Matematyka.pl

Wyznaczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(e+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}}\)

Jedno z zadań z egzaminu na ocenę celującą na pewnej uczelni (2022).

możnaby obliczyc \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x \ln(e+ x)+ \ln(1-x)}{x^2} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to0 } \frac{\ln(e+x)}{x}+ \frac{\ln(1-x)}{ x^{2} } = }\) z reguły de l'Hopitala
\(\displaystyle{ = \lim_{ x\to 0} \frac{1}{e+x} + \frac{ \frac{-1}{1-x} }{2x} \\
= \lim_{x \to 0} \frac{1}{e} - \frac{1}{2x} = \frac{1}{e} }\) wychodzi mi zły wynik i nie mam pojęcia gdzie popełniam błąd. Poprawny wynik to \(\displaystyle{ \frac{1}{e} - \frac{1}{2} }\)

Bo przed zastosowaniem reguły trzeba sprawdzić, czy można.
Ponadto \(\displaystyle{ \frac1{2x}}\) nie dąży do zera

Faktycznie 1/2x nie dąży do 0 - błąd z pośpiechu. Byłbym wdzięczny za wytłumaczenie. Nie jestem studentem i nie jest to zadanie na moim poziome, ale zaintrygowało mnie i nie potrafię samemu go rozwiązać ani znaleźć wskazówek w internecie.

Nie można stosować reguły de l'Hospitala do pierwszego składnika sumy, bo jest to wyrażenie postaci `1/0`.

Spróbuj zastosować tę regułę do wyrażenia zapisanego w postaci podanej przez mola.


Ja to zadanie robię inaczej.
Najpierw je skomplikuję, żeby uprościć rachunki:
\(\displaystyle{ \frac{\left(e+\frac{1}{n}\right)^n}{e^n}=\left(1+\frac1{ne}\right)^n\to e^{1/e}}\)
Dalej
\(\displaystyle{ \begin{align}e^n\left(1-\frac1n\right)^{n^2}&=\exp\left(\ln e^n\left(1-\frac1n\right)^{n^2}\right)\\
&=\exp\left[n^2\left(\frac1n+\ln\frac{n-1}{n}\right)\right]\\
&=\exp\left[n^2\left(\ln e^{1/n}-\ln\frac{n}{n-1}\right)\right]\\
&=\exp\left[n^2\cdot\frac1{\xi_n}\left(e^{1/n}-\frac n{n-1}\right)\right]\end{align}}\).
Ta ostatnia równość wynika z twierdzenia Lagrange'a, a `\xi_n` leży między `e^{1/n}` i \(\displaystyle{ \frac{n}{n-1}}\), więc dąży do jedynki gdy `n` dąży do nieskończoności.

W końcu \(\displaystyle{ \begin{align}n^2\left(e^{1/n}-\frac n{n-1}\right)&=n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}+\sum_{k=3}^\infty \frac1{k!n^k}\right)=n^2\left(-\frac{n+1}{2(n-1)n^2}+\frac1{n^3}\sum_{k=3}^\infty \frac1{k!n^{k-3}}\right)\\
&=-\frac{n+1}{2(n-1)}+\frac1n\sum_{k=3}^\infty \frac1{k!n^{k-3}}\to -\frac12\end{align}}\)

Jak się poskłada te klocki, to granica wychodzi `e^{1/e-1/2}`