Matematyka.pl

To jest kontynuacja wpisu Paradoks Hotelu Hilberta

Przedstawię powód, dla którego, mimo krytyki, nadal sądzę, że ilość pokoi w hotelu zapełnianym metodą potęg liczb pierwszych jest nieprzeliczalna.

Konstrukcja takiego hotelu musi spełniać dwa warunki:
1. ilość kroków (pięter) to \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)
2. na piętrze \(\displaystyle{ n}\) znajduje się \(\displaystyle{ 2^n}\) pokoi

\(\displaystyle{ n~~~~pokoje}\)
\(\displaystyle{ 0~~~~1}\)
\(\displaystyle{ 1~~~~2~~3}\)
\(\displaystyle{ 2~~~~4~~5~~6~~7}\)
\(\displaystyle{ 3~~~~8~~9~~10~~11~~12~~13~~14~~15}\)

Powyższe jest też przepisem na konstrukcję zbioru Cantora. Jeśli każdy odcinek w tym zbiorze utożsamimy z jednym pokojem w hotelu, to mamy odwzorowanie jeden do jednego. Wprawdzie pokoje mają inne wymiary i są trochę poprzesuwane, ale przecież metraż nie jest istotny, lecz zgodność z zasadami konstrukcji.

\(\displaystyle{ n~~~~odcinki}\)
\(\displaystyle{ 0~~~~\left[ ===========================1===========================\right]}\)
\(\displaystyle{ 1~~~~[=========2=========]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[=========3=========]}\)
\(\displaystyle{ 2~~~~[==4==]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[==5==]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[==~6==]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[==7==]}\)
\(\displaystyle{ 3~~~~[=8]~~[=9]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[10]~~~~~~~[11]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[12]~~~~~~~~[13]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~[14]~~~~~~~[15]}\)


Zbiór Cantora ma moc continuum. Co teraz z hotelem Hilberta?

WaldekZ pisze: ↑9 wrz 2023, o 01:48Powyższe jest też przepisem na konstrukcję zbioru Cantora. Jeśli każdy odcinek w tym zbiorze utożsamimy z jednym pokojem w hotelu, to mamy odwzorowanie jeden do jednego.

Obawiam się, że niezupełnie rozumiesz czym jest zbiór Cantora. On nie składa się z takich poziomów, tylko jest wszystkich tych poziomów częścią wspólną, a to zupełnie inne bajka. Zatem Twoje odwzorowanie nie jest odwzorowaniem pomiędzy pokojami hotelu i elementami zbioru Cantora.

Innymi słowy, pełne drzewo binarne ma przeliczalnie wiele wierzchołków, ale continuum gałęzi. A Ty starasz się utożsamiać wierzchołki z gałęziami...

JK

PS To samo jeszcze inaczej: skończonych ciągów zerojedynkowych jest przeliczalnie wiele, a nieskończonych - continuum. A Ty mylisz jedne z drugimi.

Jan Kraszewski pisze: ↑9 wrz 2023, o 02:11 On nie składa się z takich poziomów

Nigdy tak nie myślałem. Natomiast przyjąłem bezrefleksyjnie, że zbiór Cantora jako część wspólna, czyli podzbiór każdego ze zbiorów kolejno tworzonych musi być jednym z nich, choćby gdzieś tam daleko, w chmurach...
Końcowa formuła: \(\displaystyle{ intuicja+nieskończoność=piękna~katastrofa}\). Cóż, popełniam błędy, więc jestem. Ty je prostujesz, więc jesteś jakby bardziej.
Dziękuję za cierpliwość i pozdrawiam.

Waldek

WaldekZ pisze: ↑10 wrz 2023, o 22:40Końcowa formuła: \(\displaystyle{ intuicja+nieskończoność=piękna~katastrofa}\).

Podoba mi się to podsumowanie.

JK