Przypomnijmy ("Opowieści o zbiorach", tylko nie pamiętam nazwiska autora, a książki nie mam już pod ręką), że figura \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2}}\) ma pole równe zero, gdy dla dowolnie małej liczby dodatniej \(\displaystyle{ R \in \RR _{+}}\) można utworzyć obszar wielokątny zawierający naszą figurę \(\displaystyle{ A}\) o polu nie większym od liczby \(\displaystyle{ R}\).
Np. pole dowolnego odcinka jest równe zero, bo jeśli dany odcinek ma długość \(\displaystyle{ a>0}\), to dla \(\displaystyle{ R>0}\), wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ b:= \frac{R}{a}}\), i wystarczy zbudować odpowiedni prostokąt o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) przykrywający ten dany odcinek. W tej samej książce uzasadniono również, że pole okręgu jest równe zero wpisując w ten okrąg i opisując na tym okręgu wielokąty foremne.
Wykażemy teraz, że pole dowolnej elipsy jest równe zero.
Rozważmy elipsę na płaszczyźnie o półosiach \(\displaystyle{ a,b>0}\).
Niech \(\displaystyle{ R \in \RR _{+}.}\)Znajdziemy elipsę o tych samych ogniskach, i o deczko większych półosiach, tzn. znajdziemy elipsę o półosiach \(\displaystyle{ a'}\) i \(\displaystyle{ b'}\), tak żeby pole poniższego pierścienia eliptycznego:\(\displaystyle{ \\}\)
było nie większe od liczby \(\displaystyle{ R}\).
Niech \(\displaystyle{ \frac{a}{b}:=k}\), i niech:
\(\displaystyle{ b'= \sqrt{ \frac{R}{2 \pi k}+ b ^{2}}}\):
POCHODZENIE PONIŻSZEGO WZORU, I DALSZY DOWÓD::
Rozważmy sferę:
\(\displaystyle{ S:= \left\{ \left( x,y,z\right) \in \RR ^{3}\Bigl| \ \ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2}=1\right\}.}\)
Wykażemy, że jej objętość \(\displaystyle{ M\left( S\right)}\) jest równa zero.
Oto:
EKSCYTUJĄCY DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech:
\(\displaystyle{ K= \left\{ \left( x,y,z\right) \in \RR ^{3}: \ x ^{2}+ y ^{2} +z ^{2} \le 1\right\};}\)
będzie kulą jednostkową.
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ M\left( S\right) \neq 0}\). Ponieważ miara mierząca objętość figury przyjmuje zawsze wartości nieujemne, to \(\displaystyle{ a:=M\left( S\right)>0}\). Definiujemy teraz ciąg sfer o środku w początku układu:
\(\displaystyle{ S _{n}= S \cdot \left( \frac{1}{ \sqrt[3]{n+1} } \right) = \left\{ \left( \frac{x}{ \sqrt[3]{n+1} }; \frac{y}{ \sqrt[3]{n+1} }; \frac{z}{ \sqrt[3]{n+1} } \right)\Bigl| \ \ \left( x,y,z\right) \in S \right\}.}\)
Mamy istotnie: \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n+1} \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ n+1 \neq 0}\), bo \(\displaystyle{ n \in \NN}\).
Mamy \(\displaystyle{ S_0= S \subset K}\), bo \(\displaystyle{ x ^{2}+ y ^{2}+z ^{2}=1 \le 1}\).
Ogólniej, mamy: \(\displaystyle{ S _{n} \subset K}\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego), bo jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) \in S}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{\left( n+1\right) ^{ \frac{2}{3} } } + \frac{y ^{2} }{ \left( n+1\right) ^{ \frac{2}{3} } }+\frac{z ^{2} }{ \left( n+1\right) ^{ \frac{2}{3} } }=;}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ n+1 \ge 1}\), to \(\displaystyle{ \left( n+1\right) ^{2/3} \ge 1, }\) a zatem, to jest nie większe niż:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{1}+ \frac{y^2}{1}+ \frac{z^2}{1}\stackrel{\left( x,y,z\right) \in S }{=}1}\).
A zatem otrzymujemy \(\displaystyle{ S_n \subset K}\), i to dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego.
Łatwo jest zauważyć, że \(\displaystyle{ n}\)-ta sfera \(\displaystyle{ S_n}\) jest sferą o środku w początku układu i promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{n+1} }.}\) Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n \neq m}\), mamy \(\displaystyle{ n+1 \neq m+1}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ y= \sqrt[3]{x}}\) jest różnowartościowa, więc \(\displaystyle{ \sqrt[3]{n+1} \neq \sqrt[3]{m+1}}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ y= \frac{1}{x}}\) (dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)) jest różnowartościowa, więc \(\displaystyle{ \frac{1} { \sqrt[3]{n+1} } \neq \frac{1}{ \sqrt[3]{m+1} }}\), a zatem, dla \(\displaystyle{ n \neq m,}\) sfery \(\displaystyle{ S_n}\) i \(\displaystyle{ S_m}\) będą rozłączne, jako sfery o tym samym środku i o różnych promieniach. W związku z czym:
\(\displaystyle{ M\left( \bigcup_{n \in \NN} S_n\right) =\sum_{n \in \NN} M\left( S_n\right) = \sum_{n \in \NN} \left[ \left( \frac{1}{ \sqrt[3]{n+1} } \right) ^{3} \cdot M\left( S\right)\right]= \sum_{n \in \NN} \frac{a}{n+1}= a \cdot \sum_{n \in \NN} \frac{1}{n+1}=}\)
i ponieważ \(\displaystyle{ a>0}\), a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} \frac{1}{n+1} }\) jest rozbieżny do \(\displaystyle{ \left( +\infty\right);}\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
Ponieważ dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego: \(\displaystyle{ S_n \subset K}\), więc również \(\displaystyle{ \bigcup_{n} S_n \subset K}\), a zatem:
\(\displaystyle{ M\left( K\right) \ge M \left( \bigcup_{n} S_n\right)= \left( + \infty \right).}\)
A zatem również \(\displaystyle{ M\left( K\right) =\left( + \infty\right)}\). A \(\displaystyle{ K}\) jest kulą o promieniu jeden, więc jej objętość jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 2 ^{3}=8}\)- sprzeczność. Wobec czego objętość sfery \(\displaystyle{ S}\) jest równa zero\(\displaystyle{ .\square}\)
Wykażemy jeszcze, zgodnie z zapowiedzią, że miara Lebesgue'a na prostej, co najwyżej przeliczalnego podzbioru prostej jest równa zero, i wykażemy podobne dwa fakty dla pola figur co najwyżej przeliczalnych na płaszczyźnie, i dla objętości figur co najwyżej przeliczalnych w przestrzeni trójwymiarowej.
Aby wykazać, że miara skończonego niepustego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x_1; x_2; \ldots; x_n\right\} \subset \RR}\) jest równa zero, skorzystamy z faktu, mówiącego, że jeśli \(\displaystyle{ x \in \RR}\), to miara zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) jest równa zero. A zatem:
\(\displaystyle{ m\left( \left\{ x_1; x_2; \ldots; x_n \right\} \right) = m\left( \bigcup_{i=1}^{n} \left\{ x_i\right\} \right)=}\)
i ponieważ różne zbiory jednoelementowe są rozłączne, więc miara tej sumy jest równa:
\(\displaystyle{ = \sum_{i=1}^{n} m\left\{ x_i\right\} = \sum_{i=1}^{n} 0=\underbrace{0+0+\ldots+0} _{n \hbox { razy }}= 0.}\)
A jeśli mamy zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ A \subset \RR}\), to z definicji równoliczności istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow A \subset \RR}\), a więc możemy te elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\) ponumerować: \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \ldots.}\)
Wtedy: ponieważ każdy niepusty zbiór jest równy sumie wszystkich jego jednoelementowych podzbiorów, więc:
\(\displaystyle{ m\left( A\right)= m \left( \bigcup_{a \in A} \left\{ a\right\}\right) =}\)
i ponieważ różne zbiory jednoelementowe są rozłączne, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = \sum_{a \in A} m\left\{ a\right\} = \sum_{a \in A} 0= \sum_{n \in \NN} 0= 0}\),
co mogę dokładnie udowodnić, jak ktoś chcę, ale chyba to jest znany fakt, że suma szeregu zerowego jest równa zero, więc również miara zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równa zero.
Z powyższych dwóch faktów otrzymujemy, że jeśli \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to jego miara Lebesgue'a jest równa zero.
W analogiczny sposób dowodzimy, że pole niepustego skończonego podzbioru płaszczyzny jest równe zero (korzystając z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \RR ^{2}}\), to pole zbioru \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,y\right) \right\}}\) jest równe zero, bo:
\(\displaystyle{ P \left\{ \left( x,y\right) \right\}= P\left( \underbrace{\left\{ x\right\}}_{ \subset \RR} \times \underbrace{\left\{ y\right\}}_{ \subset \RR} \right)= m \left\{ x\right\} \cdot m \left\{ y\right\} = 0 \cdot 0=0;}\)
), i w podobny sposób, jak powyżej, dowodzimy, że pole przeliczalnego podzbioru płaszczyzny jest równe zero;
i podobnie dowodzimy fakt dla objętości co najwyżej przeliczalnych podzbiorów przestrzeni trójwymiarowej.
