Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Wykazać, że następujące warunki są równoważne:
\(\displaystyle{ (1) f}\) jest injekcją
\(\displaystyle{ (2)\forall A,B \subset X:f(A \cap B) =f(A) \cap f(B)}\)

Załóżmy, że \(\displaystyle{ A=\{1,2\},B=\{2,3\}}\) (wtedy \(\displaystyle{ A \cap B=\{2\}}\)). Załóżmy też, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą równą 0. Wtedy \(\displaystyle{ f(A \cap B) =f(A) \cap f(B)}\) i \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją, czyli to nie jest równoważność.
Czy ten kontrprzykład ma sens? Z treści nie wynika, że może nie zachodzić równoważność.

Po pierwsze, nie ma czegoś takiego, jak "injekcja funkcji".

Po drugie, twierdzenie jest prawdziwe, a

emong00 pisze: ↑31 paź 2022, o 10:12 Załóżmy, że \(\displaystyle{ A=\{1,2\},B=\{2,3\}}\) (wtedy \(\displaystyle{ A \cap B=\{2\}}\)). Załóżmy też, że \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją stałą równą 0. Wtedy \(\displaystyle{ f(A∩B) =f(A)∩f(B)}\) i \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją, czyli to nie jest równoważność.
Czy ten kontrprzykład ma sens?

kontrprzykład nie ma sensu. Zastanowiłeś się, na co miałby to być kontrprzykład? Któremu z wynikań miałby zaprzeczać?

JK

Dobra trochę pomyślałem o tym, teraz mam pytanie, czy ten dowód jest wystaraczający?

Udowodnię dowodem nie wprost:
1) \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\)
Hp. \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją i \(\displaystyle{ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\)
Skoro \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją to \(\displaystyle{ \exists x_1,x_2, \in X: f(x_1)=f(x_2)=y}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ A=\{x_1\}}\) i \(\displaystyle{ B=\{x_2\}}\).
Wtedy: \(\displaystyle{ f(\{ x_1\} \cap (\{ x_2\} )=\emptyset}\) i \(\displaystyle{ f(\{ x_1\} ) \cap f(\{ x_2\} )=y}\), czyli \(\displaystyle{ f(\{ x_1\} \cap (\{ x_2\} )\neq f(\{ x_1\} ) \cap f(\{ x_2\} )}\)
Czyli \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\)

2) \(\displaystyle{ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow f}\) jest injekcją
Hp. \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją i \(\displaystyle{ f(A \cap B)\neq f(A) \cap f(B)}\)
Skoro \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to \(\displaystyle{ \forall x_1,x_2, \in X: f(x_1)\neq f(x_2)}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ A=\{x_1,x_2\}}\) i \(\displaystyle{ B=\{x_2\}}\).
Wtedy: \(\displaystyle{ f(\{x_1,x_2\} \cap (\{ x_2\} )=f(x_2)}\) i \(\displaystyle{ f(\{x_1,x_2\} ) \cap f(\{ x_2\} )=(f(\{ x_2\} \cup f(\{ x_2\}) \cap f(\{ x_2\} =f(\{ x_2\}}\), czyli \(\displaystyle{ f(\{ x_1\} \cap (\{ x_2\} )=f(\{ x_1\} ) \cap f(\{ x_2\} )}\)
Czyli \(\displaystyle{ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow f}\) jest injekcją

\(\displaystyle{ (f}\) jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)) \wedge (f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \Rightarrow f}\) jest injekcją) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow(f}\) jest injekcją \(\displaystyle{ \Leftrightarrow f(A \cap B)=f(A) \cap f(B))}\)

Czy ten dowód jest wystarczający?

emong00 pisze: ↑3 lis 2022, o 11:41Udowodnię dowodem nie wprost:
1) \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\)
Hp. \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją i \(\displaystyle{ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\)

Źle. Na czym polega założenie nie wprost?

No i zlekceważyłeś kwantyfikator.

emong00 pisze: ↑3 lis 2022, o 11:41 2) \(\displaystyle{ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow f}\) jest injekcją
Hp. \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją i \(\displaystyle{ f(A \cap B)\neq f(A) \cap f(B)}\)

Ta same uwagi, co powyżej.

JK