Zapisać szereg za pomocą wzoru
-
unikat900
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 5 razy
Zapisać szereg za pomocą wzoru
\(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 4}+{n\choose 8}+...}\)
Ostatnio zmieniony 22 kwie 2008, o 20:52 przez unikat900, łącznie zmieniany 1 raz.
-
unikat900
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 10 lis 2007, o 09:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wawa
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 5 razy
Zapisać szereg za pomocą wzoru
Chodzi o to, żeby zwinąć tę sumę w jeden konkretny wzór. Nie rozumiem zdania "możesz określić dokładnie, co ma być n-ty wyrazem ciągu "
-
KoMBiNaT
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 18 kwie 2008, o 10:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 4 razy
Zapisać szereg za pomocą wzoru
Oto szukany wzór:
\(\displaystyle{ 2^{n-2}+(\sqrt{2})^{n-2}cos(\frac{n\pi}{4})}\).
Wyrażenie wyjściowe można interpretować jako liczebność podzbiorów 4-elementowych zbioru n-elementowego.
Dowód nie jest trudny, ale liczy się pomysł - trochę liczb zespolonych i nie tylko.
\(\displaystyle{ 2^{n-2}+(\sqrt{2})^{n-2}cos(\frac{n\pi}{4})}\).
Wyrażenie wyjściowe można interpretować jako liczebność podzbiorów 4-elementowych zbioru n-elementowego.
Dowód nie jest trudny, ale liczy się pomysł - trochę liczb zespolonych i nie tylko.
-
King James
- Użytkownik
- Posty: 150
- Rejestracja: 19 kwie 2007, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biłgoraj/Kraków
- Pomógł: 39 razy
Zapisać szereg za pomocą wzoru
No to ja pokażę dowód:
\(\displaystyle{ \left(1+1\right)^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+...+ {n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \left(1-1\right)^{n}={n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}-{n \choose 3}+...+\left(-1\right)^n{n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \left(1+i\right)^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}i-{n \choose 2}-{n \choose 3}i+...+i^n{n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \left(1-i\right)^{n}={n \choose 0}-{n \choose 1}i-{n \choose 2}+{n \choose 3}i+...+\left(-i\right)^n{n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{[\frac{n}{4}]} {n \choose 4k}=\frac{\left(1+1\right)^n+\left(1-1\right)^n+\left(1+i\right)^n+\left(1-i\right)^n}{4}=2^{n-2}+\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left((1+i)^{n}\right)=2^{n-2}+\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\left(\sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{n}\right)=2^{n-2}+2^{\frac{n-2}{2}}\mathrm{Re}\left(\mathrm{e}^{i\frac{n\pi}{4}}\right)=2^{n-2}+2^{\frac{n-2}{2}}\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(1+1\right)^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+...+ {n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \left(1-1\right)^{n}={n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}-{n \choose 3}+...+\left(-1\right)^n{n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \left(1+i\right)^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}i-{n \choose 2}-{n \choose 3}i+...+i^n{n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \left(1-i\right)^{n}={n \choose 0}-{n \choose 1}i-{n \choose 2}+{n \choose 3}i+...+\left(-i\right)^n{n \choose n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{[\frac{n}{4}]} {n \choose 4k}=\frac{\left(1+1\right)^n+\left(1-1\right)^n+\left(1+i\right)^n+\left(1-i\right)^n}{4}=2^{n-2}+\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left((1+i)^{n}\right)=2^{n-2}+\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\left(\sqrt{2} \mathrm{e}^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{n}\right)=2^{n-2}+2^{\frac{n-2}{2}}\mathrm{Re}\left(\mathrm{e}^{i\frac{n\pi}{4}}\right)=2^{n-2}+2^{\frac{n-2}{2}}\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right)}\)