Matematyka.pl

Dany jest ciąg rekurencyjny \(\displaystyle{ a_n}\), w którym \(\displaystyle{ a_0 = 6, a_1 = 6, a_2 = 5}\) i \(\displaystyle{ a_n = a_{n−1} + 4a_{n−2} − 4a_{n−3} + 6n − 19}\) dla \(\displaystyle{ n\ge3.}\)
Wyznaczyć jawny wzór na \(\displaystyle{ n}\)-ty wyraz ciągu.

Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o stałych współczynnikach:

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 }\)

przy warunkach początkowych: \(\displaystyle{ a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.}\)

Niech \(\displaystyle{ k = n-3,\ \ n = k+3, }\)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.}\)


Równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ a_{k+3} -a_{k+2}- 4a_{k+1} +4a_{k} = 0 }\)

Równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, }\)

ma pierwiastki:

\(\displaystyle{ x^2(x-1) -4(x-1)= (x-1)(x^2-4)= (x-1)(x+2)(x-2) = 0}\)

\(\displaystyle{ x_{1} =-2, \ \ x_{2} = 1, \ \ x_{3} = 2. }\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c }\) - stałe.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wyznaczamy metodą operatorową:

\(\displaystyle{ f(E(x_{k})) = (E-1) (E-2) (E+2) x_{k} \equiv 6k -1 }\)

\(\displaystyle{ [(E-1)\cdot (E-2) \cdot (E-3)]^{-1} (6k+1) = -[\Delta(1- \Delta)(3+\Delta)]^{-1}(6k+1) = -\left(\frac{1}{3}\right)
\Delta^{-1}(1+\Delta +...)\left(1 - \frac{1}{3}\Delta +...\right)(1+6k)=}\)
\(\displaystyle{ = -\frac{1}{3}\Delta^{-1} \left(1-\frac{2}{3}\Delta\right )(1+6k) = -\frac{1}{3}\Delta^{-1}\left(\frac{5}{3}+ 6k\right)=\\= -\frac{1}{3} \left(\frac{5}{3}k + \frac{6k}{2}(k-1)\right) = \frac{4}{9}k - k^2 }\)


Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ a_{k} = a^{o}_{k} + a^{s}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} + \frac{4}{9}k - k^2. }\)

Wyznaczamy wartości współczynników \(\displaystyle{ a, \ \ b, \ \ c }\) na podstawie warunków początkowych, rozwiązując układ równań liniowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c \cdot 2^{0} +\frac{4}{9}\cdot 0 + 0^2 \\ 6 = -2a +b +2c +\frac{4}{9}\cdot 1 -1^2 \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} +\frac{4}{9}\cdot 2 - 2^2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 0 \\ -2a + b + 2c = \frac{59}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{73}{9} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \frac{7}{27} \\ -\frac{73}{27} \\ \frac{66}{27} \end{matrix} \right).}\)

Wyraz ogólny ciągu:

\(\displaystyle{ a_{k} = \frac{7}{27}\cdot (-2)^{k} + -\frac{73}{27}\cdot (1)^{k} + \frac{66}{27} \cdot 2^{k} + \frac{4}{9}k - k^2. }\)

Wykaż, że odpowiedź jest prawidłowa. Bo coś mnie się to nie widzi.

nijak pisze: ↑19 kwie 2023, o 21:24Bo coś mnie się to nie widzi.

To podstaw i sprawdź.

JK

`a_0=0, a_1=30/27,...`

janusz47 pisze: ↑19 kwie 2023, o 21:04 \(\displaystyle{ \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c \cdot 2^{0} +\frac{4}{9}\cdot 0 + 0^2 \\ 6 = -2a +b +2c +\frac{4}{9}\cdot 1 -1^2 \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} +\frac{4}{9}\cdot 2 - 2^2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = \red{0} \\ -2a + b + 2c = \frac{59}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{73}{9} \end{cases} }\)

Jak już, to

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a + b + 2c = \frac{59}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{73}{9} \end{cases} }\)

JK

Dziękuję za zauważenie lewostronnej szóstki.

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a + b + 2c = \frac{59}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{73}{9} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} \frac{1}{27} \\ -\frac{143}{27} \\ \frac{18}{27} \end{matrix} \right) }\)

\(\displaystyle{ x_{k} = \frac{1}{27} (-2)^{k} - \frac{143}{27} (1)^{k} + \frac{18}{27} (2)^{k} + \frac{4}{9} - k^2.}\)

janusz47 pisze: ↑19 kwie 2023, o 22:45 \(\displaystyle{ x_{k} = \frac{1}{27} (-2)^{k} - \frac{143}{27} (1)^{k} + \frac{18}{27} (2)^{k} + \frac{4}{9} - k^2.}\)

A teraz zgubiłeś \(\displaystyle{ k}\). Chyba raczej

\(\displaystyle{ a_{k} = \frac{1}{27} (-2)^{k} - \frac{143}{27} (1)^{k} + \frac{18}{27} (2)^{k} + \frac{4}{9}k - k^2.}\)

JK

Dzięki Janie
Jutro wrócę do tego zadania.

Dodano po 10 godzinach 39 minutach 33 sekundach:
Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o stałych współczynnikach:

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 }\)

przy warunkach początkowych: \(\displaystyle{ a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.}\)

Niech \(\displaystyle{ k = n-3,\ \ n = k+3, }\)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.}\)


Równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ a_{k+3} -a_{k+2}- 4a_{k+1} +4a_{k} = 0 }\)

Równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, }\)

ma pierwiastki:

\(\displaystyle{ x^2(x-1) -4(x-1)= (x-1)(x^2-4)= (x-1)(x+2)(x-2) = 0,}\)

\(\displaystyle{ x_{1} =-2, \ \ x_{2} = 1, \ \ x_{3} = 2. }\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c }\) - stałe.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wyznaczamy metodą operatorową:

\(\displaystyle{ f(E(x_{k})) = (E-1) (E-2) (E+2) x_{k} \equiv 6k -1 }\)

\(\displaystyle{ [(E-1)\cdot (E-2) \cdot (E-3)]^{-1} (6k-1) = -[\Delta(1- \Delta)(3+\Delta)]^{-1}(6k-1) = -\left(\frac{1}{3}\right)
\Delta^{-1}(1+\Delta +...)\left(1 - \frac{1}{3}\Delta +...\right)(6k-1)=}\)
\(\displaystyle{ = -\frac{1}{3}\Delta^{-1} \left(1-\frac{2}{3}\Delta\right )(6k-1) = -\frac{1}{3}\Delta^{-1}\left(\frac{1}{3}- 6k\right)=\\= -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}k + \frac{6k}{2}(k+1)\right) = k^2 - \frac{10}{9}k }\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ a_{k} = a^{o}_{k} + a^{s}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k . }\)

Wyznaczamy wartości współczynników \(\displaystyle{ a, \ \ b, \ \ c }\) na podstawie warunków początkowych, rozwiązując układ równań liniowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c \cdot 2^{0} -\frac{10}{9}\cdot 0 + 0^2 \\ 6 = -2a +b +2c -\frac{10}{9}\cdot 1 +1^2 \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} -\frac{10}{9}\cdot 2 + 2^2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a + b + 2c = \frac{55}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{29}{9} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} -\frac{7}{9} \\ 9 \\ -\frac{20}{9} \end{matrix} \right).}\)

Wyraz ogólny ciągu:

\(\displaystyle{ a_{k} = -\frac{7}{9}\cdot (-2)^{k} + 9\cdot (1)^{k} - \frac{20}{9} \cdot 2^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k. }\)

Sprawdzenie:

\(\displaystyle{ a_{0} = -\frac{7}{9} + 9 -\frac{20}{9} = \frac{-7 +81 -20}{9} = \frac{54}{9}= 6.}\)

\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{14}{9} +9 -\frac{40}{9} + 1 -\frac{10}{9} = \frac{14 +81 -40 +9 -10}{9} = \frac{54}{9} = 6.}\)

\(\displaystyle{ a_{2} = -\frac{28}{9} + 9 -\frac{80}{9} + 4 - \frac{20}{9} = \frac{28+ 81 -80 +36 -20}{9} = \frac{45}{9} = 5.}\)

janusz47 pisze: ↑20 kwie 2023, o 09:47

Wyraz ogólny ciągu:

\(\displaystyle{ a_{k} = -\frac{7}{9}\cdot (-2)^{k} + 9\cdot (1)^{k} - \frac{20}{9} \cdot 2^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k. }\)

Sprawdzenie:

\(\displaystyle{ a_{0} = -\frac{7}{9} + 9 -\frac{20}{9} = \frac{-7 +81 -20}{9} = \frac{54}{9}= 6.}\)

\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{14}{9} +9 -\frac{40}{9} + 1 -\frac{10}{9} = \frac{14 +81 -40 +9 -10}{9} = \frac{54}{9} = 6.}\)

\(\displaystyle{ a_{2} = -\frac{28}{9} + 9 -\frac{80}{9} + 4 - \frac{20}{9} = \frac{\red{-}28+ 81 -80 +36 -20}{9} = \frac{\red{-11}}{9} \neq 5.}\)

Generalnie dla parzystych `k` niepodzielnych przez `9` suma pierwszych czterech wyrazów jest całkowita, a ostatni nie

Na konkurencyjnym forum kerajs przedstawił poprawne rozwiązanie (wychodzi \(\displaystyle{ a_n=2^n-n^2+5}\)) i wyjaśnił, dlaczego rozwiązanie janusza54 nie działa. Może będzie mu się chciało to przekleić...

JK

a4karo dziękuję.

Mój Gauss-Jordan mnie zawodzi.

Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o stałych współczynnikach:

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 }\)

przy warunkach początkowych: \(\displaystyle{ a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.}\)

Niech \(\displaystyle{ k = n-3,\ \ n = k+3, }\)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.}\)


Równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ a_{k+3} -a_{k+2}- 4a_{k+1} +4a_{k} = 0 }\)

Równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ x^3 - x^2 -4x + 4 = 0, }\)

ma pierwiastki:

\(\displaystyle{ x^2(x-1) -4(x-1)= (x-1)(x^2-4)= (x-1)(x+2)(x-2) = 0,}\)

\(\displaystyle{ x_{1} =-2, \ \ x_{2} = 1, \ \ x_{3} = 2. }\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 }\)

przy warunkach początkowych: \(\displaystyle{ a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.}\)

Niech \(\displaystyle{ k = n-3,\ \ n = k+3, }\)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.}\)

\(\displaystyle{ a^{o}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} , \ \ a, b, c }\) - stałe.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego wyznaczamy metodą operatorową:

\(\displaystyle{ f(E(x_{k})) = (E-1) (E-2) (E+2) x_{k} \equiv 6k -1 }\)

\(\displaystyle{ [(E-1)\cdot (E-2) \cdot (E-3)]^{-1} (6k-1) = -[\Delta(1- \Delta)(3+\Delta)]^{-1}(6k-1) = -\left(\frac{1}{3}\right)
\Delta^{-1}(1+\Delta +...)\left(1 - \frac{1}{3}\Delta +...\right)(6k-1)=}\)
\(\displaystyle{ = -\frac{1}{3}\Delta^{-1} \left(1-\frac{2}{3}\Delta\right )(6k-1) = -\frac{1}{3}\Delta^{-1}\left(\frac{1}{3}- 6k\right)=\\= -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{3}k + \frac{6k}{2}(k+1)\right) = k^2 - \frac{10}{9}k }\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ a_{k} = a^{o}_{k} + a^{s}_{k} = a\cdot (-2)^{k} + b\cdot (1)^{k} + c \cdot(2)^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k . }\)

Wyznaczamy wartości współczynników \(\displaystyle{ a, \ \ b, \ \ c }\) na podstawie warunków początkowych, rozwiązując układ równań liniowych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6 = a\cdot(-2)^{0} +b \cdot (1)^{0} +c \cdot 2^{0} -\frac{10}{9}\cdot 0 + 0^2 \\ 6 = -2a +b +2c -\frac{10}{9}\cdot 1 +1^2 \\ 5 = a\cdot(-2)^{2} +b \cdot (1)^{2} +c\cdot 2^{2} -\frac{10}{9}\cdot 2 + 2^2 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a + b + 2c = \frac{55}{9} \\ 4a +b+4c = \frac{29}{9} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right) = \left(\begin{matrix} -\frac{7}{27} \\ \frac{187}{27} \\ -\frac{18}{27} \end{matrix} \right).}\)

Wyraz ogólny ciągu:

\(\displaystyle{ a_{k} = -\frac{7}{27}\cdot (-2)^{k} + \frac{187}{27}\cdot (1)^{k} - \frac{18}{27} \cdot 2^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k. }\)

Sprawdzenie:

\(\displaystyle{ a_{0} = - \frac{-7+187-18}{27}=\frac{162}{27}=6.}\)

\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{14 +187 -36 +27 -30}{27} = \frac{162}{27} = 6.}\)

\(\displaystyle{ a_{2} = \frac{-28+ 187 -72 +108 -60}{27} = \frac{135}{27} = 5.}\)

Dodano po 16 minutach 3 sekundach:
Myślę, że teraz jest już wszystko poprawnie.

Jeszcze raz dziękuję za korekty.

Dodano po 1 minucie 52 sekundach:
Nie chcę mi się przyklejać do rozwiązania Pana kerajsa.

janusz47 pisze: ↑20 kwie 2023, o 11:33 Wyraz ogólny ciągu:

\(\displaystyle{ a_{k} = -\frac{7}{27}\cdot (-2)^{k} + \frac{187}{27}\cdot (1)^{k} - \frac{18}{27} \cdot 2^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k. }\)
(...)
Myślę, że teraz jest już wszystko poprawnie.
(...)
Nie chcę mi się przyklejać do rozwiązania Pana kerajsa.

Problem polega na tym, że rozwiązanie kerajsa jest poprawne, a Twoje nie. Jak nietrudno zauważyć

\(\displaystyle{ a_3=5+24-24+18-19=4.}\)

Natomiast zgodnie z Twoim wzorem

\(\displaystyle{ a_3 = -\frac{7}{27}\cdot (-2)^3 + \frac{187}{27} - \frac{18}{27} \cdot 2^3 + 3^2 - \frac{10}{9}\cdot 3=\frac{56 +187 -144 +243 -90}{27} = \frac{252}{27} \ne 4. }\)

Tymczasem, jak nietrudno sprawdzić, rozwiązanie \(\displaystyle{ a_n=2^n-n^2+5}\) spełnia zarówno warunki początkowe, jak i wzór rekurencyjny.

JK

janusz47 pisze: ↑19 kwie 2023, o 21:04 Równanie rekurencyjne trzeciego rzędu - niejednorodne o stałych współczynnikach:

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1}+4a_{n-2} -4a_{n-3} +6n -19 }\)

przy warunkach początkowych: \(\displaystyle{ a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2} = 5.}\)

Niech \(\displaystyle{ k = n-3,\ \ n = k+3, }\)

wtedy równanie możemy zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ a_{k+3} - a_{k+2} - 4a_{k+1} +4a_{k} = 6(k+3)-19 = 6k -1.}\)
\(\displaystyle{ a_{k} = \frac{7}{27}\cdot (-2)^{k} + -\frac{73}{27}\cdot (1)^{k} + \frac{66}{27} \cdot 2^{k} + \frac{4}{9}k - k^2. }\)

Nieśmiało napomknę, iż rozwiązując zadanie z ciągiem przesuniętym o trzy (nb. ciut kłopotliwym jest nazywać go tak samo) zmieniają się także indeksy warunków początkowych,
z: \(\displaystyle{ a_{n=0} = 6, \ \ a_{n=1} = 6, \ \ a_{n=2} = 5}\)
na: \(\displaystyle{ a_{k=-3} = 6, \ \ a_{k=-2} = 6, \ \ a_{k=-1} = 5}\)


Poniższe sprawdzenie:

janusz47 pisze: ↑20 kwie 2023, o 11:33
Wyraz ogólny ciągu:

\(\displaystyle{ a_{k} = -\frac{7}{27}\cdot (-2)^{k} + \frac{187}{27}\cdot (1)^{k} - \frac{18}{27} \cdot 2^{k} + k^2 - \frac{10}{9}k. }\)

Sprawdzenie:

\(\displaystyle{ a_{0} = - \frac{-7+187-18}{27}=\frac{162}{27}=6.}\)

\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{14 +187 -36 +27 -30}{27} = \frac{162}{27} = 6.}\)

\(\displaystyle{ a_{2} = \frac{-28+ 187 -72 +108 -60}{27} = \frac{135}{27} = 5.}\)

oznacza jedynie, że prawidłowo został rozwiązany układ równań. Niestety nie wykazuje ono, że sam układ jest ułożony błędnie.

Sprawdzę swoje rozwiązanie dla ciągu \(\displaystyle{ a_{n}. }\)