Funkcje dwu zmiennych

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Funkcje dwu zmiennych

Post autor: Jakub Gurak »

Rozważmy trzy zbiory \(\displaystyle{ X, Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\). Rozważmy dowolną funkcję \(\displaystyle{ f:X \times Y \rightarrow Z}\).

Dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X,}\) rozważmy cięcie pionowe funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\), tzn. rozważmy obcięcie funkcji \(\displaystyle{ f}\) do odcinka pionowego \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times Y}\):

\(\displaystyle{ f _{x,}:= f _{|\left\{ x\right\} \times Y } = f \cap \left[ \ \left( \left\{ x\right\} \times Y\right) \times Z \ \right] .}\)

A dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in Y}\), rozważmy cięcie poziome funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ y}\), tzn. rozważmy obcięcie funkcji \(\displaystyle{ f}\) do odcinka poziomego \(\displaystyle{ X \times \left\{ y\right\} .}\)

Wczoraj i dzisiaj wykazałem, że jeżeli prócz tego mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X \times Y}\), to obraz tego zbioru przez daną funkcję \(\displaystyle{ f}\) jest równy sumie obrazów wszystkich cięć pionowych funkcji \(\displaystyle{ f}\) tego zbioru \(\displaystyle{ A}\) przekrojonego z dziedziną odpowiednego cięcia pionowego , i suma obrazów wszystkich takich cięć jest równa obrazowi zbioru \(\displaystyle{ A,}\) przez daną funkcję \(\displaystyle{ f}\). Wykazałem również, że dla zbioru \(\displaystyle{ A\subset X \times Y}\), wtedy obraz takiego zbioru przez daną funkcję \(\displaystyle{ f}\) jest równy sumie obrazów wszystkich cięć poziomych tego zbioru \(\displaystyle{ A}\) przekrojonego z dziedziną odpowiedniego cięcia. Dzisiaj wykazałem również, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ B \subset Z}\), to przeciwobraz tego zbioru przez daną funkcję \(\displaystyle{ f}\) jest równy sumie przeciwobrazów wszystkich cięć pionowych tego zbioru (ale tego faktu nie dam Wam rady zilustrować, sam jako tako to widzę, a na papierze to mam to, ale mam to raczej kiepsko zilustrowane, także tego nie dam rady Wam zilustrować, mam kiepską wyobraźnię przestrzenną). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Przypomnijmy, jak mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), oraz funkcję \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\), oraz mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) (i będziemy rozważać obcięcie funkcji \(\displaystyle{ f}\) do zbioru \(\displaystyle{ A}\) ), i gdy mamy jeszcze mniejszy podzbiór \(\displaystyle{ C\subset A}\), to obraz tego zbioru \(\displaystyle{ C}\) przez funkcję daną jest równy obrazowi tego zbioru przez funkcję obcięcia- jest to prosty fakt. A jak prócz tego mamy zbiór na drugiej osi \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to przeciwobraz tego zbioru przez funkcję obcięcia jest równy przeciwobrazowi tego zbioru przez funkcję daną , ale przekrojonemu ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\)- z dziedziną funkcji obcięcia- jest to podobnie prosty fakt.

Te fakty przydadzą nam się. Przejdźmy do dowodów naszych faktów.


Przypomnę może jeszcze, żeby nie narobić zamieszania, oraz żeby nie było kolizji oznaczeń:

Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) będą zbiorami. Niech \(\displaystyle{ f:X \times Y \rightarrow Z}\). Dla takich funkcji wprowadziłem cięcia pionowe \(\displaystyle{ f _{x,}}\) w punkcie \(\displaystyle{ x\in X}\), oraz cięcia poziome \(\displaystyle{ f _{,y}}\) tej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ y\in Y.}\)

Wykażemy, że dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X \times Y}\), mamy:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right)= \bigcup_{x\in X} \stackrel{ \rightarrow }{f _{x,} } \left[ \ A \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y\right) \ \right] }\),

czyli obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez daną funkcję \(\displaystyle{ f}\) jest równy sumie obrazów wszystkich cięć pionowych tego zbioru, ale przekrojonego z dziedziną odpowiedniego cięcia, czyli chodzi o obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przekrojonego z odcinkiem pionowym \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times Y.}\)

DOWÓD TEGO CIEKAWEGO FAKTU:

Ponieważ, dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ x\in X}\), mamy: \(\displaystyle{ f _{x,} = f _{|\left\{ x\right\} \times Y }}\), więc na mocy przytoczonego faktu:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f _{x,} } \left( A \cap \left\{ x\right\} \times Y \right)= \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A \cap \left\{ x\right\} \times Y \right)}\),

a zatem:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}:= \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f _{x,} } \left( A \cap \left\{ x\right\} \times Y \right) : \ \ x\in X\right\}= \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f } \left( A \cap \left\{ x\right\} \times Y \right) : \ \ x\in X\right\} =:\mathbb{B}, }\)

i ponieważ dla danej rodziny zbiorów istnieje tylko jedna jej suma, więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}= \bigcup\mathbb{B}}\), czyli:

\(\displaystyle{ \bigcup_{x\in X} \stackrel{ \rightarrow }{f _{x,} } \left[ A \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y\right) \right]= \bigcup_{x\in X} \stackrel{ \rightarrow }{f } \left[ A \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y\right) \right],}\)

a to jest równe, z własności sumy obrazów, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left[ \bigcup_{x\in X}\left( A \cap \left\{ x\right\} \times Y \right) \right], }\)

a \(\displaystyle{ \bigcup_{x\in X} \left( A \cap \left\{ x\right\} \times Y\right) = A}\),
DOWÓD TEGO FAKTU::    
więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\stackrel{ \rightarrow }{f} (A).\square }\)

I mamy też taki fakt, że dla zbioru \(\displaystyle{ A \subset X \times Y}\), mamy równość symetryczną do powyższej:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right)= \bigcup_{y\in Y} \stackrel{ \rightarrow } {f _{,y} } \left( A \cap X \times \left\{ y\right\} \right).}\)

Można to udowodnić w sposób symetryczny jak powyżej, dowód tego faktu jest symetryczny do tamtego.


Wykażemy jeszcze, że dla zbioru \(\displaystyle{ B\subset Z}\) (przypominam, dana funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ Z}\) ), mamy:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } (B) = \bigcup_{x\in X} \stackrel { \rightarrow }{f _{x,} ^{-1} } \left( B\right).}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Na mocy przytoczonego faktu, mamy, dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\), mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f _{x,} ^{-1} }(B) = \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} }(B) \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y \right)}\),

a zatem:

\(\displaystyle{ \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f _{x,} ^{-1} }(B) : \ x\in X\right\}= \left\{ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} }(B) \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y \right): \ x\in X\right\}}\),

i dalej, ponieważ dla rodziny zbiorów istnieje tylko jedna jej suma, więc:

\(\displaystyle{ \bigcup_{x\in X} \stackrel{ \rightarrow }{f _{x,} ^{-1} }(B) = \bigcup_{x\in X} \left[ \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} }(B) \cap \left( \left\{ x\right\} \times Y \right) \right] =\stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right) \cap \bigcup_{x\in X} \left( \left\{ x \right\} \times Y\right) = \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right) \cap \left[ \left( \bigcup_{x\in X} \left\{ x\right\} \right) \times Y\right] = \\ = \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right) \cap \left( X \times Y\right) \stackrel{f:X \times Y \rightarrow Z}{=} \stackrel{ \rightarrow }{f ^{-1} } \left( B\right).\square}\) :D 8-)
ODPOWIEDZ