Dowód na równoliczność zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Veanty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 25 lis 2022, o 18:59
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 4 razy

Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: Veanty »

Robię jedno z zadań i natknąłem się na problem, którego nie jestem w stanie rozwiązać:

Dla danych zbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) udowodnij, że \(\displaystyle{ |A| = |B|}\), znajdując bijekcję z \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ B}\) lub z \(\displaystyle{ B}\) na \(\displaystyle{ A}\), jeśli: \(\displaystyle{ A = \NN, B = \NN \setminus \{5, 10, 11, 12, 13\}.}\)

Znam pojęcie bijekcji, jednakże nadal nie jestem w stanie tego udowodnić.
Z góry dziękuję za pomoc.
Ostatnio zmieniony 28 lis 2022, o 19:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: Janusz Tracz »

Niech \(\displaystyle{ C=\NN \setminus \left( \PP_{ \ge 17} \cup \left\{ 5,10,11,12,13\right\}\right) }\). Czyi liczby naturalne bez liczb pierwszych większych od \(\displaystyle{ 17}\) oraz kilku liczb których niechcemy w obrazie. Funkcja dana wzorem

\(\displaystyle{ \phi(x)=\begin{cases}17 & x=\red{5} \\ 19 & x=\red{10} \\23 & x=\red{11} \\
29 & x=\red{12} \\
31 & x=\red{13} \\
37 & x=\phi(13)& =31 \\
41 & x=\phi(\phi(13))&=37 \\
43 & x=\phi(\phi(\phi(13))) &= 41
\\
\cdots \\
x & x\in C
\end{cases} }\)

wygląda na bijekcję pomiędzy \(\displaystyle{ \NN}\), a \(\displaystyle{ \NN \setminus \left\{ 5,10,11,12,13\right\} }\).

Patrz rysunek. Ogólny pomysł jest taki, że zbiory \(\displaystyle{ \NN}\) oraz \(\displaystyle{ \NN \setminus \left\{ \text{kilka elementów}\right\} }\) są bardzo podobne. Więc "zwykle" \(\displaystyle{ \text{id}}\) będzie dobra jako bijekcja. Ale mamy kilka niechcianych elementów w przeciwdziedzinie (czerwone \(\displaystyle{ x}\)-sy). Więc wybrałem zbiór nieskończony którego najmniejszy element jest większy od największego niechcianego \(\displaystyle{ x}\)-sa (zielony zbiór). Więc idę sobie identycznością, aż napotkam pierwszego niechcianego gościa w przeciwdziedzinie. Wtedy zapisać przypisać mu właśnie tę niechcianą wartość przypisuję pierwszą wartość z zielonego zbioru. I kontynuuję, aż znów nie spotkam niechcianej wartości. Po pewnym skończonym czasie przypiszę ostatniej niechcianej wartości coś z zielonego zbioru unikając tym samym kłopotu, iż wartość ta miała by się znaleźć w obrazie. Jednak po pewnym czasie w dziedzinie zacznę napotykać zielone wartości którym nie będę mógł przypisać tego samego by nie popsuć injektywności. To jednak nie problem bo zbiór zielony był nieskończony więc mogę przypisać wartość najmniejszą z zielonego zbioru która nie została jeszcze wykorzystana.

Przechwytywanie.PNG
Ostatnio zmieniony 28 lis 2022, o 20:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz, Ty to lubisz sobie życie komplikować...

Nie prościej byłoby po prostu wziąć funkcję \(\displaystyle{ f:B\to A}\) zadaną wzorem
$$f(n)= \begin{cases} n&\text{dla }n\le 4 \\ n-1 &\text{dla }6\le n\le 9\\ n-5&\text{dla }n\ge 14\end{cases} $$
?

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: Janusz Tracz »

Jan Kraszewski pisze: 28 lis 2022, o 19:31 Janusz Tracz, Ty to lubisz sobie życie komplikować...
Ano lubię. Myślałem, że koniecznie w tę stronę chcemy robić bijekcję. Nawet nie przeczytałem dokładnie tematu tylko zobaczyłem słowa kluczowe: \(\displaystyle{ \left| A\right|=\left| B\right| }\), bijekcja, \(\displaystyle{ A = \NN, B = \NN \setminus \{5, 10, 11, 12, 13\}}\) i pomyślałem, że mnie wyprzędziesz w odpowiedzi jak nie napiszę nic przez następne 3 minuty lub a4karo spyta się z czym masz problem, a ja zostanę z postem który jest gotowcem i głupio teraz dodać.

PS proszę zmienisz oznaczenie zbioru \(\displaystyle{ A}\) na Twoją ulubioną literkę w mojej odpowiedzi. Bo teraz zobaczyłem, że \(\displaystyle{ A}\) to już się nazywał jedn zbiór w zadaniu i dziwnie to wygląda, a ja już nie mogę edytować.
Ostatnio zmieniony 28 lis 2022, o 20:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 28 lis 2022, o 19:56PS proszę zmienisz oznaczenie zbioru \(\displaystyle{ A}\) na Twoją ulubioną literkę w mojej odpowiedzi. Bo teraz zobaczyłem, że \(\displaystyle{ A}\) to już się nazywał jedn zbiór w zadaniu i dziwnie to wygląda, a ja już nie mogę edytować.
Zmienione.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: a4karo »

Prawie bez liczeni widać, że poszukiwaną bijekcją jest `x+(1+|x-4|-|x-5|)/2+2(1+|x-8|-|x-9|)`.
Drugi składnik dodaje ekstra `1` dla `x>4`, a trzeci dodaje czwórkę dla `x>8`.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: Jan Kraszewski »

Czyli innymi słowy jest to funkcja \(\displaystyle{ f:A\to B}\) zadaną wzorem
$$f(x)= \begin{cases} x&\text{dla }x\le 4 \\ x+1 &\text{dla }5\le x\le 8\\ x+5&\text{dla }x\ge 9\end{cases} $$
i jest to funkcja odwrotna do mojej funkcji. I niech teraz Veanty sam wybierze, która wersja najbardziej do niego przemawia...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Dowód na równoliczność zbiorów

Post autor: a4karo »

Ale bez klamerek :lol: i do tego jednym wzorkiem :mrgreen:
ODPOWIEDZ