Dopełnienie zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Dopełnienie zbioru

Post autor: Jakub Gurak »

Udowodniłem wczoraj, że jeśli mamy zbiór oraz gdy mamy dwa jego podzbiory, to dopełnienie różnicy tych dwóch podzbiorów jest nadzbiorem różnicy dopełnień tych dwóch podzbiorów. Wykazałem również, że wtedy różnica symetryczna tych dwóch podzbiorów jest równa różnicy symetrycznej ich dopełnień. Łatwo stąd wynika, że dopełnienie różnicy symetrycznej jest zbiorem rozłącznym z różnicą symetryczną ich dopełnień.

Wykazałem też już kiedyś, taki fakt, że dla dowolnej relacji spójnej w zbiorze, dopełnienie relacji spójnej jest relacją antysymetryczną. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\).

Wykażemy, że \(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right) '\supset A' \setminus B'}\)-

czyli wykażemy, że dopełnienie różnicy tych dwóch podzbiorów jest nadzbiorem różnicy dopełnień tych dwóch zbiorów.

I wykażemy, że:

\(\displaystyle{ A' \setminus B'=B \setminus A.}\)


DOWÓD PIERWSZEGO Z TYCH FAKTÓW:

Niech \(\displaystyle{ x\in A' \setminus B'}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A'}\) i \(\displaystyle{ x\not\in B'.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A'}\), to \(\displaystyle{ x\not\in A}\), a zatem \(\displaystyle{ x\not\in A \setminus B}\), ale \(\displaystyle{ x\in A'\subset X}\), wobec czego \(\displaystyle{ x\in X}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in \left( A \setminus B\right)'}\), i \(\displaystyle{ A' \setminus B' \subset \left( A \setminus B\right)'.\square}\)

DOWÓD DRUGIEGO Z TYCH FAKTÓW:

Zauważmy, że obydwa zbiory z tej równości są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc aby pokazać, że są równe, wystarczy pokazać, że dowolny element \(\displaystyle{ x\in X}\), on należy do zbioru po lewej stronie równości, wtedy i tylko wtedy, gdy należy do zbioru po prawej stronie.

Niech zatem \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ x \in A' \setminus B' \Leftrightarrow x \in A' \wedge x\not\in B' \stackrel{x\in X} {\Leftrightarrow } x\not\in A \wedge x\in B \Leftrightarrow x\in B \setminus A.}\)

A zatem (patrz komentarz powyżej):

\(\displaystyle{ A' \setminus B'=B \setminus A. \square}\)

Wynika stąd, że poprzedniej inkluzji nie można zastąpić równością, inkluzja w drugą stronę nie musi zachodzić.


Rozważmy teraz zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\). Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ A\oplus B=A'\oplus B',}\)

czyli, że różnica symetryczna tych dwóch podzbiorów jest równa różnicy symetrycznej ich dopełnień.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy :

\(\displaystyle{ A\oplus B=\left( A \setminus B\right) \cup \left( B \setminus A\right)= \left( A \setminus B\right) \cup \left( A' \setminus B'\right)=}\)

gdzie ostatnia równość wynika z faktu udowodnionego powyżej.

Dalej, stosując ten sam fakt, tym razem do pary zbiorów \(\displaystyle{ \left( B,A\right)}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ B' \setminus A'=A \setminus B}\).

A zatem:

\(\displaystyle{ A\oplus B=\left( A \setminus B\right) \cup \left( A' \setminus B'\right)= \left( B' \setminus A' \right) \cup \left( A' \setminus B'\right)= \left( A' \setminus B'\right) \cup \left( B' \setminus A'\right)= A' \oplus B'.\square}\)

Wynika stąd, że dopełnienie różnicy symetrycznej tych dwóch podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem rozłącznym z różnicą symetryczną ich dopełnień, i suma tych dwóch zbiorów daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), gdyż:

zbiór \(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right)'}\) jest zbiorem rozłącznym z \(\displaystyle{ A\oplus B= A'\oplus B' }\) (z własności dopełnienia), a więc również zbiór \(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right) '}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A'\oplus B'.}\)

I mamy, z własności dopełnienia:

\(\displaystyle{ \left( A\oplus B\right)' \cup \left( A'\oplus B'\right)=\left( A\oplus B\right)' \cup \left( A\oplus B\right)=X. \square}\)


Ostatnimi czasy badałem na ile sposobów zbiór można przedstawić w postaci sumy dwóch podzbiorów, albo jeśli mamy zbiór oraz podzbiór, to na ile sposobów ten podzbiór można przedstawić w postaci przekroju dwóch podzbiorów całego zbioru, albo na ile sposobów ten podzbiór można przedstawić w postaci różnicy dwóch podzbiorów całego zbioru. Pasuje jeszcze zatem zbadać poniższy problem:

Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\), to na ile sposobów zbiór \(\displaystyle{ A}\) można przedstawić w postaci dopełnienia pewnego zbioru \(\displaystyle{ B\subset X}\)??

To jednak jest proste, można to zrobić zawsze tylko na jeden sposób:

Bierzemy zbiór \(\displaystyle{ A'=X \setminus A\subset X}\), i wtedy \(\displaystyle{ (A')'=A.}\)

I jest to jedyny sposób, bo:

jeśli \(\displaystyle{ A=B_1^{'}}\), gdzie \(\displaystyle{ B_1\subset X}\) , i \(\displaystyle{ A=B_2^{'}}\), gdzie \(\displaystyle{ B_2\subset X}\), to:

to \(\displaystyle{ B_1^{'}=A= B_2^{'}}\), a zatem:

\(\displaystyle{ B_1=\left( B_1^{'} \right)'= \left( B_2^{'}\right)' =B_2}\),

czyli \(\displaystyle{ B_1=B_2}\),

a więc zawsze jest tylko jeden taki sposób, i zawsze jest dokładnie jeden taki sposób.


Wykażemy jeszcze, że dopełnienie relacji spójnej jest relacją antysymetryczną, tzn.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ R}\) relacją spójną w zbiorze \(\displaystyle{ X}\). Wykażemy, że relacja \(\displaystyle{ R'=(X \times X) \setminus R}\) jest relacją antysymetryczną.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Jeśli \(\displaystyle{ R'=\emptyset}\) jest relacją pustą, to jest to relacja antysymetryczna.

Załóżmy dalej, że to dopełnienie jest relacją niepustą. Wtedy również cały zbiór \(\displaystyle{ X}\) musi być niepusty- wystarczy wyciągnąć z niepustej relacji \(\displaystyle{ R'}\) parę \(\displaystyle{ (x,y)\in R'}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in (R')_L\subset X}\), a więc \(\displaystyle{ x\in X}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ X }\) musi być niepusty.

Przypuśćmy nie wprost, że relacja \(\displaystyle{ R' }\) nie jest antysymetryczna. Oznacza to, i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest niepusty, więc otrzymujemy, że relacja zawiera pewne pary \(\displaystyle{ (x,y); (y,x) \in R' }\), gdzie \(\displaystyle{ x \neq y}\), i gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\). Wtedy \(\displaystyle{ (x,y)\not\in R}\) i \(\displaystyle{ (y,x)\not\in R}\), a \(\displaystyle{ R}\) jest relacją spójną, więc otrzymujemy sprzeczność. \(\displaystyle{ \square}\) 8-)


Mamy tez taki prosty fakt, że jeśli mamy prostokąt \(\displaystyle{ X \times Y}\), oraz gdy mamy mniejszy prostokąt \(\displaystyle{ A \times B}\), gdzie \(\displaystyle{ A\subset X, B\subset Y}\), to:

\(\displaystyle{ (A \times B)' :=\left( X \times Y\right) \setminus \left( A \times B\right) =( \left( X \setminus A=:A' \right) \times Y) \cup \left( X \times \left( B':=Y \setminus B \right) \right).}\)

Jest to prosty fakt.

Wynika z niego, że jeśli mamy prostokąt \(\displaystyle{ Y \times X}\), oraz gdy mamy zbiór na pierwszej osi \(\displaystyle{ A\subset Y}\), to:

\(\displaystyle{ \left( A \times X\right)'= \left( Y \times X\right) \setminus \left( A \times X\right) = A' \times X = \left( Y \setminus A\right) \times X}\),

gdyż, na mocy powyżej przytoczonego faktu, mamy:

\(\displaystyle{ (A \times X)'= (A' \times X ) \cup \left( Y \times X' \right)= (A' \times X) \cup (Y \times \emptyset)=A' \times X.\square}\) 8-)
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Dopełnienie zbioru

Post autor: Jakub Gurak »

Jakub Gurak pisze: Rozważmy teraz zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\). Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ A\oplus B=A'\oplus B',}\)

czyli, że różnica symetryczna tych dwóch podzbiorów jest równa różnicy symetrycznej ich dopełnień.
Możemy zatem udowodnić ten fakt w inny sposób, udowodniłem to wczoraj sobie na dobranoc. Choć zdaje sobie sprawę, że jest to sposób taki trochę "na około", ale dzięki temu mogę zastosować prawo różnicy symetrycznej:

\(\displaystyle{ A\oplus B=\left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right). }\)

Oto ciekawszy dowód tego faktu.

Przypomnijmy, jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz dwa jego podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to mamy prawo:

\(\displaystyle{ A' \setminus B'=B \setminus A.}\)

Udowodniłem ten fakt w poście powyżej, i jest to prosty fakt.


Przejdźmy do dowodu naszego faktu.

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa jego podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X.}\) Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ A\oplus B=A'\oplus B',}\)

czyli wykażemy, że różnica symetryczna tych dwóch podzbiorów jest równa różnicy symetrycznej ich dopełnień.

CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, na mocy praw de Morgana:

\(\displaystyle{ A'\oplus B'=\left( A' \cup B'\right) \setminus \left( A' \cap B'\right)=\left(A \cap B\right)' \setminus \left( A \cup B\right)'=\left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right)=A\oplus B.\square}\) 8-) :D
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Dopełnienie zbioru

Post autor: Jakub Gurak »

Okazuje się, dzisiaj to udowodniłem, że mając prawo mówiące, że jeśli mamy zbiór, oraz dwa jego podzbiory, to mając udowodnione prawo de Morgana mówiące, że dopełnienie przekroju tych dwóch zbiorów jest równe sumie ich dopełnień, to drugiego prawa de Morgana mówiącego, że dopełnienie sumy dwóch podzbiorów danego zbioru jest równe przekrojowi ich dopełnień, tego prawa nie musimy już go udowadniać w sposób analogiczny. Wystarczy tu jedynie pierwsze prawo de Morgana oraz prawo mówiące, że dopełnienie dopełnienia podzbioru danego zbioru jest równe temu podzbiorowi. Przedstawię teraz dowód tego faktu.

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz dwa jego pozbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X.}\) Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)'=A' \cap B', }\)

czyli wykażemy, że dopełnienie sumy tych dwóch podzbiorów jest równe przekrojowi ich dopełnień. Oto:

CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)'=\left( \left( A'\right)' \cup \left( B'\right)' \right) '= }\)

I ponieważ suma dopełnień dwóch podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest równa dopełnieniu przekroju tych dwóch zbiorów, a mamy, na podstawie definicji dopełnienia, mamy \(\displaystyle{ A',B' \subset X,}\) więc to jest równe:

\(\displaystyle{ = \left( \left( A' \cap B'\right)' \right)'= A' \cap B'.\square }\) 8-) :lol:
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Dopełnienie zbioru

Post autor: Jakub Gurak »

Okazuje się, że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), oraz dwie dowolne relacje z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to mając udowodnione prawo, mówiące, że relacja odwrotna do sumy tych dwóch relacji jest sumą relacji odwrotnych, oraz mając prawo mówiące, że relacja odwrotna do dopełnienia danej relacji jest dopełnieniem relacji odwrotnej, to stąd już łatwo wynika prawo mówiące, że relacja odwrotna do przekroju dwóch relacji jest przekrojem relacji odwrotnych, wczoraj to udowodniłem . Nie musimy tego faktu udowadniać w sposób analogiczny jak dla sumy dwóch relacji. Przedstawię teraz ciekawszy dowód tego faktu:


Niech \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) będą zbiorami, a \(\displaystyle{ R, S}\) niech będą dowolnymi relacjami z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\).

Wykażemy prawo:

\(\displaystyle{ \left( R \cap S\right) ^{-1}= R ^{-1} \cap S ^{-1}.}\)

Czyli wykażemy, że relacja odwrotna do przekroju dwóch relacji jest przekrojem relacji odwrotnych. Oto:

CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy (dla relacji \(\displaystyle{ T}\) między dwoma zbiorami przez \(\displaystyle{ T^{'}}\) będę oznaczał dopełnienie tej relacji do odpowiedniego prostokąta kartezjańskiego), i mamy wtedy:

\(\displaystyle{ R ^{-1} \cap S ^{-1}= \left( \left( R ^{-1} \right)' \right)' \cap \left( \left( S ^{-1} \right)' \right) '= \left( \left( R ^{-1} \right)' \cup \left( S ^{-1} \right)' \right)'= }\)

i ponieważ relacja odwrotna do dopełnienia danej relacji jest dopelnieniem relacji odwrotnej, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\left( \left( R ^{'} \right) ^{-1} \cup \left( S ^{'} \right) ^{-1} \right) '= }\)

i ponieważ relacja odwrotna do sumy dwóch relacji jest sumą relacji odwrotnych, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =\left( \left( R ^{'} \cup S ^{'}\right) ^{-1} \right) '= \left( \left( R ^{'} \cup S ^{'} \right)' \right) ^{-1}= \left[ \left( R ^{'} \right) ' \cap \left( S ^{'} \right) '\right] ^{-1} = \left( R \cap S\right) ^{-1}. \square}\) :lol: 8-)
Ostatnio zmieniony 31 paź 2022, o 23:04 przez Jakub Gurak, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Dopełnienie zbioru

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 31 paź 2022, o 22:49 CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU:
(...)

6 linijek + skorzystanie z innych twierdzeń
Krótszy (lecz zapewne mniej ciekawy) dowód tego faktu:

Dla dowolnej pary \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in X\times Y }\) mamy

\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in\left( R \cap S\right) ^{-1} \Leftrightarrow \left\langle y,x\right\rangle\in R \cap S \Leftrightarrow \left\langle y,x\right\rangle\in R \land \left\langle y,x\right\rangle\in S \Leftrightarrow \left\langle x,y\right\rangle\in R^{-1} \land \left\langle x,y\right\rangle\in S^{-1} \Leftrightarrow \left\langle x,y\right\rangle\in R ^{-1} \cap S ^{-1},}\)

co kończy dowód.

3 linijki, korzystamy tylko z definicji.

Swoiste rozumienie "ciekawości dowodu". Oczywiście, zapewne można skorzystać jeszcze z innych, równie zbędnych twierdzeń i napisać jeszcze "ciekawszy", dwa razy dłuższy dowód. Tylko po co?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Dopełnienie zbioru

Post autor: Jakub Gurak »

Wczoraj wieczorem zbadałem następujący problem:

Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mamy dwa jego podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to zbadałem kiedy dopełnienie różnicy tych dwóch podzbiorów jest równe różnicy ich dopełnień. A no dokładnie wtedy, gdy te dwa podzbiory są rozłączne i pokrywają cały zbiór \(\displaystyle{ X}\) (czyli gdy \(\displaystyle{ A \cup B=X}\)).
Niedawno też łatwo wykazałem, że jeśli mamy zbiór, oraz mamy dwa jego podzbiory, to dopełnienie sumy tych dwóch podzbiorów jest równe sumie ich dopełnień (oczywiście nie zawsze), lecz dokładnie wtedy, gdy te dwa podzbiory są równe. Podobnie, dopełnienie przekroju dwóch podzbiorów danego zbioru, jest równe przekrojowi ich dopełnień, dokładnie wtedy, gdy te dwa podzbiory są równe. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.


Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X. }\)
Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)'= A' \cup B' \Leftrightarrow A=B,}\)

czyli wykażemy, że dopełnienie sumy tych dwóch podzbiorów jest równe sumie dopełnień (nie zawsze), lecz dokładnie wtedy, gdy te dwa podzbiory są równe.

Zauważmy najpierw, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D,}\) mamy:

\(\displaystyle{ C \cup D= C \cap D \Leftrightarrow C=D.}\)

Przejdźmy do dowodu naszego faktu:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, na mocy praw de Morgana:

\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right)' = A' \cup B' \Leftrightarrow \left( A \cup B\right) '= \left( A \cap B\right) ' \Leftrightarrow A \cup B=A \cap B \Leftrightarrow A=B.\square}\)

Oto ILUSTRACJA TEGO FAKTU: \(\displaystyle{ \\}\)
Dopełnienie  sumy równe sumie dopełnień.jpg
Na drugim rysunku zakreskowane obszary oznaczają puste obszary, a to oznacza, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równe. \(\displaystyle{ \\}\) W podobny sposób możemy udowodnić prawo (dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A,B \subset X}\)), mamy wtedy:

\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) '= A' \cap B' \Leftrightarrow A=B,}\)

czyli wtedy dopełnienie przekroju tych dwóch podzbiorów jest równe przekrojowi ich dopełnień, dokładnie wtedy, gdy te dwa podzbiory są równe.

Dowód tego faktu jest symetryczny do powyższego.

Wykażemy jeszcze, że:

Jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to mamy prawo:

\(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right)'= \left( A' \setminus B'\right) \Longleftrightarrow A \cup B= X \hbox{ i } A \cap B =\emptyset,}\)

tzn. wykażemy, że dopełnienie różnicy tych dwóch podzbiorów jest równe różnicy ich dopełnień (nie zawsze ), lecz dokładnie wtedy, gdy te dwa podzbiory są rozłączne i gdy pokrywają cały zbiór \(\displaystyle{ X}\) ( to ostatnie oznacza, że \(\displaystyle{ A \cup B=X}\)).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Mamy, na mocy faktu z pierwszego postu tego wątku, mamy:

\(\displaystyle{ \left( A \setminus B\right)' = A' \setminus B'= B \setminus A \Longleftrightarrow B \setminus A= \left( A \setminus B\right)' ,}\)

co zachodzi dokładnie wtedy, na mocy własności dopełnienia, gdy zbiory \(\displaystyle{ B \setminus A}\) i \(\displaystyle{ A \setminus B}\) są rozłączne i sumują się do całego zbioru \(\displaystyle{ X}\), co oznacza, ponieważ pierwsza własność jest zawsze spełniona, więc to oznacza (drugą własność ), czyli że:

\(\displaystyle{ X= \left( B \setminus A\right) \cup \left( A \setminus B\right) = A\oplus B= \left( A \cup B\right) \setminus \left( A \cap B\right) \Longleftrightarrow \left( A \cup B\right)'=\emptyset \hbox{ i } A \cap B=\emptyset \Longleftrightarrow A \cup B=\left( \left( A \cup B\right)'\right) '= \emptyset ^{'}= X \hbox{ i } A \cap B=\emptyset.\square }\) 8-)

Łatwo też można zauważyć, że jak mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa jego podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), to następujące warunki są równoważne:

\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} \ A \cup B= X; }\)
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ} A\supset B';}\)
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ} B\supset A';}\)

tzn. suma tych dwóch podzbiorów daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), dokładnie wtedy, gdy pierwszy zbiór zawiera dopełnienie drugiego, i co zachodzi również dokładnie wtedy, gdy drugi zbiór zawiera dopełnienie pierwszego, oto ILUSTRACJA TEGO FAKTU:\(\displaystyle{ \\}\)
Suma dwóch podzbiorów daje cały zbiór.jpg
\(\displaystyle{ \\}\)
Na koniec wykażemy prawo zbiorów:

\(\displaystyle{ X \setminus \left( Y \cup Z\right) = \left( X \setminus Y\right) \cap \left( X \setminus Z\right) ,}\)

przy pomocy praw de Morgana:

PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) będą zbiorami.

Zauważmy najpierw, że zarówno zbiór po lewej stronie równości, jak i oba składniki przekroju po prawej stronie, są podzbiorami zbioru \(\displaystyle{ X}\), więc niech \(\displaystyle{ U=X}\) będzie naszą przestrzenią.

Mamy, na mocy praw de Morgana:

\(\displaystyle{ X \setminus \left( Y \cup Z\right)= \left( Y \cup Z\right) '=Y' \cap Z' = \left( X \setminus Y\right) \cap \left( X \setminus Z\right).\square}\) :lol:

Dodano po 2 miesiącach 1 dniu 13 minutach 11 sekundach:
Wykazałem wczoraj, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\) oraz niepustą rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jego podzbiorów, to dopełnienie sumy tej rodziny jest równe sumie dopełnień zbiorów tej rodziny (oczywiście nie zawsze), lecz dokładnie wtedy, gdy ta rodzina składa się z tylko jednego zbioru. Podobnie, wykazałem wczoraj na dobranoc, że dla niepustej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) dopełnienie przekroju tej rodziny jest równe przekrojowi dopełnień zbiorów tej rodziny (nie zawsze), lecz dokładnie wtedy, gdy ta rodzina jest jednozbiorowa. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) niepustą rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

Mamy wtedy, na mocy praw de Morgana, mamy wtedy równoważność:

\(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}\right)'= \bigcup_{A \in \mathbb{B}} A' \Longleftrightarrow \bigcap_{A \in \mathbb{B}} A' = \bigcup_{ A \in \mathbb{B}} A'.}\)

Przypomnijmy, że dla rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), mamy: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}= \bigcap\mathbb{A}}\), tylko wtedy, gdy rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest jednozbiorowa (lub pusta).

A zatem, ponieważ dla rodziny:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}= \left\{ A': \ \ A \in \mathbb{B}\right\},}\)

mamy:

\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}= \bigcap\mathbb{A},}\)

więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest jednoelementowa lub pusta, ale ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta, więc również rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest niepusta (z jej definicji łatwo to wynika).

A zatem rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest jednoelementowa, a więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest co najmniej jednoelementowa; ale jeśli \(\displaystyle{ A_1, A_2 \in \mathbb{B}}\), to z definicji rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\): \(\displaystyle{ A'_1 , A'_2\in \mathbb{A}}\), a ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest jednoelementowa, (więc jest co najwyżej jednoelementowa), więc: \(\displaystyle{ A'_1=A'_2}\); a zatem:

\(\displaystyle{ A_1= \left( A'_1\right) '= \left( A'_2\right)'= A_2}\),

a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le 1}\), i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest jednoelementowa;

a wtedy, jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B} = \left\{ A\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ A \subset X}\), to wtedy:

\(\displaystyle{ \left( \bigcup\mathbb{B}\right)'= \left( \bigcup \left\{ A\right\} \right)'= A', }\) i

\(\displaystyle{ \bigcup_{B \in \mathbb{B}} B'= \bigcup_{B \in \left\{ A\right\} } B'= \bigcup \left\{ A'\right\} = A'= \left( \bigcup\mathbb{B}\right)'.}\)

Czyli, dla niepustej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) dopełnienie sumy tej rodziny jest równe sumie dopełnień zbiorów tej rodziny (nie zawsze), lecz dokładnie wtedy, gdy ta rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest jednoelementowa.\(\displaystyle{ \square}\)


Wykażemy w skrócie podobny fakt dla przekrojów mnogościowych.

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) niepustą rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\).

Wtedy, na mocy praw de Morgana, mamy równoważność:

\(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb{B}\right) '= \bigcap_{A \in \mathbb{B}} A' \Longleftrightarrow \bigcup_{A \in \mathbb{B}} A' = \bigcap_{A \in \mathbb{B}} A';}\)

a zatem, dla rodziny zbiorów:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}= \left\{ A'\Bigl| \ \ A \in \mathbb{B}\right\} }\),

mamy:

\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}= \bigcap\mathbb{A}}\),

a zatem rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest jednoelementowa lub pusta, a ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) z założenia jest niepusta, więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) również jest niepusta.

A zatem rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest jednoelementowa, więc ponieważ dopełnienie dopełnienia danego zbioru jest równe temu danemu zbiorowi, więc również rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest jednoelementowa.

I wtedy, dla \(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ A\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A \subset X}\), mamy:

\(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb{B}\right) '= \left( \bigcap \left\{ A\right\} \right) '= A'}\), i
\(\displaystyle{ \bigcap_{B \in \mathbb{B}} B'= \bigcap_{B \in \left\{ A\right\} } B'= \bigcap \left\{ A'\right\} = A' .}\)

A zatem, dla niepustej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) dopełnienie przekroju tej rodziny jest równe przekrojowi dopełnień zbiorów tej rodziny (nie zawsze), lecz dokładnie wtedy, gdy ta rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) składa się z tylko jednego zbioru.\(\displaystyle{ \square}\)


Na koniec dodam takie zadanie pochodzące z ważniaka:

Czy istnieje niepusty zbiór \(\displaystyle{ A}\), oraz funkcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), taka, ze \(\displaystyle{ f=f ^{-1}}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest identycznością na zbiorze \(\displaystyle{ A}\)??

No bo dla dowolnego niepustego zbioru \(\displaystyle{ A}\) (np. dla \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} }\)) identyczność \(\displaystyle{ I_A}\) oczywiście spełniałaby całą resztę zadania, bo identyczność \(\displaystyle{ I_A}\) jest funkcją \(\displaystyle{ I_A:A \rightarrow A}\) daną jako: \(\displaystyle{ I_A\left( x\right) =x}\), i mamy formalnie \(\displaystyle{ \left( I_A\right) ^{-1}= I_A}\), i jest to identyczność na zbiorze \(\displaystyle{ A.}\)

Odpowiedzmy na trudniejsze pytanie, tak aby funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie była identycznością.

Istnieje, wystarczy wziąć: \(\displaystyle{ A= \left\{ 0,1\right\}}\) oraz funkcję \(\displaystyle{ f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\), która zerze przypisuje jeden, a jedynce przypisuje zero.
Formalnie niech: \(\displaystyle{ f=\left\{ \left( 0,1\right); \left( 1,0\right) \right\} }\).
Wtedy \(\displaystyle{ f:\left\{ 0,1\right\} \rightarrow \left\{ 0,1\right\}}\), i wtedy:
\(\displaystyle{ f ^{-1}= \left\{ \left( 1,0\right) ; \left( 0,1\right) \right\} = \left\{ \left( 0,1\right);\left( 1,0\right) \right\} =f}\),

i funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest identycznością na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} }\), bo zerze nie przypisuje zera tylko jeden. \(\displaystyle{ \square}\) 8-)
ODPOWIEDZ