zbadaj zbieznosc szeregu

ogre · Post autor: **ogre** » 6 gru 2011, o 23:35

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{3^{n} \cdot n!}{n^{n}}}\)

Skorzystalem z kryterium d'Alamberta i zrobilem tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| < 1}\) to ciąg jest zbieżny

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} |\frac{3 \cdot 3^{n} \cdot n! \cdot (n+1) \cdot n^{n}}{n \cdot n^{n} \cdot 3^{n} \cdot n!}| = \lim_{n\to \infty}|\frac{3(n+1)}{n}| = \lim_{n\to \infty}\frac{3(n+1)}{n} = \lim_{n\to \infty}\frac{n(3+\frac{3}{n})}{n}=\lim_{n\to \infty}3+\frac{3}{n} > 1}\)

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{3^{n} \cdot n!}{n^{n}}}\) jest rozbieżny.

Proszę o sprawdzenie.

aalmond · Post autor: **aalmond** » 6 gru 2011, o 23:44

Wniosek dobry. Obliczenia nie do końca. W mianowniku ma być: \(\displaystyle{ (n+1) ^{n+1}}\)