Matematyka.pl

Zadanie 1
Z miasta A do B można dotrzeć drogą lądową lub wodną. Autobus jadący ze średnią prędkością 57 km/h pokonuje tę trasę w czasie 1,5h. Statek płynący ze średnią prędkością36 km/h, wypływa z miasta A o 40 minut wcześniej niż odjeżdża autobus, a przybywa do miasta B o \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) godziny później niż autobus. O ile kilometrów droga lądowa jest krótsza od wodnej?

Zadanie 2
Kwadratowy arkusz blachy przecięto tak, by otrzymać ster w kształcie trapezu o polu 40 \(\displaystyle{ m^{2}}\) . Zbędna część w kształcie trójkąta miała pole 24 \(\displaystyle{ m^{2}}\) . Oblicz długości podstaw trapezu otrzymanego steru.

Zadanie 3
Wśród pasażerów jadących autobusem na trasie z Płocka do Łącka przez Radziwie, 20% pasażerów miało bilety ulgowe. W Radziwiu wysiadło 40 osób, w tym 6 z biletami ulgowymi. Do Łącka dojechali wszyscy pozostali, w tym 30% z biletami ulgowymi. Ile osób wsiadło do autobusu w Płocku.

Zadanie 4
Na stadionie, którego bieżnia ma 400m długości, odbył się bieg na 10 km. Najszybszy zawodnik ukończył bieg po \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) godziny , a ostatni zawdonik po 32 min. Ile okrążeń przebiegł zwycięzca do chwili zdublowania ostatniego zawodnika. Przyjmij, że każdy z zawodników biegł ze stałą szybkością.

Zadanie 5
Dyrektora firmy "Najlepsza" przyjęto do pracy z pensją zaledwie 1600zł miesięcznie. Po pewnym czasie obroty firmy się zwiększyły i pensja dyrektora wzrosła o 400zł miesięcznie, tak że za cały rok pracy dyrektor otrzymał 22400zł. Przez ile miesięcy dyrektor otrzymywał wyższe wynagrodzenie?

Zadanie 6 (ostatnie ufff... )
W trapezie równoramiennym o długości podstaw 2 \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) cm i 4 \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\) cm przekątne przecinają się pod kątem prostym. Oblicz pole trapezu.

Dziękuje za każde rozwiązanie chociażby jednego zadania.

Zad 2

\(\displaystyle{ P_{trapezu}=40}\)
\(\displaystyle{ P_{trojkata}=24}\)
\(\displaystyle{ P_{kwadratu}=40+24=64}\)
\(\displaystyle{ P_{kwadratu}=a^{2}}\)=> \(\displaystyle{ a=8}\)

Powstaje Ci trapez prostokatny. Jedna podstawa ma długość 8 a druga 8-x.
x można policzyć z tego małego uciętego trójkącika.

\(\displaystyle{ 24= \frac{1}{2} *(8-x)*a}\)
\(\displaystyle{ 24= \frac{1}{2} *(8-x)*8}\)
\(\displaystyle{ 24=32-4x}\)
\(\displaystyle{ 4x=8}\)
\(\displaystyle{ x=2}\)

Czyli podstawa krótsza ma długość \(\displaystyle{ 8-2=6}\).

-- 25 kwi 2009, o 09:45 --

Zad 6

Przekątne w trapezie rownoramiennym maja równe długości. I zauważ ze powstały Ci połowki kwadratów o danych przekatnych tego kwadratu. Wiemy, że przekątna kwadratu wyraza się wzorem \(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\).

\(\displaystyle{ d_{1}}\) i \(\displaystyle{ d_{2}}\) to są te krótkie odcinki które powstały przez przecięcie się przekatnych trapezu.

\(\displaystyle{ \frac{14}{5} =d_{1} \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ d_{1}= \frac{7}{5} \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{22}{5} =d_{2} \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ d_{2}= \frac{11}{5} \sqrt{2}}\)

trzeci bok można z tw Pitagorasa.

\(\displaystyle{ (\frac{7}{5} \sqrt{2})^{2}+ (\frac{11}{5} \sqrt{2})^{2}=c^{2}}\)

Poźniej ten maly odcinek, który wyznacza ci wyokość opuszczona na podstawę wyliczysz sobie. Jest on równy \(\displaystyle{ x= \frac{b-a}{2}}\) gdzie b to dłuższa podstawa. A na końcu mając odcinek c i ten krótki odcinek z funckcji trygonometrycznych lub twierdzenia Pitagorasa oblicz wysokosc. Mając te dane można podstawic pod wzor na pole.

1.
\(\displaystyle{ s_l, \ s_d}\) - droga lądowa, droga wodna.
\(\displaystyle{ s=vt \\
s_l=57km/h\cdot 1.5h=85.5km \\
\\
s_w=36km/h\cdot (1.5h+40min.+0.75h)=36km/h\cdot 2\frac{11}{12}h=105km \\
\\
s_w-s_l=105km-85.5km=19.5km.}\)

2.
\(\displaystyle{ a}\) - długość boku kwadratu.
\(\displaystyle{ x}\) - długość drugiego boku trójkąta.

\(\displaystyle{ a^2=40m^2+24m^2=64m^2 \\
a>0 \\
a=8m \\
\\
\frac{ax}{2}=24m^2 \\
\\
x=6m}\)

Długości podstaw:

\(\displaystyle{ a=8m, a-x=2m}\)

3.
\(\displaystyle{ x}\) - ilość pasażerów, która wsiadła w Płocku.

\(\displaystyle{ \frac{0.2x-6}{x-40} =0.3 \\
\\
x>40 \\
0.3x-12=0.2x-6 \\
0.1x=6 \\
x=60}\)

4.
\(\displaystyle{ t}\) - czas, po jakim 1. zawodnik zdublował ostatniego
\(\displaystyle{ x}\) - droga, jaką przebiegł 1. zawodnik po zdublowaniu ostatniego

\(\displaystyle{ \frac{10km}{30min.} -\frac{10km}{32min.} \cdot t=400m \\
\\
\frac{160km}{480min.} -\frac{150km}{480min.} \cdot t=400m \\
\\
t=\frac{400m}{\frac{10000m}{480min.}} \\
\\
t=19.2min. \\
\\
x=\frac{10km}{30min.}\cdot (30min.-t)=20km/h\cdot 10.8\cdot \frac{1h}{60}=3.6km}\)

5.
\(\displaystyle{ x}\) - ilość miesięcy, podczas których pensja dyrektora wynosiła 1600zł

\(\displaystyle{ x\cdot 1600zl + (12-x)\cdot 2000zl=22400zl \\
1600x\cdot 1zl +24000zl-2000x\cdot 1zl=22400zl \\
400x\cdot 1zl=1600zl \\
x=4}\)

6.
Tak jak napisał Marcin_Garbacz, powstają dwie połówki kwadratów. Zauważ również, że wysokość od każdej z podstaw do punktu przecięcia przekątnych trapezu jest równa połowie długości tej podstawy, bo gdybyś narysował drugą połówkę kwadratu, zobaczyłbyś, że podstawa to jego przekątna a wysokość od podstawy do p. przecięcia przekątnych trapezu - połowa przekątnej takiego kwadratu. Tak więc:

\(\displaystyle{ h=\frac{\frac{14}{5} cm}{2} +\frac{\frac{22}{5} cm}{2} =\frac{18}{5} cm \\
P_{trapezu}=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
P=\frac{\frac{14}{5} cm+\frac{22}{5} cm}{2}\cdot \frac{18}{5} cm \\
P=(\frac{18}{5} cm)^2=12.96cm^2}\)