_2} \cap \left( \ZZ \times \ZZ\right)}\), a więc \(\displaystyle{ \left( 1, n_1\right)\in f_0 ^{n_2}}\), czyli \(\displaystyle{ f_0 ^{n_2}(1)= n_1}\), a \(\displaystyle{ f _{0} ^{n_2}(1)= n_2 \neq n_1}\)- sprzeczność.
A zatem \(\displaystyle{ B_2\not\in\mathcal{R} _{n_1},}\) a \(\displaystyle{ B_2\in \mathcal{R} _{n_2}}\), a zatem \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{n _1} \neq \mathcal{R} _{n_2}}\),
i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \NN _{+} \right| \le \left| \mathbb{B}\right|}\), czyli \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \NN_+\right|= \left| \NN\right|.\square}\)
A więc takich rozkładów mamy co najmniej przeliczalnie wiele. Pytanie teraz czy takich rozkładów może nie być więcej, tego nie wiem, ktoś może wie??
Udowodniłem też wczoraj, że kratownicę \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) można rozlożyć na zbiory będące przekrojami okręgów z tą kratownicą, tzn.:
Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) można rozłożyć na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), czyli można utworzyć taki rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\), taki, że: \(\displaystyle{ \mathcal{R}\subset \mathbb{A}.}\)
Nim to udowodnimy, przypomnijmy dość prosty fakt, że jeżeli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), oraz niepusty podzbiór \(\displaystyle{ Y\subset X}\), to rodzina wszystkich niepustych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\), które są postaci \(\displaystyle{ A= B \cap Y}\), gdzie \(\displaystyle{ B \in \mathcal{R}}\), rodzina takich przekrojów mnogościowych, tworzy rozkład podzbioru \(\displaystyle{ Y}\)- jest to prosty fakt.
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy, że płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\) można rozłożyć na okręgi o środku w punkcie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\)- wystarczy rozwazyć rodzinę wszystkich okręgów o środku w początku układu i promieniach nieujemnych (wliczając w to okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 0}\)).
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) bęzie takim rozkładem płaszczyzny. Wtedy dla rodziny: \(\displaystyle{ \mathcal{R}'= \left\{ O \cap\left( \ZZ \times \ZZ\right)\Bigl| \ \ O\in \mathcal {R} \right\} \setminus \left\{ \emptyset\right\}}\),
Ponieważ \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ\subset \RR \times \RR= \RR ^{2}}\), i mamy rozkład płaszczyzny na okręgi, stosując zatem przytoczony fakt otrzymujemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}' }\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ.}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) jest rodziną okręgów, więc \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \subset \mathbb{A}.\square}\)
Interesuje mnie jeszcze: na ile sposobów kratownicę \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) można rozłożyć na zbiory będące brzegami prostokątów, będzie można pomyśleć nad tym .
Udało się to przedwczoraj zbadać.
Udało się też dzień wcześniej zbadać na ile sposobów kratownicę \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) można rozłożyć na zbiory będące brzegami prostokątów (a właściwie na zbiory bedące przekrojami takich brzegów z naszą kratownicą), jak i udowodniłem przedwczoraj, że istnieje tyle samo, co odpowiednich rozkładów \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\)- jest tyle samo rozkładów kratownicy zbioru liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem, czyli zbioru \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right) \times \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right)}\) na zbiory będące brzegami prostokątów. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów( ale w skrócie, gdyż w sumie spisałem \(\displaystyle{ 21}\) kartek, co najmniej kilka stron jest niepotrzebnych (złe kierunki dowódów), ale większość jest potrzebna, ale szkoda żebym się tu produkował, jak i tak nikt nie będzie tego czytał), więc może w skrócie:
Podajmy najpierw dwa lematy.
Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ A \subset \NN: \ \ A \hbox{ jest przedziałem skończonym, i } \left| A\right| \ge 2 \right\} ,}\)
jest to rodzina wszystkich skończonych, co najmniej dwuelementowych przedziałów w \(\displaystyle{ \left( \NN, \le \right).}\)
Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{S}= \left\{ A \times \left\{ 0,1\right\}\Bigl| \ \ A \in \mathbb{B} \right\} .}\)
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) będzie rodziną wszystkich rozkładów zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\}}\) , na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S}}\), tzn. niech:
I pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}.}\)
Aha, wpierw zbadamy moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\), danej jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}=\left\{ \mathcal{R}: \ \mathcal{R} \hbox{ jest rozkładem zbioru } \NN \hbox{ na przedziały, i } \mathcal{R} \subset \mathbb{B} \right\}.}\)
Czyli zbadamy moc wszystkich rozkładów zbioru liczb naturalnych na skończone, co najmniej dwuelementowe przedziały.
W tym celu, dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f \in 2 ^{\NN}= \left\{ 0,1\right\} ^{\NN},}\) tzn. dla funkcji \(\displaystyle{ f: \NN \rightarrow \left\{ 0,1 \right\}}\), definiujemy rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}_f}\), w taki sposob, że:
jeśli \(\displaystyle{ f(n)=0}\), to \(\displaystyle{ \left\{ 4n, 4n+1,4n+2,4n+3\right\} \in \mathcal{R}_f, }\)
a jeśli \(\displaystyle{ f(n)=1}\), to \(\displaystyle{ \left\{ 4n, 4n+1\right\}; \left\{ 4n+2, 4n+3\right\} \in \mathcal{R}_f.}\)
Zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ \mathcal {R}_f}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \NN.}\)
Musimy wykazać, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathcal{R}_f =\NN.}\)
Nim to zrobimy, to przypomnijmy, że jak mamy trzy rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{X}, \mathbb{Y}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), to mamy prawo:
suma uogólniona takiej potrójnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y} \cup \mathbb{Z}\right) }\) jest równa sumie trzech zbiorów: zbioru będącego sumą pierwszej rodziny zbiorów, jaki i zbioru będącego sumą drugiej rodziny zbiorów i zbioru będącego sumą trzeciej rodziny- jest to podstawowy fakt.
a więc sumujemy zbiory zadane tym samym wzorem, w jednym przypadku po liczbach naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ f(n)=0}\), a w drugim przypadku po liczbach \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ f(n)=1}\), czyli w pierwszym przypadku sumujemy po \(\displaystyle{ n \in \stackrel { \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ 0\right\}}\) , a w drugim przypadku sumujemy po \(\displaystyle{ n \in \stackrel { \rightarrow } {f ^{-1} } \left\{ 1\right\} }\). Ponieważ, dla funkcji między dwoma zbiorami, dla dwóch podzbiorów przeciwdziedziny funkcji, wtedy przeciwobraz sumy tych dwóch podzbiorów jest sumą przeciwobrazów, więc sumujemy tutaj po \(\displaystyle{ n \in \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left\{ 0,1\right\}}\), a więc ta suma mnogościowa jest równa:
I, łatwo jest pokazać, że dla dowolnych dwóch różnych funkcji \(\displaystyle{ f,g \in 2 ^{\NN}}\) otrzymujemy różne rozkłady, a zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D}\right| \ge \left| 2 ^{\NN} \right| = \left| \RR\right|.\square}\)
Nim przejdziemy dalej, przypomnijmy, że jak mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), oraz dwa rozkłady \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\) zbiorów odpowiednio \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), to rodzina zbiorów postaci \(\displaystyle{ A \times B}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}_X}\) i \(\displaystyle{ B \in \mathbb{B}_Y}\) tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ X \times Y-}\) jest to dość prosty fakt.
Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{S} = \left\{ A \times \left\{ 0,1\right\}\Bigl| \ \ A \in \mathbb{B} \right\} .}\)
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) będzie rodziną wszystkich rozkładów zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\}}\) na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S}}\), tzn. niech:
Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha : \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{A}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest rozważaną wcześniej rodziną rozkładów zbioru liczb naturalnych ( o której wiemy, że ma moc co najmniej continuum).
Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{R} \in \mathbb{D}}\), wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) na przedziały, i \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \mathbb{B}}\). Niech:
\(\displaystyle{ \mathcal{R}'= \left\{ A \times \left\{ 0,1\right\} \Bigl| \ \ A \in \mathcal{R} \right\},}\)
Ponieważ, dla zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\) , rodzina jednozbiorowa \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{\left\{ 0,1\right\} } := \left\{ \left\{ 0,1\right\} \right\} }\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\}}\), więc w myśl przytoczonego faktu o rozkładach iloczynu kartezjańskiego, otrzymujemy, ze rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}'}\) równa:
\(\displaystyle{ \mathcal{R}'= \left\{ A \times B\Bigl| \ \ A \in \mathcal{R}, B \in \mathcal{R} _{\left\{ 0,1\right\} } \right\} ,}\)
jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\}.}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \subset \mathbb{S}}\), gdyż \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \mathbb{B}.}\)
A zatem \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \subset \mathbb{S}}\), i \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \in \mathbb{A}}\), i w ten oto sposób otrzymujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha}\) działającą w poniższy sposób:
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{1}, \mathcal{R} _{2} \in \mathbb{D}}\), i \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{1} \neq \mathcal{R} _{2}}\), wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{1},\not \subset \mathcal{R} _{2}}\) lub \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{2}\not \subset \mathcal{R} _{1}. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{1}\not \subset \mathcal{R} _{2}}\), wtedy, z definicji inkluzji, i na mocy prawa zaprzeczania ograniczonemu kwantyfikatorowi ogólnemu, więc otrzymujemy pewien zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal{R} _{1}}\), taki, że: \(\displaystyle{ A \not\in \mathcal{R} _{2}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ B:= A \times \left\{ 0,1\right\} \in \mathcal{R}' _{1}}\), a \(\displaystyle{ B\not \in \mathcal {R}'_{2},}\) a zatem \(\displaystyle{ \mathcal{R}' _{1} \neq \mathcal{R}' _{2}. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{2}\not \subset \mathcal{R} _{1}}\), to w sposób analogiczny uzasadniamy, że: \(\displaystyle{ \mathcal{R}' _{1} \neq \mathcal{R}' _{2}.}\)
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}\right| \ge \left| \mathbb{D}\right| \ge \left| \RR\right|}\) , a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}\right| \ge \left| \RR\right|.\square}\)
Przejdźmy do naszych zadań.
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) będzie rodziną wszystkich właściwych (o dodatnich długościach) przedziałów domkniętych na prostej , tzn. niech:
Jeśli \(\displaystyle{ C \in \mathbb{B}}\), wtedy \(\displaystyle{ C= A \times B}\), gdzie \(\displaystyle{ A,B \in \mathbb{A}}\); wtedy \(\displaystyle{ A=\left[ a_1, a_2\right] ,}\) gdzie \(\displaystyle{ a_1<a_2}\) i \(\displaystyle{ B= \left[ b_1, b_2\right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ b_1<b_2}\).
Wtedy \(\displaystyle{ A= C_L= \left( A \times B\right) _L}\) i \(\displaystyle{ B= C_P= \left( A \times B\right)_P,}\) a więc zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są wyznaczone jednoznacznie.
Również liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1, a_2, b_1, b_2}\) są wyznaczone jednoznacznie jako elementy najmniejsze/największe tych dwóch zbiorów.
Niech:
\(\displaystyle{ b\left( C\right) := \left( A \times \left\{ b_1, b_2\right\} \right) \cup \left( \left\{ a_1, a_2\right\} \times B \right),}\)
taki zbiór nazwijmy brzegiem prostokąta \(\displaystyle{ C.}\)
będzie rodziną brzegów wszystkich prostokątów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}.}\)
I niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{S} _{ \NN \times \NN} }\) będzie rodziną przekrojów takich brzegów z kratownicą \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\), tzn. niech:
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{D} _{\NN \times \NN}}\) będzie rodziną wszystkich rozkładów kratownicy \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S} _{\NN \times \NN}}\), tzn. niech:
i niech \(\displaystyle{ \mathbb{A} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} }}\) będzie rodziną wszystkich rozkładów zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\}}\) na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} },}\) tzn. niech:
Wtedy \(\displaystyle{ \mathcal{R}_+}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left( \NN \setminus \left\{ 0,1\right\} \right)}\), łatwo to można udowodnić.
Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{R}_+}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left( \NN \setminus \left\{ 0,1\right\} \right)}\), a zbiory \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\}}\) i \(\displaystyle{ \NN \times \left( \NN \setminus \left\{ 0,1\right\} \right) }\) są rozłączne, więc rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}'}\), jako suma takich dwóch rozkładów na zbiorach rozłącznych, jest rozkładem w sumie zbiorów gdzie są określone te dwa rozkłady, czyli rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}'}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \left( \NN \times \left\{ 0,1\right\} \right) \cup \left[ \NN \times \left( \NN \setminus \left\{ 0,1\right\} \right) \right]= \NN \times \NN.}\)
Niech \(\displaystyle{ B \in \mathcal{R}'.}\) Wtedy \(\displaystyle{ B \in \mathcal{R}}\) lub \(\displaystyle{ B \in \mathcal{R}_+}\). Jeśli \(\displaystyle{ B \in \mathcal{R}_+, }\) wtedy łatwo jest pokazać, że \(\displaystyle{ B \in \mathbb{S} _{\NN \times \NN}}\).
Jeśli \(\displaystyle{ B\in \mathcal{R}}\), wtedy ponieważ\(\displaystyle{ \mathcal{R} \in \mathbb{A} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} } }\), to \(\displaystyle{ \mathcal{R} \subset \mathbb{S} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} }}\) , a zatem \(\displaystyle{ B \in \mathbb{S} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} },}\) a zatem \(\displaystyle{ B= A \times \left\{ 0,1\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}_{\NN},}\) wtedy \(\displaystyle{ A \subset \NN}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończonym, co najmniej dwuelementowym przedziałem. Ponieważ \(\displaystyle{ A \subset \NN}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, a zatem, na mocy zasady minimum w \(\displaystyle{ \NN,}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma liczbę najmniejszą \(\displaystyle{ a\in A}\).
Ale zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończony i niepusty, a zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma również liczbę największą \(\displaystyle{ b\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \left| A\right| \ge 2}\), to \(\displaystyle{ a<b}\), a zatem\(\displaystyle{ \left[a,b \right] \in \mathbb{A}}\), i mamy \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \in \mathbb{A}}\), a zatem \(\displaystyle{ C:= \left[ a,b\right] \times \left[ 0,1\right] \in \mathbb{B}}\), a zatem dla brzegu tego prostokąta mamy: \(\displaystyle{ b\left( C\right) \in \mathbb{S}}\) i \(\displaystyle{ \left[ b\left( C\right) \cap \left( \NN \times \NN\right)\right] \in \mathbb{S} _{\NN \times \NN}}\).
Niewątpliwie, ponieważ \(\displaystyle{ A \subset \NN}\), to \(\displaystyle{ A \times \left\{ 0,1\right\} \subset \NN \times \left\{ 0,1\right\} \subset \NN \times \NN}\).
I ponieważ \(\displaystyle{ b(C)= b\left( \left[ a,b\right] \times \left[ 0,1\right] \right)= \left( \left[ a,b\right] \times \left\{ 0,1\right\} \right) \cup \left( \left\{ a,b\right\} \times \left( 0,1\right) \right),}\) i ponieważ \(\displaystyle{ A \subset \left[ a,b\right]}\) (łatwo można to pokazać), więc \(\displaystyle{ B= A \times \left\{ 0,1\right\} \subset \left[ a,b\right] \times \left\{ 0,1\right\} \subset b(C).}\)
A zatem \(\displaystyle{ B \subset b(C)}\) i \(\displaystyle{ B \subset \NN \times \NN}\), więc również \(\displaystyle{ B \subset b(C) \cap \left( \NN \times \NN\right) .}\)
Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to niech: \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in b\left( C\right) \cap \left( \NN \times \NN\right)}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in b(C) }\) i \(\displaystyle{ x \in \NN}\), \(\displaystyle{ y \in \NN}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b(C) = \left( \left[ a,b\right] \times \left\{ 0,1\right\} \right) \cup \left( \left\{ a,b\right\} \times \left( 0,1\right) \right)}\), więc \(\displaystyle{ \left( x \in \left[ a,b\right]\hbox{ i } y \in \left\{ 0,1\right\} \right)}\) lub \(\displaystyle{ \left( x \in \left\{ a,b\right\} \hbox{ i } y \in \left( 0,1\right) \right)}\). Ponieważ mamy \(\displaystyle{ y \in\NN}\), więc \(\displaystyle{ y\not \in \left( 0,1\right)}\), wobec czego musi zajść pierwszy z tych dwóch przypadków, czyli: \(\displaystyle{ x \in \left[ a,b\right]}\) i \(\displaystyle{ y \in \left\{ 0,1\right\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in \NN}\), i wtedy:
\(\displaystyle{ A\ni a \le x \le b\in A}\),
a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ \left( \NN, \le\right) }\) , więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in A}\), a ponieważ \(\displaystyle{ y \in \left\{ 0,1\right\}}\) , więc \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in A \times \left\{ 0,1\right\}= B.}\)
A zatem \(\displaystyle{ B= b(C) \cap \left( \NN \times \NN\right)}\). Ponieważ, zbiór po prawej stronie tej równości jest elementem rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S} _{\NN \times \NN}}\), więc również zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest jej elementem, i \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \subset \mathbb{S} _{\NN \times \NN}.}\)
A zatem \(\displaystyle{ \mathcal{R} ' \in \mathbb{D} _{\NN \times \NN}}\), i w ten sposób otrzymujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha}\) działającą w poniższy sposób:
I, łatwo jest pokazać, że dla dowolnych dwóch różnych rozkładów \(\displaystyle{ \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2\in \mathbb{A}}\) mamy również: \(\displaystyle{ \mathcal{R}'_1 \neq \mathcal{R}'_2. }\)
A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D} _{\NN \times \NN} \right| \ge \left| \mathbb{A} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} } \right| \ge \left| \RR\right|}\). A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D} _{\NN \times \NN} \right| \ge \left| \RR\right|. }\)
A wszystkich rozkładów zbioru przeliczalnego jest continuum.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D} _{\NN \times \NN} \right| \le \left| \RR\right|}\), i, na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \mathbb{D} _{\NN \times \NN}\sim \RR.\square}\)\(\displaystyle{ }\)
będzie rodziną wszystkich przecięć brzegów wszystkich prostokątów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) z kratownicą \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\).
będzie rodziną wszystkich rozkładów kratownicy \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S} _{\ZZ \times \ZZ}}\).
I pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\).
Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) jest mocy continuum.
tworzy rozkład zbioru \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ_-}\).
Zauważmy, że zbiory \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\} , \ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\} , \ZZ \times \left( \NN \setminus \left\{ 0,1\right\} \right)}\) i \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ_-}\) są rozłączne, w związku z czym rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R}'= \mathcal{R} \cup \mathcal{R} _{\ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\} } \cup \mathcal{R} _{2\uparrow} \cup \mathcal{R} _{\ZZ,-}}\) jest rozkładem sumy tych czterech zbiorów, czyli jest to rozkład zbioru: \(\displaystyle{ \left( \NN \times \left\{ 0,1\right\} \right) \cup \left( \ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\} \right) \cup \left( \ZZ \times \left( \NN \setminus \left\{ 0,1\right\} \right) \right) \cup \left( \ZZ \times \ZZ_-\right) = \ZZ \times \ZZ.}\)
Musimy teraz wykazać, że \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \subset \mathbb{S} _{\ZZ \times \ZZ}}\).
Niech więc \(\displaystyle{ B \in \mathcal{R}}\)'. Jeśli \(\displaystyle{ B \in \mathcal{R} \subset \mathbb{S} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} }}\), to w podobny sposób jak pokazywaliśmy podobny fakt dla kratownicy \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\)- w bardzo podobny sposób pokazujemy, że \(\displaystyle{ B \in \mathbb{S} _{\ZZ \times \ZZ}}\), a w pozostałych trzech przypadkach łatwo pokazujemy, że \(\displaystyle{ B \in \mathbb{S} _{\ZZ \times \ZZ}}\), a zatem \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \subset \mathbb{S} _{\ZZ \times \ZZ}}\),
i \(\displaystyle{ \mathcal{R}' \in \mathbb{D} _{\ZZ \times \ZZ}}\), i w ten sposób otrzymujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha }\) działającą w poniższy sposób:
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
W tym celu weźmy dwa dowolne różne rozkłady \(\displaystyle{ \mathcal{R}_1,\mathcal{R}_2 \in \mathbb{A} _{\NN \times \left\{ 0,1\right\} } .}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \mathcal{R}_1 \neq \mathcal{R}_2}\), więc \(\displaystyle{ \mathcal{R}_1 \not \subset \mathcal{R}_2}\) lub \(\displaystyle{ \mathcal{R}_2 \not \subset \mathcal{R}_1.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{R}_1 \not \subset \mathcal{R}_2}\), wtedy, z definicji inkluzji, otrzymujemy pewien zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal{R}_1}\), taki, że \(\displaystyle{ A\not \in \mathcal{R}_2 }\). Wtedy \(\displaystyle{ A \in \mathcal{R}' _{1} = \mathcal{R}_1 \cup \left( \mathcal{R} _{\ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\} }\right) \cup \left( \mathcal{R} _{2\uparrow}\right) \cup \mathcal{R} _{\ZZ, -},}\)a \(\displaystyle{ A\not \in \mathcal{R}'_2}\).
Gdyby bowiem byłoby \(\displaystyle{ A \in \mathcal{R}'_2}\), wtedy ponieważ \(\displaystyle{ A\not \in \mathcal{R}_2}\), więc \(\displaystyle{ A \in \left( \mathcal{R} _{\ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\} }\right)}\) lub \(\displaystyle{ A \in \left( \mathcal{R} _{2\uparrow}\right)}\) lub \(\displaystyle{ A \in \mathcal{R} _{\ZZ, -}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathcal{R}_1}\), wtedy ponieważ \(\displaystyle{ \mathcal{R}_1}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \left\{ 0,1\right\} }\), więc \(\displaystyle{ A \subset \NN \times \left\{ 0,1\right\}}\) , i jako zbiór rozkładu jest to zbiór niepusty. A ponieważ \(\displaystyle{ \mathcal{R} _{\ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\} }}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ \ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\}}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest jego elementem, więc również \(\displaystyle{ A \subset \ZZ_- \times \left\{ 0,1\right\}}\) , co daje sprzeczność, bo te dwa zbiory są rozłączne, i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym podzbiorem ich przecięcia - sprzeczność.
W pozostałych dwóch przypadkach w podobny sposób otrzymujemy sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ A\not \in \mathcal{R}'_2}\), a \(\displaystyle{ A \in \mathcal{R}'_1,}\) wobec czego \(\displaystyle{ \mathcal{R}'_1 \neq \mathcal{R}_2 ^{'}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \mathcal{R}_2\not \subset \mathcal{R}_1}\), to w sposób analogiczny jak powyżej udowadniamy, że \(\displaystyle{ \mathcal{R}'_1 \neq \mathcal{R}'_2.}\)
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) jest zbiorem przeliczalnym, a wszystkich rozkładów zbioru przeliczalnego jest continuum, więc \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D} _{\ZZ \times \ZZ} \right| \le \left| \RR\right|}\), i na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \mathbb{D} _{\ZZ \times \ZZ}\sim \RR.\square}\)
Niech \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\) będzie rodziną wszystkich rozkładów zbioru \(\displaystyle{ (\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} ) \times \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \right)}\) na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S} _{\ZZ_{-} \times \ZZ_- }}\), tzn. niech:
I pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D}.}\)
Wykażemy, że ta rodzina jest mocy continuum.
Wpierw, dla dowolnego podzbioru płaszczyzny \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2}}\), zdefiniujmy zbiór:
\(\displaystyle{ A _{\left( 0,0\right) } = \left\{ \left( -x,-y\right)\Bigl| \ \left( x,y\right) \in A \right\} \subset \RR^2.}\)
Jest to zbiór powstały poprzez symetrię względem początku układu.
Łatwo jest zauważyć, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \subset \RR^2}\), mamy: \(\displaystyle{ \left( A _{\left( 0,0\right) } \right) _{\left( 0,0\right) } =A}\),
czyli odbicie odbicia zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równe zbiorowi \(\displaystyle{ A.}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D} _{\NN \times \NN}}\) będzie rodziną wszystkich rozkładów zbioru \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) na zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{S} _{\NN \times \NN},}\) tzn. niech:
jest dobrze określoną bijekcją (co wymaga trochę zachodu, ale teraz to już mam zawroty głowy, a i tak nikt nie chciałby tego czytać, poza tym taki dowód jest raczej bardziej techniczny, więc daruje sobie zapisywanie go).