zastanawia mnie temat praktycznie niespotykany w polskiej literaturze - wyboczenie pod wpływem obciążeń termicznych (tzw. "thermal buckling"). Weźmy np. płytę prostokątną podpartą swobodnie. W książce "Teoria stateczności sprężystej" S. Timoshenko można znaleźć wzór na siłę krytyczną gdy taka płyta jest równomiernie ściskana w jednym kierunku (obciążenie przyłożone do krótszych boków):
gdzie: \(\displaystyle{ D}\) - sztywność płyty na zginanie, \(\displaystyle{ b}\) - długość krótszego boku, \(\displaystyle{ a}\) - długość dłuższego boku.
Co jednak w sytuacji gdy obciążenie ściskające zastąpimy blokadą przemieszczeń tych krawędzi w kierunku do nich prostopadłym a całą płytę podgrzejemy ? Czy da się wyznaczyć temperaturę krytyczną znając wsp. rozszerzalności liniowej ?
Proszę popatrzeć na ten problem tak:
Płyta podgrzana rozszerza się wg znanego wzoru o przyrost długości w głównych kierunkach. Napiszmy ten przyrost długości jako wynik działania siły o tym kierunku i równomienie rozłożonej wzdłuż krawędzi płyty. Zauważa Kolega zachodzącą tu analogię? \(\displaystyle{ \Delta l = \Delta t \cdot \alpha \cdot l }\)
Z prawa Hooka: \(\displaystyle{ \Delta l = \frac{l \cdot F}{A \cdot E} }\)
Z przyównania mamy w wyniku wzór na siłę \(\displaystyle{ F}\) równomiernie rozłożoną wzdłuż brzegu płyty wywołującą ten efekt
przez podgrzewanie : \(\displaystyle{ F = E \cdot A \cdot \alpha \Delta t}\)
Zauważamy, że siła ta nie zależy od długości płyty a jest proporcjonalna do przekroju poprzecznego \(\displaystyle{ A}\) prostopadłego do badanego kierunku, przyrostu temperatury \(\displaystyle{ \Delta t }\) , współczynnika rozszerzalności liniowej \(\displaystyle{ \alpha }\) materiału płyty i jego modułu sprężystości \(\displaystyle{ E}\) .
Zatem jak każdą płytę obciążoną siła ściskającą F i utwierdzoną wg podanego w zadaniu sposobu.
Sprawdzałem ten wzór na przykładzie liczbowym (z dokumentacji programu do analiz numerycznych) i wyszło inaczej niż powinno:
płyta kwadratowa o boku długości \(\displaystyle{ b=2}\) i grubości \(\displaystyle{ t=0.01}\) wykonana z materiału o module Younga \(\displaystyle{ E=10^{8}}\), wsp. Poissona \(\displaystyle{ \nu=0.3}\) i wsp. rozszerzalności cieplnej \(\displaystyle{ \alpha=10^{-6}}\). Jednostki nie są używane w tym przykładzie (program z nich nie korzysta). Mi wyszło, że płytę trzeba podgrzać o \(\displaystyle{ \Delta T \approx 45 ^{\circ} C}\) tymczasem wynik podany w dokumentacji i wynikający z analizy to \(\displaystyle{ \Delta T \approx 93 ^{\circ} C}\), czyli tyle samo co siła krytyczna, która wychodzi ze wzoru Timoshenko dla „zwykłego” wyboczenia. Zastanawiam się z czego może wynikać ta różnica i jaka jest prawidłowa wartość różnicy temperatur.
Stosunek sił oblicznych jak Kolega podaje dla \(\displaystyle{ \Delta t =45 K }\) i \(\displaystyle{ 93 K }\), sugeruje że może to wynikać ze sposobu podparcia (utwierdzenia) końców płyty.
Założenia (łącznie ze sposobem podparcia) powinny być takie same, ponieważ we wspomnianej dokumentacji jest wykorzystywany ten sam wzór z książki Timoshenko, z którego ja korzystam. Płyta jest swobodnie podparta. Więc wydaje się, że źródło tej różnicy leży gdzie indziej.
Problem rozwiązany, może komuś jeszcze przyda się odpowiedź. Błąd wziął się stąd, że \(\displaystyle{ N_{kr}}\) to siła na jednostkę długości brzegu w \(\displaystyle{ \frac{N}{mm}}\) a ja to traktowałem jak siłę w \(\displaystyle{ N}\). Wzór powinien więc mieć postać: