Matematyka.pl

Udowodnij :
\(\displaystyle{ \text{dom}\,(S \cup T ) = \text{dom}\,(S) \cup \text{dom}\,(T). }\)

No i jaki masz problem z tym dowodem? Korzysta on z definicji dziedziny relacji i ma jedną linijkę.

JK

Lewą dziedzinę relacji \(\displaystyle{ R}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\) będę oznaczał jako \(\displaystyle{ R_L}\).
I tak, dla relacji \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\):

Jeśli \(\displaystyle{ x \in \left( S \cup T\right) _{L}}\), to \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S \cup T}\), gdzie \(\displaystyle{ y \in Y}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\) lub \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in T.}\) Jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\), to \(\displaystyle{ x \in S_L}\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ x \in S_L \cup T_L}\). A jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y\right)\not\in S}\), to musi być \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in T}\), skąd \(\displaystyle{ x \in T_L}\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ x \in S_L \cup T_L}\), co dowodzi inkluzji w prawą stronę.

Jeśli \(\displaystyle{ x \in S_L}\), to \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S}\), gdzie \(\displaystyle{ y \in Y}\). Wtedy tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in S\cup T}\), skąd \(\displaystyle{ x \in \left( S \cup T\right)_L. }\)
Analogicznie rozumujemy, gdy \(\displaystyle{ x \in T_L}\), co kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\)

Zadanie:
Uogólnij to prawo na dowolną skończoną ilość relacji \(\displaystyle{ R_1, R_2, \ldots, R_n}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\), tzn. wykaż prawo tych relacji:

\(\displaystyle{ \left( R_1 \cup R_2 \cup \ldots \cup R_n \right) _{L}= \left( R_1\right) _{L} \cup \left( R_2\right)_L \cup \ldots \cup \left( R_n\right) _{L};}\)

tzn. lewa dziedzina sumy tych \(\displaystyle{ n}\) relacji jest równa sumie ich lewych dziedzin.

Wskazówka:
Użyj indukcji matematycznej, poprzez indukcje ze względu na ilość relacji.

I dalej, wykaż prawo relacji \(\displaystyle{ R_1, R_2,\ldots,R_n}\), ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\):

\(\displaystyle{ \left( R_1 \cup R_2 \cup \ldots \cup R_n\right) _P= \left( R_1\right) _P \cup \left( R_2\right) _{P} \cup \ldots \cup \left( R_n\right)_P. }\)

Tzn. prawa dziedzina sumy tych \(\displaystyle{ n}\) relacji jest sumą ich prawych dziedzin.

Wskazówka:

Użyj prawa relacji (chyba mojego ulubionego):

\(\displaystyle{ \left( R ^{-1} \right) ^{-1}=R}\),

oraz użyj prawa relacji:

\(\displaystyle{ \left( R_1 \cup R_2 \cup \ldots \cup R_n\right) ^{-1}=\left( R_1\right) ^{-1} \cup \left( R_2\right) ^{-1} \cup \ldots \cup \left( R_n\right) ^{-1},}\)

które to prawo mówi, że relacja odwrotna do sumy \(\displaystyle{ n}\) relacji jest sumą relacji odwrotnych, oraz użyj prawa mówiącego, że lewa dziedzina relacji odwrotnej jest równa prawej dziedzinie relacji danej, i na odwrót;
-i stąd łatwo wynika to prawo.

Jan Kraszewski pisze: ↑29 paź 2023, o 15:02 No i jaki masz problem z tym dowodem? Korzysta on z definicji dziedziny relacji i ma jedną linijkę.

JK

Jak widzisz, niekoniecznie jedną

a4karo pisze: ↑29 paź 2023, o 22:19Jak widzisz, niekoniecznie jedną

Pisałem o dowodzie, a nie o JG-dowodzie. Choć oczywiście jedna linijka to znaczki, komentarz trochę to wydłuża (choć nie aż tak).

Zresztą tak myślałem, że Jakub nie będzie mógł się powstrzymać i napisze gotowca.

JK

To już kompletny OT, ale gdybym dostał takiego gotowca i przepisał do arkusza egzaminacyjnego, to egzaminator by mnie spuścił na drzewo.