Matematyka.pl

Witam, prosze o pomoc w zadaniu.
\(\displaystyle{ X=\{1,2,3,4,5,6\}}\)
Czy relacja \(\displaystyle{ R=\{(A,B)\in(P(X),P(X)):A\cup B=X\land A\cap B=\emptyset\}}\) jest:
1) odwzorowaniem
2) nie jest funkcja
3) funkcja ale nie odwzorowaniem

Uwazam ze np. \(\displaystyle{ (\{1,2\};\{3,4,5,6\}), (\{1,2,3,4,5,6\};\emptyset)}\) spelniaja oba warunki wiec jest to relacja.
Zastanawiam sie jednak czy jest to odwzororwanie?

sl0dkign0mek pisze: ↑19 lis 2023, o 21:20Uwazam ze np. \(\displaystyle{ (\{1,2\};\{3,4,5,6\}), (\{1,2,3,4,5,6\};\emptyset)}\) spelniaja oba warunki wiec jest to relacja.

To zdanie nie ma sensu - przecież ta relacja jest relacją, bo jest relacją...

sl0dkign0mek pisze: ↑19 lis 2023, o 21:20Zastanawiam sie jednak czy jest to odwzororwanie?

Najpierw musisz napisać, jak definiujesz funkcję i odwzorowanie - te pojęcia są często utożsamiane, więc najpierw musisz podać używane przez Ciebie definicje.

JK

Funkcją prowadzącą ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\) nazywamy relację
\(\displaystyle{ f \subseteq X\times Y}\) taką, że
\(\displaystyle{ \forall 𝑥\in X\forall y_1,y_2\in Y[(x, y_1) \in f\land (x, y_2) \in f \Rightarrow y_1 = y_2]}\)
warunek prawostronnej jednoznaczności.

Odwzorowaniem zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\) nazywamy funkcję \(\displaystyle{ f: X\to Y}\) taką że \(\displaystyle{ D_f=X.}\)
Przez potęgę: zbiór do potęgi zbioru rozumiemy rodzinę \(\displaystyle{ Y^X = \{f: X\to Y: f − \text{ odwzorowanie}\}.}\)

Na tym forum wyrażenia matematyczne zapisujemy za pomocą \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-a (instrukcja: latex.htm), a nie tablicy znaków.

A wracając do zadania, to jakie masz przemyślenia? Bo ta pierwsza próba była raczej nieudana (albo chciałaś napisać co innego, niż napisałaś).

JK

Wedlug mnie to ta relacja jest funkcją, ale nie do konca rozumiem jak okreslic czy jest tez odwzorowaniem

sl0dkign0mek pisze: ↑19 lis 2023, o 21:59 Wedlug mnie to ta relacja jest funkcją,

To dobra intuicja, ale argument, który próbowałaś podać, jest do niczego.

sl0dkign0mek pisze: ↑19 lis 2023, o 21:59 ale nie do konca rozumiem jak okreslic czy jest tez odwzorowaniem

Zrozumieć, co to za funkcja (np. można zapisać ją wzorem).

JK

W takim razie, będzie to też odwzorowanie ponieważ, dziedziną są podzbiory zbioru X, dobrze to rozumiem?

Dziedziną na pewno nie są "podzbiory zbioru \(\displaystyle{ X}\)", co najwyżej zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) (czyli zbiór potęgowy zbioru \(\displaystyle{ X}\)).

To cały czas jest na poziomie intuicji. Umiesz uzasadnić, dlaczego tak jest? Pomijając już kwestię uzasadnienia, dlaczego jest to funkcja, bo tego też nie uzasadniłaś.

JK

Jest funkcją ponieważ dla każdego argumentu istnieje tylko jedna wartość.
Jest odwzorowaniem (?) ponieważ każdy element ze zbioru wszystkich podzbiorów zbioru X jest dziedziną tej funkcji, czyli ma konkretną wartość (?)

sl0dkign0mek pisze: ↑19 lis 2023, o 22:38 Jest funkcją ponieważ dla każdego argumentu istnieje tylko jedna wartość.

No to jest argument w stylu "jest funkcją bo jest funkcją". JAKA jest ta jedyna wartość?

sl0dkign0mek pisze: ↑19 lis 2023, o 22:38 Jest odwzorowaniem (?) ponieważ każdy element ze zbioru wszystkich podzbiorów zbioru X jest dziedziną tej funkcji, czyli ma konkretną wartość (?)

To już fatalnie. Stwierdzenie "każdy element ze zbioru wszystkich podzbiorów zbioru X jest dziedziną tej funkcji" oznacza, że nie rozumiesz, co piszesz. Elementy zbioru potęgowego są argumentami, a nie dziedzinami tej funkcji. No i podobnie jak powyżej w tym stwierdzeniu nie ma żadnej treści.

JK

To w jaki sposób powinnam to uzasadniać?

Skoro uważasz, że to funkcja, to powinnaś przede wszystkim zrozumieć, co to za funkcja (nawiasem mówiąc, to bardzo znana funkcja...).

Jeżeli twierdzisz, że każdemu elementowi zbioru \(\displaystyle{ P(X)}\) przypisana jest dokładnie jedna wartość (czyli - formalnie - każdy element \(\displaystyle{ A\in P(X)}\) jest pierwszą współrzędną dokładnie jednej pary \(\displaystyle{ (A,B)}\)), czyli że jest to odwzorowanie, to powinnaś wskazać, jaka jest to wartość. A do tego trzeba zrozumieć te znaczki, czyli definicję tej relacji.

JK

Zastanów się jakie podzbiory są w relacji z ustalonym zbiorem `A`. Ile ich jest