Matematyka.pl

Mam problem z określeniem monotoniczności następujących ciągów:

\(\displaystyle{ a) \ a _{n} = \arc \tg n \\
b) \ a _{n} = \cos (2 \pi n) \\
c) \ a _{n} = \sin \left ( \frac{\pi}{2} n \right )}\)

W pierwszym przykładzie spróbowałem zapisać sobie \(\displaystyle{ n + 1}\) wyraz ciągu ale nie wiem co z tym potem zrobić.

W pozostałych przypadkach mam ten sam problem. Nie mam żadnego pomysłu jak to rozwiązać.

W pierwszym przypadku:

\(\displaystyle{ \arctan (n+1) - \arctan n = \arctan (n+1) + \arctan (-n)= \arctan \frac{n+1-n}{1-(n+1)(-n)} = \arctan \frac{1}{1+(n+1)n}}\)

Teraz sprawdzamy jakie to będą wartości:

\(\displaystyle{ \lim _{n \to \infty } \arctan \frac{1}{1+(n+1)n}=0^{+}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \arctan \frac{1}{1+(n+1)n}>0}\), czyli ciąg rosnący.

W następnych wykorzystaj tożsamości trygonometryczne. Jak gdzieś utkniesz to daj znać.

Co oznacza zapis \(\displaystyle{ 0^{+}}\)? Również nie wiem w jaki sposób policzyć tę granicę. Czy mógłbyś mi to wyjaśnić? Ja wyciągnąłbym \(\displaystyle{ n}\) przed nawias i w ten sposób wyszłaby mi granica równa \(\displaystyle{ 1}\) ale nie wiem czy to jest poprawne rozwiązanie.

Niestety nie wiem jak rozwiązać te dwa pozostałe przykłady. Robię coś takiego:

\(\displaystyle{ a _{n + 1} - a _{n} = \cos \left (2 \pi (n + 1) \right ) - \cos(2 \pi n) = \cos(2 \pi n + 2 \pi) - \cos(2 \pi n) = \cos(2 \pi n + 2 \pi) \cdot \cos(2 \pi n) + \sin(2 \pi n + 2 \pi) \cdot \sin(2 \pi n)}\)

oraz w następnym przykładzie:

\(\displaystyle{ a _{n+1} - a _{n} = \sin \left( \frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{2}n \right) = \sin \left (\frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{2} \right ) \ \cdot \ \cos \left( \frac{\pi}{2}n \right ) + \cos \left( \frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{2}n \right) \ \cdot \ \sin\left(\frac{\pi}{2}n \right)}\)

ale nie wiem co robić dalej.

Szymon1993 pisze:Co oznacza zapis \(\displaystyle{ 0^{+}}\)? Również nie wiem w jaki sposób policzyć tę granicę. Czy mógłbyś mi to wyjaśnić? Ja wyciągnąłbym \(\displaystyle{ n}\) przed nawias i w ten sposób wyszłaby mi granica równa \(\displaystyle{ 1}\) ale nie wiem czy to jest poprawne rozwiązanie.

Oznacza, że zmierzamy do zera po dodatnich wartościach. To co masz pod arcusem dąży do \(\displaystyle{ \frac{1}{+\infty}}\) zatem do zera od prawej strony. Teraz można popatrzeć na wykres co się dzieje z wartościami arcusa, gdy zbliżamy się z jego argumentami do zera od prawej (dodatniej) strony.

W tych następnych skorzystaj z tożsamości:
\(\displaystyle{ \sin \alpha -\sin \beta = ... \\
\cos \alpha -\cos \beta = ...}\)

Znajdziesz je tutaj:
https://www.matematyka.pl/page.php?p=kom ... ometryczne

Dziękuję za wyjaśnienie.

W tych następnych przykładach próbowałem skorzystać z tych wzorów ale doszedłem jedynie do tego co napisałem wyżej. Nie wiem jak to dalej zamienić.

Korzystasz ze złych tożsamości.. sprawdź jeszcze raz dokładnie.

Pierwsze:

\(\displaystyle{ a _{n + 1} - a _{n} = \cos \left (2 \pi (n + 1) \right ) - \cos(2 \pi n)=-2\sin\frac{2\pi n +2\pi + 2\pi n}{2} \sin \frac{2\pi n +2\pi - 2\pi n}{2}=-2\sin (2\pi n + \pi)\sin \pi}\)

A ile wynosi \(\displaystyle{ \sin \pi}\)?

Te tożsamości sprawdź i spróbuj ostatnie.

Faktycznie, nie wiem dlaczego skorzystałem z wzoru na cosinus i sinus różnicy.

W tym pierwszym przykładzie w takim razie wyjdzie 0 bo \(\displaystyle{ \sin \pi = 0}\) więc ciąg będzie stały, co zgadza się z odpowiedzią do tego przykładu. Dziękuję.

Próbuję policzyć ten przykład z sinusem i otrzymuję coś takiego:

\(\displaystyle{ \sin \left ( \frac{\pi}{2}(n + 1) \right ) - \sin \frac{\pi}{2}n = 2 \sin \frac{\frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}n }{2} \ \cdot \ \cos \frac{\frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}n}{2}= 2 \sin \frac{\pi}{4} \ \cdot \ \cos \left( \frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{4} \right)}\).

Tutaj chyba wychodzą na wierzch moje zaległości w trygonometrii. Niestety nie wiem co z tym zrobić.

\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{\pi}{4} \ \cdot \ \cos \left( \frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{2}n + \frac{\pi}{4} \right)}\).

Teraz wystarczy zauważyć, że znak tego wyrażenia zależy od \(\displaystyle{ n}\), a dokładniej dla postaci \(\displaystyle{ n=1+4k}\) oraz \(\displaystyle{ n=4+4k}\) wyrażenie ma wartość dodatnią, a dla postaci \(\displaystyle{ n=2+4k}\) oraz \(\displaystyle{ n=3+4k}\) będzie ujemne (oczywiście \(\displaystyle{ k \in Z}\)). Zatem ciąg nie jest monotoniczny.

Bardzo dziękuję za pomoc.