Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) to są uogólnionymi ciągami Fibonacciego:
\(\displaystyle{ a_1 = 2 \ , \ a_2= 3 }\)
\(\displaystyle{ b_1 = 3 \ ,\ b_2= 2 }\)
Jakie liczby są elementami obu tych ciągów

Jeżeli zasady tworzenia kolejnych wyrazów są jak w ciągu Fibonacciego, to dla \(\displaystyle{ n>3}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_n = b_n +1}\) i wspólnymi wyrazami będą tylko pierwsze trzy, czyli liczby \(\displaystyle{ 2,3,5}\) a wspólnym w tym sensie, że wyrazem o tym samym indeksie jest ta sama liczba tylko \(\displaystyle{ a_3 = b_3 = 5}\)

chodzi o \(\displaystyle{ a_i = b_j }\)...

Taka sytuacja, prócz wskazanych przez Gouranga, nigdy nie zajdzie.

Dla \(\displaystyle{ i \ge 4}\) wskazane ciągi mają postać \(\displaystyle{ a_i=F_{i+2}}\) i \(\displaystyle{ b_i=F_{i+2}-F_{i-3}}\)
a) \(\displaystyle{ b_i=F_{i+2}-F_{i-3}<F_{i+2}=a_i}\)
b) \(\displaystyle{ b_i=F_{i+2}-F_{i-3}=F_{i+1}+F_{i}-F_{i-3}>F_{i+1}=a_{i-1}}\)
Z a) i b) wynika, iż dla \(\displaystyle{ i \ge 4}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{i-1}<b_i<a_i}\)