Matematyka.pl

Zastanawia mnie jak dokładnie udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest niepustym skończonym zbiorem częściowo uporządkowanym, to istnieje w \(\displaystyle{ X}\) element maksymalny.
Intuicyjnie to jest to zrozumiałe: Wyciągamy z niepustego zbioru jeden element i jeśli jest to element maksymalny, to koniec dowodu, a jeśli nie, to możemy dobrać do niego element większy... A więc gdyby nie było tutaj elementu maksymalnego, to można byłoby utworzyć nieskończony rosnący łańcuch będący jednak podzbiorem \(\displaystyle{ X}\) (zbioru skończonego) -sprzeczność. Nie wiem jednak jak w sposób ścisły taki dowód należałoby przeprowadzić -potrzebuje to do mojej książki (a boję się, czy próbując sam zrobić ten dowód czy nie zrobię tutaj jakiejś istotnej luki). Czy może ktoś przeprowadzić poprawny szkic dowodu tego faktu??

Indukcja po mocy zbioru \(\displaystyle{ X}\). Jak chcesz dokładniej, to Twierdzenie 6.8 w mojej książce.

JK