Matematyka.pl

Witajcie
mam problem z zadaniem do mojej kochanej Pani Doktor na studia... Juz któryś raz z kolei podchodzę do rozwiązania go i nie umiem.
Treść zadania:

Dobrać średnicę wału skręcanego momentem \(\displaystyle{ M}\), jeśli naprężenia dopuszczalne na skręcanie wynoszą \(\displaystyle{ K_{s}}\), a dopuszczalny kąt skręcania na jednostkę długości \(\displaystyle{ \phi}\),
dane:
\(\displaystyle{ M = 80kNm, \phi = 5,24\cdot10^{-3}\frac{rad}{m},K_{s} = 80MPa, G=0.83\times10^5MPa}\)
(Proszę pamiętać o sprawdzeniu warunków sztywności)

Proszę o jakieś podpowiedzi bo ja sie poddaje :/

Wzory na maksymalne naprężenia skręcające i jednostkowy kąt skręcenia dla przekroju kołowego:

\(\displaystyle{ \tau_{max}=\frac{M_{s}}{\frac{\pi d^{3}}{16}}}\)

\(\displaystyle{ \phi=\frac{M_{s}}{G \frac{\pi d^{4}}{32}}}\)

W tym przypadku:

\(\displaystyle{ \tau_{max}=\frac{80000000}{\frac{\pi d^{3}}{16}} \le 80 \ MPa}\)

\(\displaystyle{ d \ge 172.051 \ mm}\)

\(\displaystyle{ \phi=\frac{80000}{8.3 \cdot 10^{10} \frac{\pi d^{4}}{32}} \le 5.24 \cdot 10^{-3}}\)

\(\displaystyle{ d \ge 0.208051 \ m}\)

\(\displaystyle{ d \ge 208.051 \ mm}\)

Średnica wału musi być takiej miary, by jednocześnie były spełnione oba warunki:
sztywności na skręcanie: \(\displaystyle{ d_ {\varphi} \ge \sqrt[4]{ \frac{16 \cdot 10^3 M_s \cdot l}{5,24 \cdot \pi \cdot G}} }\)
oraz wytrzymałości na skręcanie:
\(\displaystyle{ d_{\tau} \ge \sqrt[3]{ \frac{32 M_s}{ \pi \cdot \tau_{max} } } }\)

\(\displaystyle{ d \ge d_{\tau}}\)
\(\displaystyle{ d \ge d_{\varphi}}\)

Obliczenia powinny uwzględniać warunek wytrzymałości i sztywności
................................................................................
1.Obl.średnicy wału z warunku wytrzymałościowego- wał (pręt) o przekroju koła-
/Naprężenia rzeczywiste \(\displaystyle{ \sigma _{rz} }\) muszą być mniejsze , lub co najwyżej równe dopuszczalnym \(\displaystyle{ k _{s} }\)/
\(\displaystyle{ \sigma _{rz} \le k _{s} }\)
\(\displaystyle{ \sigma _{rz} = \frac{M _{s} }{W _{o} } \le k _{s} }\), (1)
- wskaźnik biegunowy dla przekroju kołowego: \(\displaystyle{ W _{o}= \frac{ \pi d ^{3} }{32} \approx 0,2d ^{3} }\), (2)
1.1. Średnica \(\displaystyle{ d _{w} }\) wału z warunku wytrzymałościowego, obl. z wzoru(1)
\(\displaystyle{ d _{w} \ge \sqrt[3]{ \frac{M _{s} }{0,2 \cdot k _{s} } } }\), (3)
/ Należy przyjąć wartość średnicy znormalizowaną - wg PN/M..../
2. Obl. średnicy wału \(\displaystyle{ d _{s} }\) z warunku sztywności skrętnej
\(\displaystyle{ \phi _{rz} \le \phi _{dop} }\)
\(\displaystyle{ \phi _{rz} = \frac{M _{s} \cdot l }{G \cdot J _{o} } \le \phi _{dop} }\), (4)
- Biegunowy moment bezwładności : \(\displaystyle{ J _{o}= \frac{ \pi d ^{4} }{32} \approx 0,1 \cdot d ^{4} }\), (5)
- podano dopuszczalny kąt skręcania \(\displaystyle{ \phi _{dop} =5,24....}\), który odnosi się do długości przypadajacej na 1metr wału, stąd przyjmujemy długość \(\displaystyle{ l=1m}\)
2.2 Średnica \(\displaystyle{ d}\) wału z warunku sztywności, obl. z wzoru (4)
\(\displaystyle{ d _{s} \ge \sqrt[4]{ \frac{M _{s} \cdot 1}{0,1 \cdot G \cdot \phi _{dop} } } }\), (5)
/Przyjąć wartość średnicy znormalizowaną - wg PN/M..../
................................................................................
3. Po wyborze średnicy znormalizowanej wału \(\displaystyle{ d}\) obliczyć rzeczywisty kąt skręcenia \(\displaystyle{ \phi _{rz} }\) dla 1m. długości wału i z wzoru (4) pokazać, że
\(\displaystyle{ \phi _{rz} \le \phi _{dop} }\), (6)

\(\displaystyle{ \sigma _{rz} \le k _{s}}\), ten napis jest tu niepoprawny.

Naprężenia oznaczane literą \(\displaystyle{ \sigma}\), są naprężeniami normalnymi do przekroju a takie w przypadku czystego ścinania (skręcania) w przekrojach kołowych poddanych czystemu ścinaniu (skręcaniu) nie występują.
Naprężenia styczne oznaczane są literą \(\displaystyle{ \tau}\) .
Podobnie, kąty oznacza się literą \(\displaystyle{ \varphi }\) a nie \(\displaystyle{ \phi}\) mogącej imitować znak zastrzeżony do oznaczania średnicy koła, wału.

Dziękuję
............................
Korekta oznaczeń:
1.Przy obliczaniu wytrz. wału-zależność między naprężeniami stycznymi
\(\displaystyle{ \tau _{rz} \le k _{s} }\)
\(\displaystyle{ \tau _{rz} }\)- rzeczywiste naprężenie styczne wywołane momentem skręcającym \(\displaystyle{ M _{s} }\)
\(\displaystyle{ k _{s} }\)- dopuszczalne naprężenie styczne( zależne od charakterystyki pracy wału i przyjętego materiału na wał).
2.Przy obliczaniu sztywności skrętnej- zależność między kątami skręcenia
\(\displaystyle{ \varphi _{rz} \le \varphi _{dop} }\)
Przyjmuje się \(\displaystyle{ \varphi _{dop} \le 0,25 ^{\circ} }\) na 1m długości wału- dla napędowych wałów maszynowych!
/\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} = \frac{360 ^{\circ} }{2 \pi }= \frac{180 ^{\circ} }{ \pi } \ rad }\)/
\(\displaystyle{ \varphi ^{\circ}= \frac{180 ^{\circ} }{ \pi } \cdot \frac{M _{s} \cdot l}{G \cdot J _{o} } }\)