\(\displaystyle{ \left\{ y: \bigvee\limits_{x \in X} \alpha \left( x,y\right) \right\}. }\)
Natomiast aksjomat wybierania mówi, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)}\) jest formułą teorii mnogości, a \(\displaystyle{ X}\) jest dowolnym zbiorem, to istnieje zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ x \in X: \alpha \left( x\right) \right\}.}\)
Wykażemy teraz, że z aksjomatu zastępowania wynika aksjomat wybierania.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Aby pokazać aksjomat wybierania przy pomocy aksjomatu zastępowania, ustalmy dowolną formułę \(\displaystyle{ \alpha \left( z\right)}\), oraz ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ X}\). Aby użyć aksjomatu zastępowania rozważmy nową formułę:
\(\displaystyle{ \alpha '\left( x,y\right) \Longleftrightarrow \bigvee\limits_{z} \left( \alpha \left( z\right) \wedge z=x=y
\right).}\)
Formuła \(\displaystyle{ \alpha'}\) posiada dwie zmienne wolne \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), i spełnia warunek jednoznaczności, gdyż jeśli jest spełniona dla pary zbiorów \(\displaystyle{ \left( x,y_1\right)}\) oraz dla \(\displaystyle{ \left( x,y_2\right)}\), to: \(\displaystyle{ z=x=y_1=y_2.}\)
Stosując aksjomat zastępowania do zbioru \(\displaystyle{ X}\), otrzymujemy zbiór:
\(\displaystyle{ Y:= \left\{ y: \ \ \bigvee\limits_{x \in X} \alpha' \left( x,y\right)\right\};}\)
ale, dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ x \in X}\), jeśli \(\displaystyle{ \alpha '\left( x,y\right)}\), to:
dla zbioru \(\displaystyle{ z_x,}\) mamy \(\displaystyle{ \alpha \left( z_x\right),}\) i \(\displaystyle{ z_x=x=y}\), a więc:
otrzymujemy równoważność:
\(\displaystyle{ y \in Y \Longleftrightarrow \bigvee\limits_{x \in X} \bigvee\limits_{z_x} \left( \alpha \left( z_x\right) \wedge z_x=x=y \right) \Longleftrightarrow y \in X \wedge \alpha \left( y\right), }\)
czyli otrzymujemy zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ z \in X: \ \alpha \left( z\right) \right\}}\),
który należało otrzymać.
Dowiedliśmy, że z aksjomatu zastępowania wynika aksjomat wybierania.\(\displaystyle{ \square}\)
Aksjomat zastępowania nie jest niezbędny, jeśli wiemy, że formuła funkcyjna \(\displaystyle{ \alpha \left( x,y\right)}\) ma argument \(\displaystyle{ y}\) ograniczony do jakiegoś zbioru \(\displaystyle{ Y}\). Wtedy, dla zbioru \(\displaystyle{ X,}\) do którego chcielibyśmy zastosować aksjomat zastępowania, zbiór otrzymany dla niego można uzyskać już przy pomocy słabszego aksjomatu wycinania, w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ Y:= \left\{ y: \ \ \bigvee\limits_{x \in X} \alpha\left( x,y\right)\right\}= \left\{ y \in Y: \bigvee\limits_{x \in X} \alpha\left( x,y\right)\right\} }\),
stosując aksjomat wycinania do zbioru \(\displaystyle{ Y}\) i do formuły:
\(\displaystyle{ \alpha '\left( y\right) \Longleftrightarrow \bigvee\limits_{x \in X} \alpha\left( x,y\right).}\)
Z aksjomatu zastępowania wynika również aksjomat pary.
Aksjomat pary mówi, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są zbiorami, to istnieje zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\} }\), którego elementami są dokładnie zbiory \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)(
Uwaga! Może być \(\displaystyle{ x=y}\); wtedy: \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}= \left\{ x\right\} }\) ).Aby to pokazać, zauważmy najpierw, że bez aksjomatu pary da się utworzyć pewnego rodzaju zbiór dwuelementowy w ZFC. Zbiorem tym jest \(\displaystyle{ P\left( \left\{ \emptyset\right\} \right)= P\left( P\left( \emptyset\right) \right)= \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset\right\} \right\}.}\)
I teraz, aby pokazać aksjomat pary, ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
I, wystarczy przypisać:
\(\displaystyle{ \emptyset \rightarrow a}\);
\(\displaystyle{ \left\{ \emptyset\right\} \rightarrow b,}\)
i, stosując aksjomat zastępowania do tego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset\right\} \right\},}\) otrzymamy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ a,b\right\}. \square}\)
Dodano po 1 dniu 16 godzinach 19 minutach 17 sekundach:
Aksjomat zastępowania jest (ponoć) niezbędny aby udowodnić, że każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do dokładnie jednej liczby porządkowej, uporządkowanej inkluzją. Przedstawię teraz dowód tego faktu:
Przypomnijmy, nie istnieje zbiór wszystkich liczb porządkowych.
Zarys dowodu:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem wszystkich liczb porządkowych. Pokazujemy, że \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, a ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem wszystkich liczb porządkowych, więc \(\displaystyle{ X \in X}\), i otrzymujemy sprzeczność z aksjomatem regularności, który gwarantuje, że żaden zbiór nie jest elementem swoim własnym. Wobec czego nie istnieje zbiór wszystkich liczb porządkowych.\(\displaystyle{ \square }\)
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Przypuśćmy nie wprost, że nie jest on podobny do żadnej liczby porządkowej. Ustalmy dowolną liczbę porządkową \(\displaystyle{ \left( \alpha , \subset\right) }\) - jest ona dobrze uporządkowana przez inkluzję, zbiór \(\displaystyle{ X}\) też jest dobrze uporządkowany; a dla dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego. Zbiór \(\displaystyle{ X}\) nie może być podobny do przedziału początkowego liczby porządkowej \(\displaystyle{ \alpha}\) , bo przedziały początkowe liczb porządkowych są liczbami porządkowymi, a zbiór \(\displaystyle{ X}\) nie jest podobny do żadnej liczby porządkowej- sprzeczność. Wobec czego liczba porządkowa \(\displaystyle{ \alpha}\) musi być podobna do pewnego przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ X}\). Z dowolności wyboru liczby porządkowej \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy, że każda liczba porządkowa \(\displaystyle{ \alpha}\) jest podobna do przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ X.}\) Wystarczy zatem przypisać (gdyż dwie liczby porządkowe podobne muszą być równe) przedziałom początkowym zbioru \(\displaystyle{ X}\) liczby porządkowe podobne do nich, i, używając aksjomatu zastępowania, otrzymać zbiór wszystkich liczb porządkowych, co daje sprzeczność z poprzednim twierdzeniem.
Wobec czego każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do pewnej liczby porządkowej.
I nie może być on podobny do dwóch liczb porządkowych, bo wtedy, z przechodniości podobieństwa, otrzymalibyśmy, że te dwie liczby porządkowe byłyby podobne do siebie, a więc musiałyby być równe. Wobec czego każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do co najwyżej jednej liczby porządkowej, i każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do dokładnie jednej liczby porządkowej.\(\displaystyle{ \square}\)
Aksjomat zastępowania bywa teź przydatny aby poprawnie zdefiniować rodzinę zbiorów (gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest dowolnym ustalonym zbiorem):
\(\displaystyle{ \mathbb{A}:=\left\{ X; \left\{ X\right\}; \left\{ \left\{ X\right\} \right\};\ldots \right\}}\).