Matematyka.pl

Podaj uogólnione równanie diofantyczne ; w oparciu o nastepujacy "algorytm kamykowy" (*)
Wybierz dowolnie wybraną liczbę całkowitą ; (n)
1) liczbę tą podnieść do kwadratu ,
2) wybraną liczbę powiększ czterokrotnie,
3) dodaj te wartości w punktcie 1) i w punktcie 3) ,
4) do wyniku w punkcie 3) dodaj liczbę całkowitą równą "cztery" . ? (uzasadnij dlaczego akurat tą )
Zauważmy: otrzymamy liczbę całkowitą , której pierwiastek stanowi liczę całkowitą .( bez reszty)
( to metoda kamykowa , znana Platonowi jak i Bailoczykom , gdzie rozwój arytmetyki
szedł w parze z rozwojem numerologji )(*)
Wskazówka : do dowolnie wybranej liczby (n) dodaj liczbę całkowitą " dwa ", ??
następnie wynik ten podnieść do kwadratu .
T.W.

Ciąg dalszy:
Mała korekta ; ( dotycząca punktu 3)
Wybierz dowolną liczbę całkowitą n
1) liczbę tą podnieść do kwadratu ,
2) wybraną liczbę powiększ czterokrotnie,
3) dodaj te wartości obliczone w punktcie 1) i obliczone w punktcie 2) ,
4) do wyniku w punkcie 3) dodaj liczbę całkowitą równą "cztery" . ? (uzasadnij dlaczego akurat tą )

Równie ciekawa "relacja kamykowa " ( diofantyczna )
Do dowolnie wybranej liczby n dodaj liczbę cztery ,
wartość tego wyrażenia podnieść do kwadratu .
Otrzymamy wynik stanowi liczbę całkowitą , taką
której pierwiastek tej liczby stanowi liczbę całkowitą (bez reszty)
Zauważmy że powyższe uklady równań można rozwiązać też , bez koniecznosci obliczania " delty "
(tzn obliczania pierwiastków dla dowolnych rownań diofantycznych )

Jest i taka możliwa kombinacja logiczna :
1) wybierz dowolną ilość kamyków , X
2) do tej ilaści dodaj dwa kamyki , X+2
3) sumę tych kamyków podnieść do kwadratu ( to ilczba kamyków
których pierwiastek z ilości tych kamyków stanowi liczbą calkowitą , bez reszty )
Po spierwiastkowaniu stronami tego równania otrzymamy wyrażenie x+2 = ?
4) od tego wyniku w punktcie 3) odejmji cztery kamyki .
Tu pytanie ; jak znaleść wartość wyrażenia X+2 = ? w tej kombinacji kamykowej ,
jak obliczyć niewiadomą X wybranych kamyków ?
T.W.

Kombinacja odwrotna :
Aby znaleść wartość wyrażeni X+2 (*) obadajmy tą kombinacje kamykową w kierunky odwrotnym .(tzn od końca)
Otrzymamy dość prosty układ szukanego uogólnionego równania diofantycznego :
(y-2)(y+2) = X(x +4 )
Wystarczy wybrać dowolną wartość Y w liczbach całkowitych i wstawić do powyzszego równania
lub porównać te iloczyny .aby znaleść niewiadomą X ?
(*) Podnieśmy to wyrażeie do potęgi drugiej i porównaj z wyrażeniem X(X+4) +4
T.W.

Zauważmy że powyższe równanie nie zawiera wszystkich rozwiązań w liczbach całkowitych ;
dla dowolnie wybranej wartości y gdzie y=3 ;4; 5; 6 ...itd.)
-
Wybierzmy dowolną liczbę kamyków z = y+x ;( taką gdzie y nie równa się x oraz z =3; 4; 5 6...itd. )
Podnieśmy stronami tą zależność do potęgi drugiej ;
zz= yy +2xy +xx
To jedno z wielu uogólnionych równanań diofantyczneych.
wg formuły algebraicznej (znane babilńczykom w Starożytnym Egiptcie
na dlługo przed budową piramid , którym pojęcie potęgi nie było znane )
-
Przykładowo wybierzmy z=7 (kamyków )
Możliwa ilość kombinacji kamykowych
z= y+x
7= 6+1 ; stąd 49= 36+12 + 1
7= 5+2 ; stąd 49= 25+20 +4
7= 3+4 ; stąd 49= 9+24 +16
7= 2+5 ; stąd 49= 4++20 +25
7= 1+6 ; stąd 49 = 1 +12 + 36
Jak widać w tej kombinacji kamykowej jest pięć możliwych rozwiazań w liczbach całkowitych .

Pozdrawiam
T.W.