Matematyka.pl

Mam liniowy porządek \(\displaystyle{ \langle X, \leq \rangle}\) i dowolne \(\displaystyle{ A, B \subseteq X }\).
Czy jeśli istnieje sup\(\displaystyle{ (A\cup B)}\), to istnieją sup\(\displaystyle{ A}\) i sup\(\displaystyle{ B}\)?

Myśle, że nie. Kontr-przykład:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{Q} }\) i niech \(\displaystyle{ A = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 \leq 2\}}\), \(\displaystyle{ B = \{ x \in \mathbb{Q} : x^2 \leq 4\}}\). Oczywiście, \(\displaystyle{ \leq}\) jest liniowym porządkiem w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Wtedy
sup\(\displaystyle{ (A\cup B) = 2}\), bo \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) i sup\(\displaystyle{ B = 2}\) (tak zdefiniowałem te zbiory). sup\(\displaystyle{ A = \sqrt{2}}\), ale \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) nie należy do liczb wymiernych \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) i wtedy sup\(\displaystyle{ A}\) nie istnieje.

Czy mój dowód jest poprawny?

Imho jest ok. Pomysł z wykorzystaniem dziur w \(\displaystyle{ \QQ}\) jest dobry. Może wystarczy też zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ \left\langle X, \le \right\rangle }\) to porządek bez najmniejszego elementu to supremum \(\displaystyle{ A=\varnothing}\) nie istnieje. Biorąc dowolny \(\displaystyle{ B}\) z supremum dostaniemy sprzeczność.

PS ja tego nie umiem. Tylko se pisze na forum z nudów.

Tak, to dobry kontrprzykład (bez dywizu). JK

Za to mamy fakt odwrotny (jeśli dobrze pamiętam), mówiący, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right), }\) jeśli zbiór \(\displaystyle{ A \subset X}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee A,}\) i zbiór \(\displaystyle{ B \subset X}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee B}\), to zbiór \(\displaystyle{ A \cup B}\) ma supremum i to równe większej z tych dwóch wartości: \(\displaystyle{ \bigvee \left( A \cup B\right)= max\left( \bigvee A, \bigvee B\right)}\).

Prawdą jest również, że jeśli istnieje supremum \(\displaystyle{ A \cup B}\), to przynajmniej jedno z supremów \(\displaystyle{ \sup A}\), \(\displaystyle{ \sup B}\) istnieje i jest równe \(\displaystyle{ \sup(A \cup B)}\).