Matematyka.pl

Przypomnijmy, jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest klasą, to możemy rozważać jej dopełnienie, tzn. klasę tych zbiorów, które nie należą do klasy \(\displaystyle{ X}\):

\(\displaystyle{ X'= \left\{ x: \ x\not\in X\right\}. }\)

Można też rozważać inne operacje na klasach, np. sumę dwóch klas \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), daną jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{X}\cup \mathbb{Y}=\left\{ x: x\in \mathbb{X} \vee x\in \mathbb{Y}\right\}.}\)

Jak również możemy rozważać przekrój i różnicę dwóch klas, dane jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}= \left\{ x: x\in X \wedge x\in Y\right\}}\), i
\(\displaystyle{ \mathbb{X} \setminus \mathbb{Y}= \left\{ x: x\in\mathbb{X} \wedge x\not\in \mathbb{Y}\right\}.}\)

Przypomnijmy, dwie klasy są równe, dokładnie wtedy, gdy mają te same elementy.

Wykazałem wczoraj, że jeśli mamy dwie klasy, to dopełnienie sumy tych dwóch klas jest równe przekrojowi ich dopelnień, a dopełnienie przekroju tych dwóch klas jest równe sumie ich dopełnień. Wykazałem również, że jak mamy trzy klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}, \mathbb{Y}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), to mamy prawo rozdzielności przekroju względem sumy, tzn. mamy prawo:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \left( \mathbb{Y} \cup \mathbb{Z} \right) = \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right) \cup \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Z}\right).}\)

Jak i wykazałem drugą rozdzielność sumy względem iloczynu.

Przypomnijmy: klasa \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) zawiera się w klasie \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), gdy każdy zbiór z klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) należy do klasy \(\displaystyle{ \mathbb{Y}.}\)

Wykazałem, że jeśli mamy dwie klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), oraz \(\displaystyle{ \mathbb{X}\subset \mathbb{Y}}\), to suma tych dwóch klas jest równa większej z tych dwóch klas, a ich przekrój jest równy mniejszej z tych dwóch klas, a ich różnica jest zbiorem pustym; i odwrotnie - tzn. jeśli klasa \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) nie zawiera się w klasie \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), to nie zachodzi żadna z tych trzech równości dla klas. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}, \mathbb{Y}}\) będą klasami. Wykażemy, że dopełnienie sumy tych dwóch klas jest równe przekrojowi ich dopełnień, tzn. wykażemy prawo:

\(\displaystyle{ \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right) '= \mathbb{X}^{'} \cap \mathbb{Y} ^{'}. }\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie zbiorem. Wtedy:

\(\displaystyle{ x \in \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right)' \Leftrightarrow x \not\in \mathbb{X} \cup \mathbb{Y} \Leftrightarrow \neg \left( x \in \mathbb{X} \vee x \in \mathbb{Y}\right) \Leftrightarrow x\not \in \mathbb{X} \wedge x\not \in \mathbb{Y} \Leftrightarrow x\in\mathbb{X} ^{'} \wedge x\in \mathbb{Y}^{'} \Leftrightarrow x\in \mathbb{X} ^{'} \cap \mathbb{Y} ^{'};}\)

I ponieważ elementami klas mogą być tylko zbiory, więc otrzymujemy równość klas :

\(\displaystyle{ \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right)'= \mathbb{X} ^{'} \cap \mathbb{Y} ^{'}.\square}\)

Nim przejdziemy dalej, zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) jest dowolną klasą, to dopełnienie dopełnienia tej klasy jest równe tej klasie, tzn. mamy prawo:

\(\displaystyle{ \left( \mathbb{X}^{'} \right)'= \mathbb{X}.}\)

Możemy to bardzo łatwo udowodnić.

Wykażemy teraz, że jeśli mamy dwie klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), to dopełnienie przekroju tych dwóch klas jest równe sumie ich dopełnień, tzn. mamy prawo:

\(\displaystyle{ \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)'= \mathbb{X}' \cup \mathbb{Y}'.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, na mocy faktów powyżej:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} ^{'} \cup \mathbb{Y} ^{'}= \left( \left( \mathbb{X} ^{'} \cup \mathbb{Y} ^{'}\right)' \right) '= \left( \left( \mathbb{X} ^{'}\right) ' \cap \left( \mathbb{Y} ^{'}\right) '\right) '= \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)'.\square}\)


Rozważmy teraz trzy dowolne klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}, \mathbb{Y}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\). Wykażemy prawo rozdzielności przekroju względem sumy, tzn. wykażemy, że:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \left( \mathbb{Y} \cup \mathbb{Z}\right) = \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right) \cup \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Z}\right).}\)

Dowód tego faktu wynika łatwo z definicji działań na klasach i na podstawie prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy.Wykażemy jeszcze drugą rozdzielność, tzn. jeśli mamy trzy dowolne klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}, \mathbb{Y}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), to mamy prawo:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \left( \mathbb{Y} \cap \mathbb{Z}\right)= \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right) \cap \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Z}\right).}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \left( \mathbb{Y} \cap \mathbb{Z}\right) =\left[ \left[ \mathbb{X} \cup \left( \mathbb{Y} \cap \mathbb{Z}\right) \right] ' \right] '= \left[ \mathbb{X} ^{'} \cap \left( \mathbb{Y} \cap\mathbb{Z} \right)' \right] '= \left[ \mathbb{X} ^{'} \cap \left( \mathbb{Y} ^{'} \cup \mathbb{Z}' \right) \right] '= }\)

co jest równe, na mocy rozdzielności przekroju klas względem sumy, to jest równe:

\(\displaystyle{ = \left[ \left( \mathbb{X} ^{'} \cap \mathbb{Y} ^{'} \right) \cup \left( \mathbb{X} ^{'} \cap \mathbb{Z} ^{'} \right) \right] '= \left( \mathbb{X} ^{'} \cap \mathbb{Y} ^{'}\right)' \cap \left( \mathbb{X} ^{'} \cap \mathbb{Z} ^{'}\right)'= \left[ \left( \mathbb{X} ^{'}\right) ^{'} \cup \left( \mathbb{Y} ^{'}\right) ^{'}\right] \cap \left[ \left( \mathbb{X} ^{'}\right) ^{'} \cup \left( \mathbb{Z} ^{'}\right) ^{'} \right] =\left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right) \cap \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Z}\right).\square}\)


Przejdźmy dalej,

wykażemy, że jesli mamy dwie klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), to następujące warunki są równoważne:

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ}}\): \(\displaystyle{ \mathbb{X} \subset \mathbb{Y};}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}}\): \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}=\mathbb{Y}; }\)
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ}}\): \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}=\mathbb{X}; }\)
\(\displaystyle{ 4 ^{\circ}}\): \(\displaystyle{ \mathbb{X} \setminus \mathbb{Y}= \left\{ \right\} ; }\)

Wykażemy najpierw, że dwie klasy są równe, dokładnie wtedy, gdy pierwsza klasa zawiera się w drugiej i druga klasa zawiera się w pierwszej, tzn.:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} =\mathbb{Y} \Longleftrightarrow \mathbb{X} \subset \mathbb{Y} \wedge \mathbb{Y} \subset \mathbb{X}}\). Wynika stąd, że dla dwóch klas \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \neq \mathbb{Y} \longleftrightarrow \mathbb{X} \not\subset \mathbb{Y} \vee \mathbb{Y} \not\subset \mathbb{X}}\),

czyli jedna klasa jest różna od drugiej klasy, dokładnie wtedy, gdy pierwsza klasa nie zawiera się w drugiej lub druga klasa nie zawiera się w pierwszej.

Zauważmy, że dla dwóch klas \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y} }\) mamy: \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\supset \mathbb{X}, \mathbb{Y}}\) (z definicji sumy dwóch klas), i mamy \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \mathbb{Y} \subset \mathbb{X} , \mathbb{Y}}\) (na podstawie definicji przekroju dwóch klas).

Zauważmy jeszcze, że jeśli mamy trzy klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}, \mathbb{Y}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), i klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}, \mathbb{Y} \subset \mathbb{Z}}\), to również \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y} \subset \mathbb{Z}}\), możemy łatwo to udowodnić.

Zauważmy jeszcze, że dla dowolnej klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\), mamy: \(\displaystyle{ \mathbb{X} \subset \mathbb{X}}\)- jest to fakt oczywisty.

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD: (\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} \rightarrow 3^{\circ} \rightarrow 2^{\circ} \rightarrow 4^{\circ} \rightarrow 1^{\circ}).}\)

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\) będą klasami.

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} \rightarrow 3^{\circ}}\) . Aby pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}=\mathbb{X}, }\) to zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\subset \mathbb{X}. }\) Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ x \in \mathbb{X}}\). Z założenia, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \subset \mathbb{Y}}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x\in \mathbb{Y}}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}}\), i \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}=\mathbb{X}. }\)

\(\displaystyle{ 3 ^{\circ} \rightarrow 2^{\circ}.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}=\mathbb{Y}, }\) to zauważmy najpierw, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\supset\mathbb{Y}. }\) Na mocy założenia, podstawiamy za klasę \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) klasę \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}}\), i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}=\left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right) \cup \mathbb{Y}}\), a więc ta klasa, jako suma dwóch klas zawartych w klasie \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), jest zawarta w klasie \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), czyli \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y} \subset \mathbb{Y}}\), i \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}=\mathbb{Y}. }\)

\(\displaystyle{ 2 ^{\circ} \rightarrow 4^{\circ}}\). Aby wykazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \setminus \mathbb{Y}= \left\{ \right\} ; }\) podstawiamy na mocy założenia \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}=\mathbb{Y} }\) pod klasę \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), i otrzymujemy \(\displaystyle{ \mathbb{X} \setminus \mathbb{Y}= \mathbb{X} \setminus \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right) = \left\{ \right\} }\) ; a więc jest to klasa pusta, gdyż każdy zbiór z klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) należy do klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}}\), czyli \(\displaystyle{ \mathbb{X} \setminus \mathbb{Y}= \left\{ \right\}. }\)

\(\displaystyle{ 4 ^{\circ} \rightarrow 1^{\circ}}\). Aby wykazać, że \(\displaystyle{ \mathbb{X} \subset \mathbb{Y},}\) to niech \(\displaystyle{ x\in\mathbb{X};}\) gdyby \(\displaystyle{ x\not\in \mathbb{Y},}\) to mielibyśmy \(\displaystyle{ x\in \mathbb{X} \setminus \mathbb{Y}}\), a więc klasa \(\displaystyle{ \mathbb{X} \setminus \mathbb{Y}}\) byłaby niepusta, co daje sprzeczność z naszym założeniem. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ x\in\mathbb{Y}}\), i \(\displaystyle{ \mathbb{X} \subset \mathbb{Y}.}\)

Wobec czego mamy równoważności: \(\displaystyle{ 1 ^{\circ} \Leftrightarrow 2^{\circ} \Leftrightarrow 3^{\circ} \Leftrightarrow 4^{\circ}.\square }\)


Na koniec wykażemy, że jeżeli mamy trzy klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X},\mathbb{Y}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), i \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \subset \mathbb{X},\mathbb{Y}}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \subset \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}.}\)

Podajmy najpierw lemat mówiący, że jeśli klasa \(\displaystyle{ \mathbb{X} }\) zawiera się w klasie \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), to dla ich dopełnień mamy inkluzję przeciwną, tzn.

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \subset \mathbb{Y} \Longrightarrow \mathbb{X} ^{'} \supset \mathbb{Y} ^{'}}\).

Można to łatwo udowodnić.

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \subset \mathbb{X},\mathbb{Y}}\), więc na mocy faktu przytoczonego powyżej \(\displaystyle{ \mathbb{Z} ^{'}\supset \mathbb{X} ^{'} ,\mathbb{Y} ^{'}}\), czyli \(\displaystyle{ \mathbb{X} ^{'} ,\mathbb{Y} ^{'} \subset \mathbb{Z} ^{'}}\), więc również ich suma zawiera się w klasie \(\displaystyle{ \mathbb{Z} ^{'}}\), czyli \(\displaystyle{ \mathbb{X}' \cup \mathbb{Y}'\subset \mathbb{Z} ^{'}}\); ponieważ dopełnienie przekroju dwóch klas jest równe sumie ich dopełnień, więc \(\displaystyle{ \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)' \subset \mathbb{Z}'}\), a zatem dla ich dopełnień otrzymamy inkluzję odwrotną, czyli: \(\displaystyle{ \mathbb{X}\cap\mathbb{Y} =\left( \left( \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}\right)' \right) '\supset \left( \left( \mathbb{Z}\right)' \right)'=\mathbb{Z}}\), czyli \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \subset \mathbb{X} \cap \mathbb{Y}.\square}\)

Myślę, że można też rozważać taką operację na klasach, która klasie \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) przypisuję klasę \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}}\), tzn. klasę tych wszystkich zbiorów, które należą do pewnego zbioru należącego do tej klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\). Skoro elementami klas są zbiory, a elementami zbiorów są również zbiory, to z każdego zbioru tej klasy gromadzimy zbiory (jako jego elementy), i tak dla każdego zbioru tej klasy, więc możemy również utworzyć klasę tych wszystkich zbiorów, gdyż w pojęciu klasy chodzi o to aby gromadzić zbiory ( dowolnie wiele takich zbiorów) tworząc klasy.

Formalnie, mamy taki aksjomat dla klas, że dla dowolnej formuły \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right)}\) teorii mnogości możemy rozważyć klasę tych wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ x}\), spełniających formulę \(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) }\), tzn. możemy utworzyć klasę:

\(\displaystyle{ \left\{ x: \ \ \alpha \left( x\right) \right\}.}\)

A zatem, dla klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X},}\) definiujemy:

\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X} = \left\{ x: \bigvee\limits_{y} \left( x \in y \in \mathbb{X}\right) \right\}.}\)

Ponieważ elementami klas są zbiory, i ponieważ elementami zbiorów są również zbiory, więc jest to klasa zbiorów.
Myślę więc, że można takie pojęcie rozważać.


Co więcej, w teorii zbiorów, bardzo nietypowym jest (wbrew pozorom), aby, dla rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\), rzadko kiedy: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X}}\) (gdyż taka inkluzja oznacza, że zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) są elementami \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}}\), a więc elementów tych zbiorów; a to przecież elementy tych zbiorów są elementami odpowiednich zbiorów rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\); jednak taka dziwaczna inkluzja jest możliwa w teorii zbiorów). A dla klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\), inkluzja \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}\supset \mathbb{X},}\) jest bardzo prosta:

Niech:

\(\displaystyle{ \mathbb{X}= \left\{ \left\{ x\right\}\Bigl| \ \ x \hbox{ jest zbiorem } \right\}.}\)

Warunek "\(\displaystyle{ x}\) jest zbiorem" może być zastąpiony przez równoważny warunek:

\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{Y} x\in Y,}\)

gdyż elementami klas są zbiory.

Wtedy:

\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}=\left\{ x\Bigl| \ \ x \hbox{ jest zbiorem}\right\}}\),

a więc jest to klasa wszystkich zbiorów, którą oznaczymy jako \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\). Jest to największa, pod względem inkluzji, klasa, bo elementami klas są zbiory, a więc elementy klasy wszystkich zbiorów. A więc w szczególności otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}=\mathbb{K} \supsetneq \mathbb{X}.\square }\)


Ogólnie, jeśli klasa \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) nie jest zbiorem, to klasa \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}}\) również nie jest zbiorem.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Gdyby bowiem klasa \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X}}\) byłaby zbiorem, to moglibyśmy rozważyć jej zbiór potęgowy \(\displaystyle{ P( \bigcup\mathbb{X})}\) (będący istotnie zbiorem). Wtedy, na mocy aksjomatu wybierania, moglibyśmy utworzyć zbiór:

\(\displaystyle{ Y:= \left\{ A\subset \bigcup\mathbb{X}\Bigl| \ \ A\in \mathbb{X}\right\} .}\)

Łatwo jest pokazać, że wtedy klasy \(\displaystyle{ \mathbb{X}= Y}\) są równe. Ponieważ klasa \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem, więc również klasa \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) jest zbiorem- jest to sprzeczność z naszym założeniem.\(\displaystyle{ \square}\)

Również, jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) jest klasą wszystkich zbiorów, to: \(\displaystyle{ \bigcup \left( \mathbb{K} \setminus X \right)\supset \mathbb{K} \setminus X.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Łatwo jest zauważyć, że \(\displaystyle{ X\subset \bigcup\left( \mathbb{K} \setminus X\right) }\), gdyż, na mocy aksjomatu regularności, ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, więc \(\displaystyle{ X \not\in X}\), a więc \(\displaystyle{ X\in \mathbb{K} \setminus X}\), a więc \(\displaystyle{ X \subset \bigcup \left( \mathbb{K} \setminus X\right) .}\)

Pokażemy teraz, że jeśli zbiór \(\displaystyle{ T}\), nie należy do \(\displaystyle{ X}\): \(\displaystyle{ T\not\in X}\), to \(\displaystyle{ T\in \bigcup\left( \mathbb{K} \setminus X \right).}\)

Zauważmy, że na mocy aksjomatu pary możemy utworzyć zbiór \(\displaystyle{ \left\{ T,X\right\}}\), i wtedy: \(\displaystyle{ T\in \left\{ T,X\right\} \not\in X}\)- a ostatni wniosek wynika stąd, gdyż gdyby tak nie było, to wtedy: \(\displaystyle{ X\in \left\{ T,X\right\} \in X}\), a taką 'symetrię należenia' na zbiorach wyklucza aksjomat regularności- sprzeczność.

Wobec czego:

\(\displaystyle{ T \in \left\{ T,X\right\} \not\in X}\), a zatem \(\displaystyle{ \left\{ T,X\right\} \in \mathbb{K} \setminus X}\), a zatem \(\displaystyle{ T\in \left\{ T,X\right\}}\) , gdzie \(\displaystyle{ \left\{ T,X\right\} \in \mathbb{K} \setminus X}\), a zatem \(\displaystyle{ T\in \bigcup \left( \mathbb{K} \setminus X\right)}\),

i \(\displaystyle{ \bigcup\left( \mathbb{K} \setminus X\right)= \mathbb {K}\supset \mathbb{K} \setminus X.\square}\)


I, jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{S}}\) jest klasą wszystkich liczb porządkowych, to \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{S}=\mathbb{S}.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Inkluzja w prawo łatwo wynika z faktu, że każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową.

Dowodzimy inkluzji w lewo:

Jeśli \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{S}}\), wtedy \(\displaystyle{ \alpha}\) jest liczbą porządkową, wtedy \(\displaystyle{ \alpha \cup \left\{ \alpha \right\} }\) jest również liczbą porządkową ( jest to prosty fakt), i wtedy \(\displaystyle{ \alpha \in \alpha \cup \left\{ \alpha \right\} \in \mathbb{S}}\), a zatem \(\displaystyle{ \alpha \in \bigcup\mathbb{S}}\). A zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{S}= \mathbb{S}.\square}\)

Można też rozważać iloczyn kartezjański dwóch klas \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\), dany jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{X} \times \mathbb{Y} = \left\{ \left( x,y\right)= \left\{ \left\{ x\right\}, \left\{ x,y\right\} \right\}\Bigl| \ \ x\in X, y\in Y \right\} . }\)

Łatwo jest zauważyć, że dla klasy \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\) wszystkich zbiorów , mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{K} \times \mathbb{K} \subsetneq \mathbb{K},}\)

gdyż klasa wszystkich zbiorów jest największą klasą, i nie ma równości, gdyż nie każdy zbiór jest parą uporządkowaną w sensie Kuratowskiego, gdyż nie jest nią np. dowolny zbiór trzyelementowy o trzech różnych elementach.

W rachunku zbiorów, odpowiednik tej inkluzji jest możliwy, dla niepustego zbioru \(\displaystyle{ X}\), może zachodzić \(\displaystyle{ X \times X \subset X}\), ale jest to dość nietypowa konstrukcja (ta którą znam), a tu bardzo prosto otrzymaliśmy na klasach inkluzję odpowiednią do tej.


Na koniec wykażemy, że dla dowolnej klasy \(\displaystyle{ X}\), mamy: \(\displaystyle{ X\not\in X.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, to z aksjomatu regularności: \(\displaystyle{ X\not \in X}\).
Jeśli klasa \(\displaystyle{ X}\) nie jest zbiorem, to gdyby byłoby \(\displaystyle{ X\in X}\) , to wtedy klasa \(\displaystyle{ X}\) jako element klasy \(\displaystyle{ X}\) musiałaby być zbiorem- sprzeczność. \(\displaystyle{ \square}\)
Jest to najprostszy dowód świata.

Zapomniałem tutaj, o takim bardzo ciekawym fakcie mówiącym, że przekrój klasy i zbioru (każdy zbiór jest klasą, a możemy rozważać przekrój dwóch klas) jest zbiorem.

No bo jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{Y}}\) jest klasą, a \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, to przekrój \(\displaystyle{ X \cap \mathbb{Y}}\), możemy uzyskać, na mocy aksjomatu wycinania zastosowanego do zbioru \(\displaystyle{ X }\), jako:

\(\displaystyle{ X \cap \mathbb{Y}= \left\{ x \in X: \ \ x \in \mathbb Y \right\}.}\)

Na mocy aksjomatu wycinania przekrój taki jest zbiorem równym \(\displaystyle{ X \cap \mathbb{Y}.\square}\)


Dodam jeszcze (trochę z innej beczki), że wczoraj udowodniłem prawo zbiorów:

\(\displaystyle{ A \cap \left( B\oplus C\right)= \left( A \cap B\right) \oplus \left( A \cap C\right);}\)

gdzie symbol \(\displaystyle{ \oplus}\) oznacza różnicę symetryczną dwóch zbiorów.

Nim to udowodnimy, przypomnijmy, że mamy prawo zbiorów:

\(\displaystyle{ X \cap \left( Y \setminus Z\right) =\left( X \cap Y\right) \setminus \left( X \cap Z\right),}\)

można to łatwo udowodnić.

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ A \cap \left( B\oplus C\right)= A \cap \left[ \left( B \setminus C\right) \cup \left( C \setminus B\right) \right] = \left[ A \cap \left( B \setminus C\right) \right] \cup \left[ A \cap \left( C \setminus B\right) \right] = \left[ \left( A \cap B\right) \setminus \left( A \cap C\right) \right] \cup \left[ \left( A \cap C\right) \setminus \left( A \cap B\right) \right] = \left( A \cap B\right)\oplus \left( A \cap C\right). \\ \square}\)


I, rozpoczynając ten dowód, tak właśnie pomyślałem, aby udowodnić ten fakt innym sposobem, wykorzystując prawo różnicy symetrycznej:

\(\displaystyle{ X\oplus Y= \left( X \cup Y\right) \setminus \left( X \cap Y\right).}\)

I udało się to już zrobić. Oto:

DRUGI DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) \oplus \left( A \cap C\right) = \left[ \left( A \cap B\right) \cup \left( A \cap C \right) \right] \setminus \left[ A \cap B \cap A \cap C \right] = \left[ A \cap \left( B \cup C\right) \right] \setminus \left[ A \cap \left( B \cap C\right) \right] = A \cap \left[ \left( B \cup C\right) \setminus \left( B \cap C\right) \right]= A \cap \left( B\oplus C\right). \square}\)

Jestem miłośnik zbiorów ogólnych.