Matematyka.pl

Może ktoś zna jakiś alternatywny sposób na rozwiązanie tego zadania?

nijak pisze: ↑24 kwie 2023, o 18:06 alternatywny sposób...

To znaczy, że już jakiś sposób został tu przestawiony? W sensie to co napisał janusz47 przeszło już pomyślną recenzję i zdobyło status: sposobu? Bo z całym szacunkiem ale ja nie jestem w stanie czytać ściany niezdefiniowanych trójkątów:

janusz47 pisze: ↑19 kwie 2023, o 21:04 \(\displaystyle{ [(E-1)\cdot (E-2) \cdot (E-3)]^{-1} (6k+1) = -[\Delta(1- \Delta)(3+\Delta)]^{-1}(6k+1) = -\left(\frac{1}{3}\right)
\Delta^{-1}(1+\Delta +...)\left(1 - \frac{1}{3}\Delta +...\right)(1+6k)=}\)
\(\displaystyle{ = -\frac{1}{3}\Delta^{-1} \left(1-\frac{2}{3}\Delta\right )(1+6k) = -\frac{1}{3}\Delta^{-1}\left(\frac{5}{3}+ 6k\right)=\\= -\frac{1}{3} \left(\frac{5}{3}k + \frac{6k}{2}(k-1)\right) = \frac{4}{9}k - k^2 }\)

Pewnie ma to jakiś sens. Ba porządne zapisane byłoby nawet ładne. Metoda operatorowa, operatory się faktoryzują, to daje równanie charakterystyczne itd. ale sposób w jaki jest to napisane powoduje, że czekam jedynie na recenzję a4karo lub Jana Kraszewskiego (i tym razem się nie zawiodłem). Co do innych metod. Jest coś takiego jak transformata \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\), to jest dyskretnych odpowiednik transformaty Laplace \(\displaystyle{ \mathcal{L}}\). Liniowe równanie różnicowe możesz zamienić na równanie algebraiczne. Mimo groźnie brzmiącej nazwy to nie jest takie złe. Być może, że to jest praktycznie to samo co metoda funkcji tworzących. Jest jeszcze metoda przewidywań dla równań różnicowych. Są jeszcze metody macierzowe.

Janusz Tracz pisze: ↑24 kwie 2023, o 18:46To znaczy, że już jakiś sposób został tu przestawiony?

No tu nie, ale na konkurencyjnym forum pojawiło się to samo pytanie zadane przez tę samą osobę, a odpowiadali tam i janusz i kerajs. I tam pojawiło się przedstawione przez kerajsa rozwiązanie i wytłumaczenie błędu w podejściu janusza.

JK

Na prośbę autora przedstawię rozwiązanie być może nie najładniejsze ale dające wynik kerajsa. A żeby było zabawnie to zrobimy to transformatą \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) jako, że autor zezwolił. Na wstępie zaznaczam, że będę dość swobodnie korzystać ze wzorów na transformatę \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\). W te wzory trzeba albo uwierzyć albo je sobie wyprowadzić. Tak czy inaczej ich lista jest łatwo dostępna w sieci. Więc równanie jak leci obkładamy transformatą \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) co daje równość


gdzie \(\displaystyle{ a,b,c}\) to pewne stałe, które poznamy potem jak uwzględnimy warunki początkowe. Z równości powyżej liczymy \(\displaystyle{ \mathcal{Z} (a)(z)}\). Szczęśliwie jest to zwykłe równanie liniowe względem \(\displaystyle{ \mathcal{Z} (a)(z)}\), nieszczęśliwie wynik jest obrzydliwy


Okazuje się, że można w tym przypadku policzyć transformatę odwrotną. Wystarczy dość żmudnie wyliczyć kolejno:


Mnożąc odpowiednie części przez odpowiadające im stała i sumując wszystko na końcu dostaniemy, że


Na koniec pozostało wyznaczyć stałe \(\displaystyle{ a,b,c}\). Kładziemy zatem \(\displaystyle{ n=0,1,2}\) i tworzymy układ równań


który okazuje się mieć jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ a=9/2}\), \(\displaystyle{ b=5/4}\), \(\displaystyle{ c=-31/8}\). Wstawiamy stałe do wzoru ogólnego na \(\displaystyle{ a_n}\) upraszczamy i dostajemy, że

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1} +4a_{n-2}-4a_{n-3} +6n -19, \ \ n\geq 3, }\)

\(\displaystyle{ a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2}= 5.}\)

\(\displaystyle{ a_{n} - a_{n-1} -4a_{n-2}+4a_{n-3} = 0 .}\)


Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ x^3 -x^2 -4x +4 = x^2(x-1)-4(x-1) = (x-1)(x^2 -4) = (x+2)(x-1)(x-2) = 0.}\)

\(\displaystyle{ x_{1}= -2, \ \ x_{2} =1, \ \ x_{3} = 2.}\)

\(\displaystyle{ RORJ : \ \ a^{o}_{n} = a\cdot (-2)^{n} + b\cdot (1)^{n}+ c\cdot (2)^{n} .}\)

\(\displaystyle{ RSRN: \ \ x^{s}_{n} = An^2 + Bn }\)

\(\displaystyle{ An^2 +Bn -A(n-1)^2 -B(n-1)-4A(n-2)^2 -4b(n-2) +4A(n-3)^2 +4B(n-3) \equiv 6n-19.}\)

\(\displaystyle{ An^2 +Bn -A(n^2 -2n +1)-B(n-1) -4A(n^2 -4n +4) -4B(n-2) +4A(n^2-6n +9)+4b(n-3) \equiv 6n-19.}\)

\(\displaystyle{ An^2 -An^2 -4An^2+4An^2 +2An +16An -24An + Bn -Bn -4Bn +4Bn -A -16A +36A +B +8B -12B \equiv 6n -19.}\)

\(\displaystyle{ -6An +19A -3B \equiv 6n-19 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} -6A = 6 \\ 19A -3B = -19 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} A = -1 \\ B = 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ x^{s}_{n} = -1\cdot n^2 + 0\cdot n = -n^2.}\)

\(\displaystyle{ RORN: \ \ a^{n}_{n} = a\cdot (-2)^{n} + b\cdot 1^{n} + c\cdot 2^{n} -n^2 }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a+b +2c = 7 \\ 4a +b +4c =9 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ a = 0, \ \ b = 5, \ \ c = 1.}\)

\(\displaystyle{ a_{n} = 0\cdot (-2)^{n} + 5 + 1\cdot 2^{n} - n^2 = 2^{n} +5 -n^2.}\)

na konkurencyjnym forum pojawiło się to samo pytanie zadane przez tę samą osobę, a odpowiadali tam i janusz i kerajs

A co to za konkurencja jak nie jest to tajemnicą...

Na marginesie metoda funkcji charakterystycznej bije inne na łeb w takich zadankach...

Czyli są jeszcze inne fora a jest forum historyków, polonistów, itd...?

\(\displaystyle{ a_{n} = a_{n-1} +4a_{n-2}-4a_{n-3} +6n -19, \ \ n\geq 3, }\)

\(\displaystyle{ a_{0} = 6, \ \ a_{1} = 6, \ \ a_{2}= 5.}\)

\(\displaystyle{ a_{n} - a_{n-1} -4a_{n-2}+4a_{n-3} = 0 .}\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ x^3 -x^2 -4x +4 = x^2(x-1)-4(x-1) = (x-1)(x^2 -4) = (x+2)(x-1)(x-2) = 0.}\)

\(\displaystyle{ x_{1}= -2, \ \ x_{2} =1, \ \ x_{3} = 2.}\)

\(\displaystyle{ RORJ : \ \ a^{o}_{n} = a\cdot (-2)^{n} + b\cdot (1)^{n}+ c\cdot (2)^{n} .}\)

\(\displaystyle{ RSRN: \ \ f[E(x^{s}_{n})] = (E-1)(E-2) (E+2) x_{n} =-19 +6n}\)

\(\displaystyle{ x^{s}_{n} = [(E-1)(E-2)(E+2)]^{-1}(-19 +6n) =}\)

\(\displaystyle{ = -[ \Delta (1-\Delta)(3 +\Delta)]^{-1}(-19+6n) =}\)

\(\displaystyle{ = -\frac{1}{3}\frac{\Delta^{-1}}{(1-\Delta)\left(1+\frac{1}{3}\Delta\right)}(-19 + 6n)= }\)

\(\displaystyle{ = \left(-\frac{1}{3}\right)\Delta^{-1}(1 + \Delta+...)\left(1 -\frac{1}{3}\Delta +...\right)(-19-6n)=}\)

\(\displaystyle{ =\left(-\frac{1}{3}\right) \Delta^{-1} (1+\Delta -\frac{1}{3}\Delta)(-19+6n) = \left(-\frac{1}{3}\right) \Delta^{-1}\left(19-6n+ \frac{2}{3}\Delta\right)(-19+6n)=}\)

\(\displaystyle{ = \left(-\frac{1}{3}\right) \Delta^{-1} \left(-19 +6n +\frac{2}{3}\cdot 6\right)=}\)

\(\displaystyle{ = \left (-\frac{1}{3}\right)\Delta ^{-1}(-15 + 6n) = }\)

\(\displaystyle{ = -\frac{1}{3}\left(-15n + \frac{6n}{2}(n +5) \right)=}\)

\(\displaystyle{ = -\frac{1}{3}\left( -15n +3n^2 +15n\right ) = -n^2 }\)

\(\displaystyle{ RORN: \ \ a^{n} = a\cdot (-2)^{n} + b\cdot (1)^{n} + c\cdot 2^{n} -n^2 }\)

Warunki początkowe:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a + b + c = 6 \\ -2a+b +2c = 7 \\ 4a +b +4c =9 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ a = 0, \ \ b = 5, \ \ c = 1.}\)

\(\displaystyle{ a_{n} = 0\cdot (-2)^{n} + 5 + 1\cdot 2^{n} - n^2 = 2^{n} +5 -n^2.}\)

Nie do każdego zadania trzeba stosować teorię. Czasem wystarczy się przyjrzeć:
równanie \(\displaystyle{ a_n = a_{n−1} + 4a_{n−2} − 4a_{n−3} + 6n − 19}\) zapiszmy tak:
\(\displaystyle{ a_n - a_{n−1} = 4a_{n−2} − 4a_{n−3} + 6n − 19}\)
i oznaczmy dla `n\ge 1`
\(\displaystyle{ b_n=a_n-a_{n-1}}\).
Z warunków początkowych mamy `b_1=0,\ b_2=-1`, a ciag `b_n` spełnia równanie
\(\displaystyle{ b_n=4b_{n-2}+6n-19}\).

Niech \(\displaystyle{ c_n=b_n+An+B}\). Wtedy
\(\displaystyle{ c_n=b_n+An+B=4b_{n-2}+6n-19+An+B=4(c_{n-2}-A(n-2)-B)+6n-19+An+B=4c_{n-2}+(6-3A)n+8A-3B-19}\).

Widać więc, że jeżeli przyjąć `A=2` i `B=-1`, to ciąg `c_n` spełnia równanie `c_n=4c_{n-2}`. To oznacza, że wyrazy nieparzyste tego ciągu tworzą ciag geometryczny o ilorazie `4` i taką samą własność mają jego wyrazy parzyste.

Łatwo obliczamy, że `c_1=1` i `c_2=2` zatem wyrazy nieparzyste tworzą ciąg `1,4,16,...` a parzyste `2,8,32,...`, czyli że `c_n=2^{n-1}`

Zatem `b_n=2^{n-1}-2n+1` a stąd
`a_n=a_0+b_1+b_2+...+b_n=6+2^n-1-n(n+1)+n=2^n+5-n^2`

Dodano po 9 godzinach 23 minutach 49 sekundach:

janusz47 pisze:Mój Gauss-Jordan mnie zawodzi.

Jak dobrze mieć na kogo zwalić