Matematyka.pl

Twierdzenie 2.1.3Suma \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu Fibonacciego jest równa wyrazowi o numerze \(\displaystyle{ n+2}\) pomniejszonemu o 1.
Dowód: Zbadamy równość:
$$a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n}=a_{n+2}-1.$$
Zastosujemy indukcję matematyczną. Rozważymy najpierw krok bazowy czyli ile jest równa suma składająca się z samego wyrazu zerowego. Zauważmy, że z definicji ciągu Fibonacciego mamy \(\displaystyle{ a_{0}=1}\) i \(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 0}\). Po podstawieniu \(\displaystyle{ n=0}\) do drugiego równania, dostajemy
$$a_{2}=a_{1}+a_{0}=1+1=2.$$
a po porównaniu otrzymujemy
$$a_{0}=a_{2}-1=2-1=1,$$
skąd wnioskujemy, że równość zachodzi.

Przejdziemy teraz do kroku indukcyjnego. W tym celu przyjmiemy, że wyrażenie algebraiczne
$$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=a_{k+2}-1$$
zachowuje swoją poprawność dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) oznacza zbiór liczb naturalnych. Pokażemy, że powyższy wzór pozostaje aktualny także dla \(\displaystyle{ k+1}\). W tym celu przyjrzymy się następującej sumie wyrazów:
$$a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{k}+a_{k+1}.$$
Użyjemy założenia indukcyjnego i otrzymamy
$$(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k})+a_{k+1}=(a_{k+2}-1)+a_{k+1}=a_{k+1}+a_{k+2}-1.$$
Widzimy, że po zsumowaniu prawej strony równości wprowadzonej w kroku indukcyjnym z \(\displaystyle{ a_{k+1}}\) dostaniemy dokładnie ten sam wynik, co dowodzi prawdziwości powyższego twierdzenia i kończy dowód.


Czy ktoś umie określić poprawność powyższego dowodu i ewentualnie go poprawić albo chociaż nakierować na poprawne tory - zarówno stylistycznie, jak i merytorycznie?

PS. Według mnie LaTeXa użyłem poprawnie.

Tomasz22 pisze: ↑16 wrz 2023, o 19:15PS. Według mnie LaTeXa użyłem poprawnie.

No i co z tego, że Ci się wydaje? Przecież widzisz, że nie działa. Tłumaczyłem Ci, że \(\displaystyle{ \LaTeX}\) forumowy nie jest taki, jak zwykły. Np. nie ma otoczenia \begin{center}...\end{center}.

Teraz jeszcze poprawiłem, ale następnym razem wywalę do Kosza.

Tomasz22 pisze: ↑16 wrz 2023, o 19:15 Zauważmy, że z definicji ciągu Fibonacciego mamy \(\displaystyle{ a_{0}=1}\) i \(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 0}\).

Raczej mamy \(\displaystyle{ a_{0}=0, a_1=1}\) i \(\displaystyle{ a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 0}\).

Tomasz22 pisze: ↑16 wrz 2023, o 19:15 Przejdziemy teraz do kroku indukcyjnego. W tym celu przyjmiemy, że wyrażenie algebraiczne
$$a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}=a_{k+2}-1$$
zachowuje swoją poprawność dla pewnego \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) oznacza zbiór liczb naturalnych. Pokażemy, że powyższy wzór pozostaje aktualny także dla \(\displaystyle{ k+1}\). W tym celu przyjrzymy się następującej sumie wyrazów:
$$a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{k}+a_{k+1}.$$
Użyjemy założenia indukcyjnego i otrzymamy
$$(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k})+a_{k+1}=(a_{k+2}-1)+a_{k+1}=a_{k+1}+a_{k+2}-1.$$
Widzimy, że po zsumowaniu prawej strony równości wprowadzonej w kroku indukcyjnym z \(\displaystyle{ a_{k+1}}\) dostaniemy dokładnie ten sam wynik, co dowodzi prawdziwości powyższego twierdzenia i kończy dowód.

To brzmi dość dziwnie, a istotny fragment dowodu zbywasz krótkim "widzimy", co nigdy nie jest dobrym argumentem. A to, co nazwałeś "wyrażeniem algebraicznym" nie jest wyrażeniem algebraicznym (no i wyrażenia algebraiczne nie mogą "zachowywać poprawności").

Ja bym krok indukcyjny zapisał tak:

Oznaczmy \(\displaystyle{ \underbrace{a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=a_{n+2}-1}_{\varphi(n)}.}\)

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in\NN}\), dla którego zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(n)}\). Pokażemy, że wówczas zachodzi \(\displaystyle{ \varphi(n+1).}\) Mamy:

\(\displaystyle{ L=\left( a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\right) +a_{n+1}\stackrel{\text{zał. ind.}}{=}(a_{n+2}-1)+a_{n+1}=(a_{n+2}+a_{n+1})-1=a_{n+3}-1=a_{(n+1)+2}-1=P.}\)

No i na końcu wypadałoby powołać się za Zasadę Indukcji Matematycznej.

JK