a4karo pisze: ↑13 gru 2023, o 08:26
Niech `B=[0,2]`, a wykres funkcji będzie łamana łączącą punkty `(0,2), (1,1), (2,4)`.
Na mocy Twojej konstrukcji za przedzał `B_1` możesz wziąć `[0,1]` i obojętnie co dalej zrobisz punkt graniczny `a` będzie leżał w tym przedziale. A wartośc maksymalna jest osiągnięta w punkcie `2`.
Przepraszam.
Pomyślę nad tym jak to poprawić.
Dodano po 2 dniach 2 godzinach 39 minutach 49 sekundach:
Przed chwilą udało się poprawić dowód tego faktu. Przedstawię teraz ten dowód tego faktu.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Załóżmy, że
\(\displaystyle{ a<b}\) (w przypadku, gdy
\(\displaystyle{ a=b}\), to twierdzenie jest oczywiste).
Definiujemy indukcyjnie ciąg
\(\displaystyle{ \left( B_n\right)}\) malejących przedziałów domkniętych:
\(\displaystyle{ B_0=B= \left[ a,b\right];}\)
i mając w
\(\displaystyle{ n}\)-kroku przedział domknięty
\(\displaystyle{ B_n= \left[ a_n, b_n\right]}\), gdzie
\(\displaystyle{ a \le a_n \le b}\) i
\(\displaystyle{ a \le b_n \le b}\), to dzielimy go na dwa równej długości podprzedziały
\(\displaystyle{ B'_n}\) i
\(\displaystyle{ B ''_{n}}\) domknięte (pierwszy lewy, drugi prawy), i definiujemy:
\(\displaystyle{ B _{n+1}= B ''_{n}}\), gdy: obraz
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( B'_n \right)}\) jest ograniczony od góry w zbiorze
\(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( B'' _{n} \right)}\), tzn. gdy istnieje taki element
\(\displaystyle{ a \in B ''_{n}}\), że:
\(\displaystyle{ f\left( a\right) \ge f\left( x\right)}\), dla każdego elementu
\(\displaystyle{ x \in B '_{n}}\) ;
oraz definiujemy:
\(\displaystyle{ B _{n+1}= B'_{n},}\) w przeciwnym przypadku.
Czyli rozważamy prawą połowę danego przedziału, w przypadku, gdy istnieje w nim punkt
\(\displaystyle{ a}\), taki, że wartość
\(\displaystyle{ f\left( a\right)}\) przewyższa (niekoniecznie w sposób istotny- mamy tutaj słabą nierówność) wszystkie wartości
\(\displaystyle{ f\left( x\right)}\), dla argumentów
\(\displaystyle{ x}\) z lewej połowy tego danego przedziału. W przeciwnym przypadku bierzemy lewą połowę takiego przedziału.
Na mocy twierdzenia o definiowaniu przez indukcję otrzymujemy ciąg przedziałów malejących:
\(\displaystyle{ B_0\supset B_1 \supset B_2\supset \ldots}\) Ponieważ długości tych przedziałów dążą do
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}= 0}\), to istnieje punkt prostej
\(\displaystyle{ a \in \bigcap_{n \in \NN} B_n \subset B_0=B}\) wspólny dla tych wszystkich przedziałów.
Ponieważ funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, to w szczególności jest ciągła w punkcie
\(\displaystyle{ a}\), a więc istnieje granica
\(\displaystyle{ S:= \lim_{ x\to a} f\left( x\right)= f\left( a\right) \in \RR}\). Zauważmy, że z definicji indukcyjnej tego ciągu przedziałów domkniętych, wynika, że: gdy bierzemy przedział
\(\displaystyle{ B''_n}\), to dla pewnego
\(\displaystyle{ a \in B''_n}\), mamy:
\(\displaystyle{ f\left( a\right) \ge f\left( x\right)}\), dla każdego
\(\displaystyle{ x \in B'_n}\), czyli istnie punkt
\(\displaystyle{ a}\) tego przedziału, taki, że wartość funkcji na nim przewyższa wszystkie wartości funkcji dla argumentów z drugiej polowy przedziału.
Natomiast, gdy bierzemy przedział
\(\displaystyle{ B'_n}\), to to oznacza, że każda wartość
\(\displaystyle{ f\left( a\right)}\), gdzie
\(\displaystyle{ a \in B''_n}\), jest silnie mniejsza od pewnej wartości
\(\displaystyle{ f(x)}\), gdzie
\(\displaystyle{ x \in B'_n}\). A zatem (w obydwu przypadkach) każda wartość funkcji na argumencie z drugiego odrzuconego przedziału jest mniejsza lub równa od pewnej wartości osiąganej w zachowanej połówce przedziału. A zatem, w kolejnych przedziałach będą pojawiały się wartości funkcji coraz to większe. A zatem:
\(\displaystyle{ f\left( a\right) = \lim_{ x\to a } f\left( x\right) \ge f\left( x\right),}\) dla każdego
\(\displaystyle{ x \in B= \left[ a,b\right] , }\) a więc wartość
\(\displaystyle{ f\left( a\right)}\) jest wartością największą tej funkcji.
Istnienie wartości najmniejszej takich funkcji wynika z części udowodnionej powyżej:
Rozważamy funkcje
\(\displaystyle{ g: \left[ a,b\right] \rightarrow \RR}\), daną jako:
\(\displaystyle{ g\left( x\right) = -f\left( x\right).}\)
Ponieważ funkcja
\(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą, to również funkcja
\(\displaystyle{ g}\) jest funkcją ciągłą, a zatem, na mocy części udowodnionej powyżej, zbiór
\(\displaystyle{ g_P}\) ma element największy
\(\displaystyle{ g\left( x\right)=:y}\), gdzie
\(\displaystyle{ x \in \left[ a,b\right] .}\) Wtedy
\(\displaystyle{ \left( -y\right)}\) jest wartością najmniejszą funkcji
\(\displaystyle{ f= \left( -g\right).\square}\) 
Dodano po 3 miesiącach 10 dniach 1 godzinie 33 minutach 47 sekundach:
W książce 'Co to jest matematyka' natrafiłem na prosty dowód (albo może raczaj na proste uzasadnienie) podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, i chciałbym je zrozumieć, chyba jednak kluczowy moment tego dowodu jest dla mnie niejasny, szczerze mówiąc.
Rozważmy funkcję ciągłą
\(\displaystyle{ y= f\left( w\right)}\), gdzie
\(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \RR _{+} }\) jest funkcją ciągłą.
Rozważmy trzy liczby
\(\displaystyle{ a<x<x _{1}; }\)
i rozważmy wartość najmniejszą
\(\displaystyle{ m}\) tej funkcji w przedziale
\(\displaystyle{ \left[ x; x _{1} \right] }\) (na mocy twierdzenia Weierstrassa istnieje taka najmniejszą wartość); i rozważmy wartość największą
\(\displaystyle{ M}\) tej funkcji w tym przedziale (otrzymaną znowu na mocy twierdzenia Weierstrassa).
I nie rozumiem tej dosłownie kilku-słownej gadki ('Co to jest matematyka', R. Courant i H. Robbins, str. 549):
jeżeli \(\displaystyle{ x _{1} }\) dąży do \(\displaystyle{ x,}\) to zarówno \(\displaystyle{ M}\) jak i \(\displaystyle{ m}\) dążą do wartości \(\displaystyle{ f\left( x\right). }\)
A przecież może być taka sytuacja, że taka wartość największa (albo najmniejsza) funkcji jest osiągana w tylko jednym punkcie, to jak można wtedy tutaj mówić o granicy?? O co tu chodzi
W ogóle: co to jest za matematyka, gdzie trzeba
czarować, aby odtworzyć
dogłębne rozumowanie, ja jasnowidzem się nie urodziłem
Ale może ktoś ma pomysł aby to wyjaśnić??
