Witam
Potrzebuję pomocy w obliczeniu środka ciężkości płaskiej figury przypominającej połowę pierścienia.
Dokładnie takiej: (zadanie 8).
Figura ma dane dwa promienie (wew i zew) oraz grubość. Układ osi można przyjąć tak samo jak na rysunku. Interesuje mnie wzór, a najlepiej algorytm obliczenia odległości na osi z0 (czyli tej od osi y0 do środka ciężkości). Z góry dziękuję za sensowną odpowiedź.
Pozdrawiam
Środek ciężkości "połowy pierścienia"
Środek ciężkości "połowy pierścienia"
Ostatnio zmieniony 6 wrz 2010, o 10:53 przez miki999, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
pajong8888
- Użytkownik
- Posty: 231
- Rejestracja: 29 lip 2010, o 00:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
Środek ciężkości "połowy pierścienia"
Wiemy z reguły Guldina \(\displaystyle{ 2\pi c_z S=V}\), gdzie:
\(\displaystyle{ c_z}\) współrzędne środka ciężkości
\(\displaystyle{ S}\) pole powierzchni tej figury
\(\displaystyle{ V}\) objętość bryły powstałej przez obrót tej figury dookoła osi OY.
Bryła tą będzie... nie znam nazwy, ale coś w stylu piłki kula z wycięta w środku kulą:)
Jeżeli większy promień =R, a grubość połowy tej pierścienia jest g, to w takim układzie:
\(\displaystyle{ 2\pi c_z (\frac{1}{2}\pi(R^2-(R-g)^2)=\frac{4}{3}\pi(R^3-(R-g)^3)\Rightarrow c_z=\frac{\frac{4}{3}(R^3-(R-g)^3)}{\pi(R^2-(R-g)^2)}}\)
Możesz dalej skracać, jak chcesz.
\(\displaystyle{ c_z}\) współrzędne środka ciężkości
\(\displaystyle{ S}\) pole powierzchni tej figury
\(\displaystyle{ V}\) objętość bryły powstałej przez obrót tej figury dookoła osi OY.
Bryła tą będzie... nie znam nazwy, ale coś w stylu piłki kula z wycięta w środku kulą:)
Jeżeli większy promień =R, a grubość połowy tej pierścienia jest g, to w takim układzie:
\(\displaystyle{ 2\pi c_z (\frac{1}{2}\pi(R^2-(R-g)^2)=\frac{4}{3}\pi(R^3-(R-g)^3)\Rightarrow c_z=\frac{\frac{4}{3}(R^3-(R-g)^3)}{\pi(R^2-(R-g)^2)}}\)
Możesz dalej skracać, jak chcesz.
Środek ciężkości "połowy pierścienia"
Dzięki za odpowiedź. Jednak liczyłem już z twierdzenia Pappusa-Guldina i wynik wychodzi jednak nie zgodny z odpowiedzią. Mam konkretne zadanie, gdzie R=30[mm], r=20[mm] (są to odpowiednio wymiary promieni tego pierścienia jak na rysunku) i wyliczona odległość środka ciężkości na osi "z" wynosi 15,28[mm]. Z Guldina wychodzi mi 15,96[mm]. Nie wiem skąd taki błąd i czy może być to pominięte. Jeżeli ktoś potrafi to policzyć jeszcze z momentów statycznych byłbym wdzięczny. Pozdro.