Matematyka.pl

Znaleźć wszystkie pary (x,y) liczb rzeczywistych spełniającyh układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}}+ \sqrt{\frac{y}{x}}= \frac{7}{ \sqrt{xy} }+1 \\ x \sqrt{xy}+y \sqrt{xy}=78 \end{cases}}\)

Dziedzina wyszła mi: \(\displaystyle{ D: x>0 \wedge y>0}\)
Próbowałem równanie I pomnożyć przez \(\displaystyle{ \sqrt{xy}}\) a z II wyłączyć \(\displaystyle{ \sqrt{xy}}\). Podstawiłem \(\displaystyle{ \sqrt{xy}}\) z II do I i wyszło mi: \(\displaystyle{ \left| x\right|+\left| y\right|=7+ \frac{78}{x+y}}\) i nie wiem co z tym dalej zrobić.

Ogarnij, że \(\displaystyle{ |x| = x}\) oraz \(\displaystyle{ |y| = y}\), a następnie podstaw \(\displaystyle{ t = x+y}\).

Racja. Tylko co mi daje podstawienie \(\displaystyle{ t=x+y}\)?

Daje Ci równanie \(\displaystyle{ t^2 -7t -78 = 0}\) które rozwiązujesz i poznajesz \(\displaystyle{ t = x+y}\).
Następnie z pierwszego równania masz \(\displaystyle{ x+y = 7 + \sqrt{xy}}\), a z drugiego \(\displaystyle{ x+y = \frac{78}{\sqrt{xy}}}\), czyli razem \(\displaystyle{ 7+ \sqrt{xy} = \frac{78}{\sqrt{xy}}}\). Teraz podstawiasz \(\displaystyle{ s = \sqrt{xy}}\) i masz \(\displaystyle{ s^2 + 7s - 78 = 0}\) - równanie z którego wyznaczasz \(\displaystyle{ s = \sqrt{xy}}\).

Dzięki. Uzyskałem wynik (4,9)