Wczoraj wieczorem udowodniłem, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz podzbiór \(\displaystyle{ A \subset X,}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ \left( A _{n} \right) _{n \in \NN} }\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), ciąg zbiorów malejących pod względem inkluzji (tzn.: \(\displaystyle{ A _{0}\supset A _{1}\supset A _{2} \supset\ldots }\)), i gdy każdy zbiór tego ciągu zawiera zbiór \(\displaystyle{ A}\), to dla zbioru \(\displaystyle{ X _{0}:= \bigcap_{n \in \NN}A _{n} }\) (wtedy, na mocy własności przecięcia i na mocy naszych założeń: \(\displaystyle{ A \subset \bigcap_{n \in \NN} A _{n} = X _{0} }\) ), to pierścień \(\displaystyle{ S:=X _{0} \setminus A}\) zbioru \(\displaystyle{ X_0}\) i zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równy przekrojowi ciągu pierścieni \(\displaystyle{ \left( B _{n} \right) _{n \in \NN}, }\) gdzie \(\displaystyle{ B _{n}=A _{n} \setminus A, }\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, i wtedy \(\displaystyle{ \bigcap_{n \in \NN} B _{n}=S. }\)
Jednak, tym razem, dowód tego faktu jest elementarny, gdyż mamy prosty ogólny fakt, mówiący, że:
Lemat 0:
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb {B}}\) niepustą rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), i \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem, to mamy równość:
\(\displaystyle{ \left( \bigcap\mathbb {B} \right) \setminus A= \bigcap_{B \in \mathbb {B}} \left( B \setminus A\right), }\)
DOWÒD TEGO FAKTU::
Mamy też taki fakt (wyczytany ze "Wstępu do matematyki współczesnej" Heleny Rasiowej), mówiący, że:
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, i mamy ciąg \(\displaystyle{ \left( A _{n} \right) _{n \in \NN} }\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), ciąg zbiorów rosnący pod względem inkluzji, to suma tego ciągu zbiorôw jest równa sumie innego ciągu pierścieni, tzn. dla ciągu zbiorów \(\displaystyle{ \left( B _{n} \right) _{n \in \NN}, }\) danego jako:
\(\displaystyle{ B _{0}= A _{0},}\)
\(\displaystyle{ B _{1}= A _{1} \setminus A _{0},}\)
\(\displaystyle{ B _{2}= A _{2} \setminus A _{1},}\)
\(\displaystyle{ \vdots}\)
Czyli poczynając od \(\displaystyle{ n=1}\), mamy:
\(\displaystyle{ B_n= A _{n} \setminus A _{n-1}, }\)
i wtedy, dla takiego ciągu zbiorów mamy:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} B _{n}= \bigcup_{n \in \NN} A _{n}, }\)
Czyli suma tego ciągu zbiorów jest równa sumie rosnącego ciągu zbiorów \(\displaystyle{ \left( A _{n} \right) _{n \in \NN} , }\) danego na wejściu.
Nie zrobie tym razem rysunku, gdyż mój komputer jest w naprawie( piszę z tabletu, a tu nie da rady zrobić rysunku ).
Na koniec dodam jeden prosty fakt ( pochodzący również ze Wstępu do matematyki Heleny Rasiowej).
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz ciąg \(\displaystyle{ \left( A _{n} \right) _{n \in \NN _{+} } }\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\).
Wtedy suma \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN _{+} } A _{n},}\) tego ciągu zbiorów jest równa sumie innego ciągu \(\displaystyle{ \left( B _{n} \right) _{n \in \NN_+} }\) zbiorów, danego jako:
\(\displaystyle{ B _{n}= A _{1} \cup A _{2} \cup A _{3} \cup \ldots \cup A _{n}}\),
I wtedy:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN _{+} } B _{n}= \bigcup_{n \in \NN _{+} }A _{n}.}\)
Gdyż suma ciągu zbiorów \(\displaystyle{ \left( B _{n} \right), }\) jest to, pisząc nieformalnie, jest to: \(\displaystyle{ B _{1} \cup B _{2} \cup B _{3} \cup\ldots }\),
a \(\displaystyle{ B _{1}= A _{1}}\), czyli na razie zgadzają się te dwie sumy mnogościowe, i dalej \(\displaystyle{ B _{2}= A _{1} \cup {A _{2} }, }\) czyli pokryty został zbiór \(\displaystyle{ A _{2}, }\) (oraz zbiór \(\displaystyle{ A _{1} }\)), dalej \(\displaystyle{ B _{3}= A _{1} \cup A _{2} \cup A _{3}, }\) a więc pokryty został zbiór \(\displaystyle{ A _{3}; }\) ogólnie w kroku \(\displaystyle{ n}\) , na mocy definicji zbioru \(\displaystyle{ B _{n} }\) zostaje pokryty zbiór \(\displaystyle{ A _{n} }\).
Różnica jest tylko taka, że w kroku \(\displaystyle{ n}\), formalnie rzecz biorąc, nie pokrywamy tylko jedynie zbioru \(\displaystyle{ A _{n} }\), lecz również zbiory postaci \(\displaystyle{ A _{m}, }\) gdzie \(\displaystyle{ 1 \le m<n,}\) ale te zbiory pokryliśmy już w poprzednich krokach, a jak element powtarza się w zbiorze to to nic nie zmienia, i:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN _{+} } B _{n}= \bigcup_{n \in \NN _{+} }A _{n}. }\)