Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y}\) i \(\displaystyle{ g: Y \rightarrow Z}\) będą funkcjami. Proszę wykazać, że jeśli złożenie \(\displaystyle{ f \circ g: X \rightarrow Z}\) jest bijekcją, to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją, zaś \(\displaystyle{ g}\) jest surjekcją.

Mam:

\(\displaystyle{ g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2\\ \forall_{z\in Z}\exists_{x\in X}\ g(f(x))=z}\)


A chce pokazać:
\(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\\ \forall_{z\in Z}\exists_{y\in Y}\ g(y)=z}\)

W jaki sposób mogę to zrobić ?

W pierwszej kolejności zastanowić się, czy teza jest poprawnie napisana.

W drugiej kolejności wypisać, co chcesz sprawdzić, i wykorzystując założenia to wykazać.

A teza jest źle zapisana ?

Nie wiem jak to wykazać, wydaje się to oczywiste ale ...

W ogólności złożenie \(\displaystyle{ f\circ g}\) przy bieżących oznaczeniach nie ma sensu. Natomiast \(\displaystyle{ g\circ f}\) to... no właśnie, co?

To, co masz wykazać, wcale oczywiste nie jest. Widziałem cuda, jakie ludzie tworzyli, by to dowodzić, więc coś o tym wiem.

Mogę Cię naprowadzić na surjekcję:

Bierzemy \(\displaystyle{ z\in Z}\). Chcemy \(\displaystyle{ y\in Y}\) takie, że \(\displaystyle{ g(y)=z}\). Ale złożenie jest surjekcją, więc mamy \(\displaystyle{ x\in X: g(f(x))=z}\).

Pytanie, co dalej?

Ale to jest treść zadania z egzaminu jakiegoś, więc w temacie jest błąd ?

Motam się i nie wiem jak to zrobić, to może jakaś pomocną literaturę ktoś poda ? Bo inaczej tego nie zrobię ;-/-- 5 lut 2013, o 22:05 --Pomoże ktoś ? To na jutro ;-/

przychodzi mi do głowy Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej - Jacek Gancarzewicz. Tam we wstępie jest ładny dowód

Zapewne jest, niestety nie mam tej książki pod ręką, leży na półce gdzieś daleko.

Mam ochotę podać rozwiązanie, nie wiem czy nie za późno ale a nuż się przyda:

Mamy założenie: \(\displaystyle{ g\circ f}\) bijekcja.

1. Pokażemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest iniekcją. Niech \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) będą dowolne takie, że \(\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2)}\). Ale wtedy również \(\displaystyle{ g(f(x_1))=g(f(x_2))}\) (argumenty są takie same). Z bijektywności złożenia, a dokładniej z iniektywności wynika teraz, że \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), co kończy dowód iniektywności \(\displaystyle{ f}\).

2. Pokażemy, że \(\displaystyle{ g}\) jest surjekcją. Niech \(\displaystyle{ z_0\in Z}\). Szukamy \(\displaystyle{ y_0}\) takiego, że \(\displaystyle{ g(y_0)=z}\). Ponieważ \(\displaystyle{ g\circ f}\) jest surjekcją, to mamy \(\displaystyle{ x_0\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ g(f(x_0))=z}\). Definiujemy zatem \(\displaystyle{ y_0:=f(x_0)}\) Widać teraz, że \(\displaystyle{ g(y_0)=g(f(x_0))=z_0}\). Zatem do dowolnego \(\displaystyle{ z_0}\) dobraliśmy \(\displaystyle{ y_0}\).

Notoryczne błędy w rozwiązywaniu tego typu zadań to próba rozpisania na siłę założeń i dojście do tezy. Bowiem bardzo często kończy się to na albo niczym, albo udowodnieniu czegoś słabszego (pokazania, że istnieje punkt, dla którego coś działa, a nie że działa dla każdego punktu).

P.S. Podręcznik do algebry Gacka przyda się bardzo w toku studiów

yorgin pisze:Notoryczne błędy w rozwiązywaniu tego typu zadań to próba rozpisania na siłę założeń i dojście do tezy.

To jest niestety bardzo częsta przypadłość, biorąca się z niezrozumienia, czym jest dowód.

JK