Suma kolejnych liczb naturalnych
-
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 20 kwie 2007, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wieś
- Podziękował: 9 razy
Suma kolejnych liczb naturalnych
Ile kolejnych liczb naturalnych począwszy od 1 należy dodać aby ich suma była liczbą trzycyfrową złożoną z jednakowych cyfr?
Ostatnio zmieniony 18 maja 2007, o 22:26 przez Roniek, łącznie zmieniany 1 raz.
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Suma kolejnych liczb naturalnych
Wiemy, że \(\displaystyle{ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}}\) ma być trzycyfrową liczbą złożoną z jednakowych cyfr. Rozważmy więc pierwszy przypadek, gdy \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}=111=3 37}\). Mamy wtedy, że \(\displaystyle{ n(n+1)=2 3 37=6 37}\). Ponieważ my w iloczynie chcemy widzieć dwie kolejne liczby naturalne, więc to równanie nie ma rozwiązań. Niech więc ogólnie \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2}=k 111=3k 37}\), czyli \(\displaystyle{ n(n+1)=6k 37}\). Ma więc zachodzić \(\displaystyle{ 6k=36 6k=38}\). Drugie równanie w zbiorze liczb naturalnych nie ma rozwiązań, więc \(\displaystyle{ 6k=36}\), skąd \(\displaystyle{ k=6}\). Otrzymujemy więc rozwiązanie, że \(\displaystyle{ n=6k=36}\).