zbieżność szeregu
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 11 maja 2010, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sierakowice
- Podziękował: 1 raz
zbieżność szeregu
Witam wszystkich. Mam problem z znalezieniem zbieżności tego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln(1- \frac{1}{(n+1)^{2}})}\)
Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi to wytłumaczył. Próbowałem z kryterium całkowego ale wtedy się zakopałem. Drugie moje podejrzenie padło na kryterium porównawcze i dalej je obstawiam ale nie wiem jak to ruszyć.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ln(1- \frac{1}{(n+1)^{2}})}\)
Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi to wytłumaczył. Próbowałem z kryterium całkowego ale wtedy się zakopałem. Drugie moje podejrzenie padło na kryterium porównawcze i dalej je obstawiam ale nie wiem jak to ruszyć.
zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to\infty }\left|\frac{\ln \left(1-\frac{1}{(1+x)^2}\right)}{\frac{1}{(1+x)^2}}\right|=1}\)
Wniosek wyciągnij sam.
Wniosek wyciągnij sam.
-
- Użytkownik
- Posty: 298
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 73 razy
zbieżność szeregu
nie wiem czy to jest dobrze ale napisze to co zobaczyłem...
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{(n+1)^{2}} = \frac{(n+1-1)(n+1+1)}{(n+1)^{2}} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \ge \frac{n}{(n+1)^{2}}}\)
zmniejszamy licznik więc ułamek cały się zmniejsza, a i tak jest rozbieżny. później okładamy obustronnie logarytmem i widać że nasz szereg jest rozbieżny z kryterium porównawczego.
\(\displaystyle{ 1-\frac{1}{(n+1)^{2}} = \frac{(n+1-1)(n+1+1)}{(n+1)^{2}} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^{2}} \ge \frac{n}{(n+1)^{2}}}\)
zmniejszamy licznik więc ułamek cały się zmniejsza, a i tak jest rozbieżny. później okładamy obustronnie logarytmem i widać że nasz szereg jest rozbieżny z kryterium porównawczego.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
zbieżność szeregu
Tego nie rozumiemKamilekzmc pisze:
zmniejszamy licznik więc ułamek cały się zmniejsza, a i tak jest rozbieżny. później okładamy obustronnie logarytmem i widać że nasz szereg jest rozbieżny z kryterium porównawczego.
-
- Użytkownik
- Posty: 298
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 73 razy
zbieżność szeregu
licznik jest na pewno mniejszy bo \(\displaystyle{ n \le n(n+2)}\) i ten mniejszy ułamek nadal jest rozbieżny... o ile mi wiadomo tona tym polega kryterium porównawcze...
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 11 maja 2010, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sierakowice
- Podziękował: 1 raz
zbieżność szeregu
Kamilekzmc rozumiem to co napisałeś i wydaje mi się że to jest dobry wynik ale skąd wiedziałeś że szereg należy zmniejszyć a nie zwiększyć?
-
- Użytkownik
- Posty: 298
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 73 razy
zbieżność szeregu
to jest tylko i wyłącznie z doświadczenia... próbujesz jednym sposobem nie wychodzi nic to próbujesz innym... ja akurat spróbowałem tak i wyszło... ale nie zawsze mi wychodzi za pierwszym razem
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 11 maja 2010, o 20:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sierakowice
- Podziękował: 1 raz
zbieżność szeregu
Aha no ja uczyłem się wstępnego oszacowania. Po tym wstępnym oszacowaniu można wywnioskować czy należy zmniejszyć ułamek czy zwiększyć więc nie musiałem robić tego metodą prób i błędów ale w tym wypadku nie potrafię tego zrobić. No ale dzięki za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 298
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 21:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 73 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
zbieżność szeregu
Kamilekzmc, szacowanie z dołu przez minus nieskończoność jest raczej mało odkrywcze.